7学习指导与习题解答-6
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第六章群与环
§6.1 基本要求
1. 掌握二元代数运算、代数系统的定义，能够判断一运算是否为二元代数运算，运算
是否满足交换律、结合律、分配律、幂等律、吸收律、消去律。
2. 掌握半群、群的定义以及群的性质，能够判断一代数系统是否为半群或群。
3. 掌握交换群的定义以及交换群中的三个指数律。
4. 掌握置换、轮换、不相杂轮换、对换等概念，会做置换的乘法，会将任意置换写成不相
杂轮换的乘积。了解置换的顺向圈表示。
5. 掌握奇置换、偶置换的概念，了解置换的定性数与置换的图型及奇偶性的关系。
6. 掌握n次对称群、n次交代群的概念，会写出其中的元素。
7. 掌握子群的定义以及子群的判别条件。掌握周期、循环群的定义和乘法群、加法群中周
期的性质以及循环群中一元素作为生成元的充要条件。
8. 掌握群中合同、右陪集的定义。了解子群在大群中的右陪集的一些性质。掌握正规子群
的概念以及一子群为大群的正规子群的充要条件。掌握并会正确应用Lagrange定理。
9. 掌握同态映射、同构映射、自同构映射的概念以及同态定理。会判断一个群与一乘法系
统间的映射是否为同态映射、同构映射或自同构映射。
10. 掌握同态核的概念，了解若σ是群G到G′上的同态映射，则其核N为一正规子群。
反过来，设N是G的一个正规子群，则有一个群G′以及一个G到G′上的同态映射σ，使N为σ的核。掌握并会正确应用联系同态与同构的基本定理。了解σ为群G到G′上的同态映射时，G中子群与G′中子群的关系。
11. 掌握环、交换环、含壹环、消去环的定义及其性质，会判断。
12. 掌握整区、体、域、子环、子体、子域等概念，以及环的子集作成子环的充要条件。
13. 掌握并会应用理想、主理想的定义，掌握环中合同关系、剩余类的定义以及环中合同关
系的性质。
14. 掌握环同态映射、同构映射、剩余环的定义，了解与群论中平行的环中的关于同态映射、
同构映射的一些定理。
15. 掌握单纯环与极大理想的定义，以及二者的关系，了解一个环是域的充要条件。
16. 了解群与环在计算机科学中的应用--计数问题、纠错码。
§6.2 主要解题方法
6.2.1 运算的性质
对常见的运算性质诸如封闭、结合、交换、分配、幂等、吸收、消去等，要熟悉其定义，并且会推断某性质是否成立。后面对各种代数系统都是根据运算的性质来下的定义，因此，对某代数系统进行判断，都必然归结到对运算性质的判断上。
例6.2.1 设S=Q ×Q ，Q 为有理数集合，﹡为S 上的二元运算，对于任意的
问：（1）﹡的单位元是什么？
（2）当a ≠0时，
解：（1）设﹡的单位元是
因为
故
⎩⎨⎧=+=y e y e x x e 21
1 且 ⎩⎨⎧=+=y y x e x x e 2
1， 解得：⎩⎨⎧==0121e e 。 因此，﹡的单位元是<1，0>。
（2）当a ≠0时， 设
而
故
⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0
ab 11-1b aa 。 解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==--a b b a a 111。
因此，
a
b a -,1>。 例6.2.2 设（G ，·）是一个群，若群G 的每一个元素都满足方程x 2=1（其中1是G 的单位元），那么G 是交换群。
证明：对任意的a ，b ∈G ，则运算的封闭性有a ·b ∈G ，故由题意知，
a 2=1，
b 2=1，
（a ·b ）2=1。
又（a ·b ）2= a ·b ·a ·b ，故
a ·
b ·a ·b=1。
因此，
a ·
b = a ·1·b = a ·(a ·b ·a ·b)·b
由（G ， ·）是群，运算满足结合律，所以
a ·(a ·
b ·a ·b)·b= a 2·（b ·a ）·b 2=1·（b ·a ）·1= b ·a
即，a ·b=b ·a ，所以，G 是交换群。
例6.2.3 设（G ，·）是一个半群，e 是左壹，且对每一个x ∈A ，存在x’ ∈A ，使得x ·x’=e 。试证明：对于任意的a ，b ，c ∈A ，如果a ·b= a ·c ，则b=c 。
证明：对于任意的a ，b ，c ∈A ，如果a ·b= a ·c ，由题设条件知，对a ∈A ，存在a’∈A ，使得a ·a’=e 。在等式a ·b= a ·c 的两边同时左乘a’，得到
a’·（a ·b ）=a’·（a ·c ）。
因（G ，·）是一个半群，运算满足结合律，故
a’·（a ·b ）=（a’·a ）·b= e ·b ，
a’·（a ·c ）=（a’·a ）·c= e ·c 。
由e 是左壹知，
e ·b=b ，
e ·c=c 。
综上，b=c 。
6.2.2 关于置换群
要熟悉置换群的表示方法，一种是直接写，如，⎪⎭
⎫ ⎝⎛n 21n 21b b b a a a ΛΛ，另一种是将置换表示为不相杂轮换的乘积。要求正确地做置换的乘法。
例6.2.4 写出正四面体关于4个面的运动群（置换群）。
解：首先给正四面体的四个面作上标记。
取4为底面，在保持4为底面的情况下，沿顺时针方向旋转正四面体0、1、2次，得到三个置换：
（1）（2）（3）（4），（1 2 3）（4），（1 3 2）（4）。
类似地，分别取1、2、3为底面，又得到置换：
（2 3 4）（1），（2 4 3）（1），
（1 3 4）（2），（1 4 3）（2），