第五章测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
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2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
误差基本知识
1．用真误差来确定中误差
在等精度观测条件下，对真值为Ｘ的某一量进行n 次观测，其观测值为L1，L2…Ln，相应的真误差为 1，2…n。取各真误差平方的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差，以m表示，即：
Δi = X - L i
m =
2
i =1
n
n
2．用改正数来确定中误差
在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法 求得，所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测 结果进行改正加以消除外，也可以用一 定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以 用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以 消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来 消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误 差。
由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此 必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。比 如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
例四 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1 = 18.316 m ± 5 mm，h2 = 8.171 m ± 4 mm，h3 = 6.625 m ± 3 mm，试求总的高差及其中误差。 解：h = h1 + h2 + h3 = 15.316 + 8.171 6.625 = 16.862 (m)
1． 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值。 ………………….（有界性）
2． 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会多。………………………………….（单峰性）
3．绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相
等。 ………………………………次数的无限
容 = 2m 容 = 3m
第五章 测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识单选题1、引起测量误差的因素概括起来有以下三个方面（B）。
A.观测者、观测方法、观测仪器B.观测仪器、观测者、外界因素C.观测方法、外界因素、观测者D.观测仪器、观测方法、外界因素2、测量误差来源于（A）。
A.仪器、观测者、外界条件B.仪器不完善C.系统误差D.偶然误差3、用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于（ D ）。
A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差4、测量记录时，如有听错、记错，应采取（C）。
A.将错误数字涂盖B. 将错误数字擦去C. 将错误数字划去D.返工重测重记5、真误差是观测值与（A ）之差。
A.真值B.观测值与正数C.中误差D.相对误差6、真误差为观测值与（C）之差。
A.平均B.中误差C.真值D.改正数7、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于（B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8、下列误差中（A）为偶然误差。
A.照准误差和估读误差B.横轴误差C.水准管轴不平行与视准轴的误差D.指标差9、尺长误差和温度误差属（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.粗差10、用名义长度为30 m的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004 m，用此钢尺丈量AB两点距离，由此产生的误差是属于（C）。
A.偶然误差B.相对误差C.系统误差D.绝对误差11、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差12、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于（A）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差13、由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（ B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差14、经纬仪对中误差属（A）A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.容许误差15、衡量一组观测值精度的指标是（A）。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。
（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。
（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为nu = ±20",用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。
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第五章测量误差的基本知识
一、简答题
(1)简述什么是过失误差？什么是系统误差？什么是偶然误差？
(2)什么是真误差？什么是似真误差？什么是最或是值？
(3)什么是等精度观测？什么是非等精度观测？什么是权？
(4)偶然误差有哪些特性？
(5)为什么算术平均值是真值的最优估计值？
(6)写出衡量误差精度的指标。
(7)写出误差传播定律的公式，并说明该公式的用途。
(8)试推导求n次等精度直接观测值的算术平均值的中误差计算公式。
(9) 试写出白塞尔公式，并说明公式中各符号的含义。
二、单选题
5-1、钢尺的尺长误差对距离测量的影响属于( )。
A 偶然误差
B 系统误差
C 偶然误差也可能是系统误差
D 既不是偶然误差也不是系统误差
5-2、丈量一正方形的4条边长，其观测中误差均为±2cm ，则该正方形周长的中误差为±( )cm 。
A 0.5
B 2
C 4
D 8
5-3、用DJ 6级光学经纬仪测量一测回方向值的中误差为±6″，则一测回角值的中误差为
( )。
A ±12″
B ±8.5″
C ±10″
D ±6″
5-4、普通水准尺的最小分划为1cm ，估读水准尺mm 位的误差属于( )。
A 偶然误差
B 系统误差
C 可能是偶然误差也可能是系统误差
D 既不是偶然误差也不是系统误差
5-5、设对某角观测一测回的中误差为±3″，要使该角的观测精度达到±1.4″，需观测( ) 个测回。
A 2
B 3
C 4
D 5
5-6、某三角形两个内角的测角中误差分别为±6″与±2″，且误差独立，则余下一个角的中误差为( )。
A ±6.3″
B ±8″
C ±4″
D ±12″
5-7、测量了两段距离及其中误差分别为：1d =136.46m±0.015m ，2d =960.76m±0.025m ，比较它们测距精度的结果为( )。
A 1d 精度高
B 精度相同
C 2d 精度高
D 无法比较
5-8、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是( )。
A 偶然误差
B 系统误差
C 可能是偶然误差也可能是系统误差
D 既不是偶然误差也不是系统误差
5-9、对某边观测4测回，观测中误差为±2cm ，则算术平均值的中误差为( )。
A ±0.5cm
B ±1cm
C ±4cm
D ±2cm
5-10、某段距离丈量的平均值为100m ，其往返较差为+4mm ，其相对误差为( )。
Ａ 1/25000 Ｂ 1/25 C 1/2500 D 1/250
三、计算题
(1)用钢尺丈量某一距离，丈量结果为312.581m 、312.546m 。
312.551m ，312.532m 、312.537m 、312.499m ，试求该组观测值中误差与算术平均值中误差，及最后的结果。
(2)用某经纬仪测量水平角，一测回的中误差m=±15″，欲使测角精度达到土5″问需要观测几个测回？
(3)同精度观测一个三角形的两内角α、β，其中误差：mα=mβ=±6″，求三角形的第三角γ的中误差mγ？
(4)在水准测量中，设一个测站的中误差为5mm，若lkm有15个测坫，求lkm的中误差和Kkm的中误差？
(5)设量得A、B两点的水平距离D=206.26m，其中误差m D=±0.04m，同时在A点上测得竖直角α=30°00′，其中误差mα=±10″。
试求A，B两点的高差（h=Dtgα）及其中误差m h？
(6)如图所示的三角形的三个角值为a
＝b ＝c＝60°，测角中误差为±10″；AB
的边长D AB ＝150.000m，其中误差为±
0.050m，试求AC和BC的边长及其中误
差。
(7)用同一架经纬仪，以不同的测回数观测某一角度，其观测值为：β1=24°13′36″（4个测回），β2=24°13′30″（6个测回），β3=24°13′24″（8个测回），试求单位权观测值的中误差，加权平均值及其中误差。
（8）同—个角度有甲、乙两组观测值如下；
甲：83°23′50″，83°24′03″，83°23′55″
乙：83°24′11″，83°23′30″，83°23′28″试求甲、乙两组观测值的中误差与算术平均值的中误差，以及观测结果，并比较哪组精确？
四、名词解释
1、真误差——
2、闭合差——一
3、限差——
4、相对误差——
5、绝对误差——
6、极限误差——
7、平均误差——
8、系统误差——
9、偶然误差——
10、误差传播定律——
11、权——
12、单位权中误差——。