初二期末复习精品资源命题人学而思网校韩春成老师
相交线和平行线35道核心题——韩春成老师
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题不在多，而在于精！
韩老师告诉你个秘密：越付出越富有！
5.
【中】平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？
6.
【中】 （北京市八一中学 2013 年初一数学第二学期期中试卷） 如图，直线 AB 、 CD 被直线 AC 所截，且 AB ∥CD ，按要求画图并填空： ⑴ 分别画 BAC 和 DCA 的平分线，且两线相交于点 E ； ⑵ AEC _____ ； ⑶ 过点 E 分别画 EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，垂足分别为 F ， G ． ⑷ 请借助刻度尺比较点 E 到直线 AB 的距离和点 E 到直线 AC 的距离的大小．
b， c， d ，且 a b ， b c ， c d ，则 a 与 d 的位 15. 【易】在同一平面内的四条直线 a ， 置关系是（ ） a d A． B． a ∥ d C．相交但不垂直 D．不能确定
16. 【易】⑴ 如图 1，在直角三角形 ABC 中， C 90°， CD AB 于 D ，比较线段 AC 、 AB 、 CD 的大小． ⑵ 如图 2， A 点处是一座小屋， BC 是一条公路，一人在 O 处， ①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是 什么？
A D′ B C′ F C E D
26. 【中】 （北京五中分校 2013 年初一数学第二学期期中考试）如图， AB ∥ EF ∥CD ， ABC 46 ， CEF 154 ，则 BCE __________ ．
A 46° E 154° C D B
F
27. 【中】 （2012 年青羊区初一下期末）已知：如图， BD ∥ AF ∥CE ， ABD 72 ， ACE 40 ， AP 是 BAF 的平分线，求 PAC 的度数．
学而思初二数学秋季班第15讲.代数综合.提高班.教师版
1初二秋季·第15讲·提高班·教师版整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解2初二秋季·第15讲·提高班·教师版1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法因式分解部分： 一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用 公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法分解某些二次三项式 分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；3初二秋季·第15讲·提高班·教师版2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
学而思勤思班初二春季 第6讲 平行四边形探究(教师版)
标注 四边形 > 平行四边形 > 平行四边形问题 > 题型：平行四边形的判定
二、三角形的中位线
知识导航
定义
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段
示例剖析
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 若为
的中位线，
则
，且
三角形中位线里隐含重要性质：
① 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形
两组对边分别平行的四边形叫做平 平行四边形
行四边形
四边形
叫做平行四边形
平行四边形的 一般按一定的方向依次表示各顶点.
表示
如：口
平行四边形不能表示成口
，也不能表示成
口
中心
在平面内，一个图形绕某点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
对称图形 做中心对称图形
中心对称 图形性质
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
∴ ， 分别是
与
的中位线，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵
，
，
∴
，
∴
∴
．
， ，
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
2 如图，
中， 、 分别是 、 的中点， 平分
，交 于点 ，若
，
，则 的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵ 、 分别是 、 的中点，
∴
，
两组对边分别相等
四边形
是平行四边形
学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版
1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
学而思初二数学秋季班第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.教师版
1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
初中数学旋转解题几何
旋转基础练习一一、选择题1．在26 个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个2．从 5 点15 分到 5 点20 分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′的C位置，其中A′、B′分别是A、B 的对应点，且点 B 在斜边A′B上′，直角边CA′交AB 于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠AED 都是直角，点 E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC 为等边三角形， D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________ 三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF= 12AB ．（1）在如图7 所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7 所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么 B 点从开始至结束所走过的路径长是多少？旋转基础练习二一、选择题1．△ABC 绕着 A 点旋转后得到△AB′C，′若∠BAC′=130，°∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC 和△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，图中的△ABD 绕A 旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26 个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z对称中心轴对称旋转形式只有一条对称轴有两条对称轴对称对称2．如图，在正方形ABCD 中，作出关于P 点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点 B 是AC 的中点，画出此图形关于点 B 成中心对称的图形．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．平行四边形D．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）21085 A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085在”镜子中的像是（）A．21085 B．28015 C．58012 D．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；（2）连接BB，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．D1ABAEF GB1C1DC3．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．（1）在图中画出△A1OB1；（2）设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式．y2BA-1Ox学而思韩春成老师题库资料分享第5页答案：一、1．D 2．D 3． D二、1．中心对称图形2．答案不唯一3．答案不唯一三、1．（1）①假②真（2）①③（3）①例如正五边形正十五边形? ②例如正十边正二十边形2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A 1BD= ∠C1FB又∵四边形ABEF 是由四边形 A 1B1EF 翻折的，∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG， 初中数学资源网∴∠EFB=90°- 12∠C1FB ，∠FBG=90° -12∠A1BD ，∴∠EFB=∠FBG∴EF∥BG，∵EB∥FG∴四边形BEFG 是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD1∥FC1，∴∠BGF= ∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B1BF=∠FB1B．∴∠B1BG=90°，∴△B1BG 是直角三角形3．解：（1）如右图所示y2 1 B A1AB1-2 -1 1O-12 x（2）由题意知 A 、A1、B1 三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴0a b cc10 4a 2b c解这个方程组得abc12112∴所求五数解析式为y=- 12x2+2+12x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（）A．y= 1xB．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm，O 是对称线交点，A D 点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（）OA．8cm B．22cm C．24cm D．11cmB C 二、填空题1．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′______．_2．写出函数y=- 三、解答题3x与y=3x具有的一个共同性质________（用对称的观点写）．y1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC 关于x 轴对称的△A′B′，C再′画出△A′B′关C′于y 轴对称的△A″B″C，″那么△A″B″C″B 43与△ABC 有什么关系，请说明理由．A 21CO x-1y -2-34A 32 2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两点，1B-4 学而思韩春成老师题库资料分享第7 页O x -3 2 3 -2-1 1-1-2-3且A（0，3），B（3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A1B1．（1）在图中画出直线A1B1；（2）求出过线段 A 1B1 中点的反比例函数解析式；（3）是否存在另一条与直线A1B1 平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B二、1．（3，-1）2．答案不唯一参考答案：关于原点的中心对称图形．三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称．2．（1）如右图所示，连结A1B1；（2）A 1B1 中点P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y= kx，则y=-2.25x．（3）A 1B1：设y=k 1x+b1 b310 3k 31k1b113∴y=x+3∵与A 1B1 直线平行且与y= 2.25x相切的直线是A1B1? 旋转而得到的．∴所求的直线是y=x+3 ，2.25 下面证明y=x+3 与y=-x 相切，43yAy x 3212.25 B(A) y 初中数学资源网O x -4 -32 3-2 -1 1 x-1x2+3x+2.25=0 ，b2-4ac=9-4 1××2.25=0，2+3x+2.25=0 ，b2-4ac=9-4 1××2.25=0，-2∴y=x+3 与y=- 2.25x相切．-3 B学而思韩春成老师题库资料分享第8 页***旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（）2．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？学而思韩春成老师题库资料分享第9页******学而思韩春成老师题库资料分享第10页***。
【20寒】初二数学直播目标班(全国版)讲义
解直角三角形 / 第 02 讲
011
例7
第
如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心 (记为点 M) 位于滨海市 (记作点 A) 的南
偏西
15◦，距离为
√ 61 2
千米，且位于临海市
(记作点
B)
正西方向
√ 60 3
千米处．台风
02
中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60◦ 的方向移动 (假设台风在移动过程中的风力
2
016
学而思数学目标班·初二（全国版）「寒」
( 2 ) 已知二次函数解析式为 y = mx2 − (m − 1) x − 2m + 3，当 x > 2 时，函数值随着 x 的
增大而减小，求 m 的取值范围．
第
03
讲
( 3 ) 已知抛物线 y = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3)，A (x1, y1)、B (x2, y2) 是抛物线上两点，若
第 04 讲
p.023
二次函数的解析式和图象变换
模块 01 二次函数的解析式 模块 02 二次函数的图象变换 模块 03 函数中的绝对值变换
第 05 讲
p.031
二次函数的应用
模块 01 用函数观点看方程与不等式 模块 02 实际应用问题
第 06 讲
p.039
一元二次方程区间根的分布
模块 01 一元二次方程区间根的分布
i（i
=
h ）；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
l
α
（tan α
=
i
=
h ）．
l
二、解直角三角形实际问题的一般解法
1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2. 适当选用锐角三角比去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案．
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
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1 4
a2b2
a2
b2 2
c2
2
．②
其实“海伦公式”与“秦九韶公式”实质上是同一个公式，所以我们也称①为“海伦—秦九韶公
式”．同学们，你会用因式分解的知识，对公式②进行变形，一步步推出公式①吗？试一试！
7. （全等三角形、30°角定理）如图，在 △ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， D 为
△ABC 内一点，BAD 15 ，AD AC ，CE AD
于 E ，且 CE 5 . （1）求 BC 的长； （2）求证： BD CD .
解：（1）
A
E D
B
C
（2）证明：
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8. 我们知道，假分数可以化为带分数. 例如： 8 = 2+ 2 = 2 2 . 在分式中，对于只含有一 3 33
A
D
B
C
E
F
⑵当我们把 △DEF 的顶点 E 与 A 点重合时，使 ED 、 EF 与 BC 相交，设交点为 P 、G （点 பைடு நூலகம் 在点 G 的左侧），你能证明 BP CG 与 PG 的关系，请你完成自己的证明。
A(E)
B D
C F
10. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC 90 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上的点，
AD AE ， AF BE 交 BC 于点 F ，过点 FG CD 交 BE 的延长线于点 G ，交 AC 于点
M。 ⑴求证： △EGM 为等腰三角形； ⑵判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论。
A G
E D
M
A G
E D
M
C
F
BC
F
B
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例如： x 1 = (x 1) 2 1 2 ；
x 1 x 1
x 1
x2
x2 11 （x 1)(x 1) 1
x 1
1
.
x 1 x 1
x 1
x 1
（1）将分式 x 1 化为带分式； x2
（2）若分式 2x 1 的值为整数，求 x 的整数值； x 1
S p p a p b p c ．①
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，
在他的著作《度量》一书中，给出了这一公式和它的证明．
我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202——1261），曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶
公式” S
⑥
⑤
④
③
②
①
（1）当内空格点多边形边上的格点数为 10 时，此多边形的面积为
；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为 L，面积为 S，请写出用 L 表示 S 的关系式
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6. 如果一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，设 p a b c ，则三角形的面积为 2
11. 王一复习时看到这样一道题：如图 1， △ABC 中， BAC 2ACB ，点 D 是 △ABC 内 一点，且 DC DA ， BD BA ， BAC 90 ，探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
王一的解题思路是：注意到 DC DA ， △DCA 是等腰三角形，以 AC 为边的中垂线为轴， 将 △ABD 翻折，就可以得到 △KCD ，题目从而得到解决。 王一的解法如下：作 KCA BAC ，过点 B 作 BK ∥ AC 交 CK 于点 K ，连结 DK 。进而 得到一个等腰梯形 KCAB ， KC AB 。 如图 2 在题目条件和王一推得的条件下试完成下面的证明 ⑴证明： KD DB ; ⑵求 KBD 的度数； ⑶探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
）
A． 24°
B． 25°
C． 30°
D． 35°
A
2
B' 1
F
E
B
C
4. 若 关 于 x 的 二 次 三 项 式 x2 + k x b因 式 分 解 为 (x 1) x( 3，) 则 k + b 的 值 为
__________.
5. 如图，图中的方格均是边长为 1 的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点. 图①~⑥⑥ 这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，象这样的多边形我们称为“内空格 点多边形”.
（3）（函数）求函数 y 2x2 1 图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标. x 1
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9. 已知：如图， △ABC 和 △DEF 都是等腰直角三角板， BAC 90 ， EDF 90 。 ⑴请你利用这两块三角板画出 BC 的中点（用示意图表示）；
个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如： x 1 ， x2 这样的分式 x 1 x 1
就是假分式； 3 ， 2x 这样的分式就是真分式 . x 1 x2 1
带分式（即：整式与真分式和的形式）.
类似的，假分式也可以化为
A． 2x2 4x
B． x2 x 1 4
C． x2 9 y2
2. 已知整数 m 满足 m 38 m 1，则 m 的值为（
D．1 m2
）
A．4
B． 5
C．6
D．7
3. 如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示.若
C'
A 60 ， 1 95 ，则∠2 的度数为（
AC 10 .
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初二期末复习精品资源 命题人：学而思网校韩春成老师
简 介：学而思初中数学教研主任、学而思五佳教师、状元教师、杯赛命题人
代表作：《几何辅助线秘籍》 、 《培优辅导跟踪练习》等系列书籍
网校课程：/t/hanchuncheng
1. 下列各式不能分解因式的是
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【答案】
1. C
2. C
3. B
4. 1
5.
4， S 1 L 1 2
6. 略（提示：运用公式法进行因式分解）
7. 解：（1）在△ ABC 中，
AC BC , ACB 90 ,
BAC 45.
BAD 15 ,
CAD 30 .
CE AD , CE 5 ,