方差分析的基本假定与数据转换
07.方差分析的基本假定与数据转换
• 方差分析的基本假定 • 数据转换
方差分析的前提
• 随机误差：独立、正态、等方差 • ①独立性：每组或水平组合内的个体之间 相互独立，可通过试验设计来保证; • ②正态性：每组或水平组合所代表的总体 服从正态分布，需要进行检验; • ③等方差性（方差同质）：每个正态总体 的方差相等，也需要进行检验。
转换前，均数大，标准差也大
总体方差与平均数成正比
转 换 后
1 1 23.2 2 20.5 3 19.4 4 17.7 合计 80.8 平均 20.2 标准差 2.31
区组 除 2 20.9 21.0 17.9 19.5 79.3 19.83 1.45
平方根转换
草 剂 合计 3 4 5 8.8 10.7 4.2 67.8 7.8 7.5 5.1 61.9 12.5 10.0 8.8 63.6 7.2 6.7 4.5 55.2 36.3 34.9 22.6 253.9 9.08 8.73 5.65 12.70 2.38 1.93 2.13
方差的稳定性转换 方法1：平方根转换
6.7.2
适用于总体方差与平均数成正比的情形， 例如总体服从普哇松分布。
设Y X 或Y X 1 或Y X X 1
转 换 前
区组 1 2 3 4 合计 平均 标准差
平方根转换
合计 1185 1013 1040 808 4052 202. 6
转换后，标准差的变化不大
6.7.2
方差的稳定性转换
方法2：对数转换 适用于总体标准差与平均数成正比的情形， 各样本方差的差异较大，而变异系数相近。
设 Y log X 或 Y log(X 1)
转 换 前
人员 1 2 3 4 平均 标准差 变异系数
方差分析
方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。
在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。
一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。
随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。
而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。
1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。
其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。
最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。
如下表所示。
消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。
因素不同的表现称为水平或处理。
每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。
在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。
方差分析的基本假定
这是一个服从二项分布的发芽率资料， 且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率
资料作反正弦转换，例如， sin1 0.943 =76.19， sin1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
对转换后的数据进行方差分析，得方差 分析表。
多重比较
用SSR法进行多重比较，见表5-49。
Sx
数据转换
如果试验资料不满足方差分析的三个 基本假定，不能直接进行方差分析，需先 进行数据转换再作方差分析。
数据转换的方法：平方根转换 、对数 转换和反正弦转换 。
平方根转换适用于各组方差与其平 均数之间有某种比例关系的资料，尤其 适用于总体呈普阿松分布的资料。
x或者 x 1
对数转换适用于各组数据的标准差或全 距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘 性而非相加性的资料。
lg x,ln x或者lg( x 1), ln( x 1)
反正弦转换适用于二项分布的资料。
sin 1 p
【例5-8 】 有3个玉米自交系48-2、S37 和ES40在相同条件下保存了两年。为了了解 其种子的生活力，每个自交系随机选取100粒 种子在培养箱内作发芽试验，重7次， 3 个 玉米自交系种子发芽率资料列于表5-46 ，试 对资料进行方差分析。
87.7500 7
3.54, dfe
18
SSR值LSR值，见表5-50。
对结论作解释时，应将各组平均数还原 为发芽率。
如表5-47 中平均数 53.27 根据 P=sin2x， 还原为64.2%；均数 32.58还原为29.0%；均 数28.56还原为22.8%。
从变换过的数据所算出的方差或标准差 不宜再换回原来的数据。
检验结果表明，48-2的种子发芽 率极显著高于 ES40 和 S37，S37与 ES40的发芽率差异不显著。
反正弦转换[解说]
![反正弦转换[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/e40d71ee951ea76e58fafab069dc5022abea465b.png)
第四节 方差分析的基本假定和数据转换一、方差分析的基本假定所有进行方差分析的数据都可以分解成几个分量。
P131,例5-6这是一个样本，采用三种种植密度和五种施肥水平，这组资料具有三类原因或效应：（1）种植密度的原因或效应；（2）施肥水平的原因或效应；（3）试验误差的原因和效应（处理内和环境内的其它非可控因素的变异）。
在进行方差分析时有三个假定：1、可加性 处理效应与环境效应等具有可加性。
SS T =SS t +SS R + SS eDF T =DF t +DF R +DF e正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可分解性”。
如果试验资料不具备这一性质，变量的总变异依据变异原因的分解将失去根据，方差分析不能正确进行。
2、正态性 是指所有试验误差是随机的，彼此独立的、具有平均数为0且作正态分布。
因为从一个总体中抽样，如果总体是正态分布总体，因此构成的新总体也是正态总体，也作正态分布。
只有在这样的条件下才能进行F 检验。
3、同质性 所有的试验处理必须有共同的误差方差，Se 。
方差分析中误差项的方差是将各处理的误差合并而获得的一个共同的误差方差，只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。
在进行施肥水平之间的F 检验时怎么假设？（例5-6）（1）假设H 0：σB 2=0对H A ：σB 2≠0（2））假设H 0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5，H A ：μ1、μ2、μ3、μ4、μ5不全相等。
F=MS B /Mse=SS B /SSe=S 2B /S 2eSe 2=SSe/Dfe=（SS 1+SS 2+…+SS 5）/（V 1+V 2+…+V 5）同质性其实是全部都一样，全部都来自同一个总体，同质就是没有差异。
二、数据转换上述三点是进行方差分析的基本前提。
如果在进行分差分析前发现有某些异常的观测值、处理或区组，只要不属于研究对象本身的原因，在不影响分析正确性的条件下应予以删除。
生物统计学简答题
1.?什么是生物统计学？生物统计学的主要内容和作用是什么？?生物统计学是用数理统计的原理和方法来分析和解释生物界各种现象和试验调查资料，是研究生命过程中以样本来推断总体的一门学科。
?生物统计学主要包括试验设计和统计分析两大部分的内容。
其基本作用表现在以下4个方面：1.提供整理和描述数据资料的科学方法，确定某些性状和特性的数量特征。
2.判断试验结果的可靠性。
3.提供由样本推断总体的方法。
4.提供试验设计的一些重要原则。
?2.?随即误差与系统误差有何区别？?随机误差也称为抽样误差或偶然误差，它是由于试验中许多无法控制的偶然因素所造成的试验结果与真实结果之间的误差，是不可避免的，随机误差可以通过试验设计和精心管理设法减小，而不能完全消除。
?系统误差也称为片面误差，是由于试验处理以外的其他条件明显不一致所产生的带有倾向性或定向性的偏差。
系统误差主要由一些相对固定的因素引起，在某种程度上是可控制的。
?3.?准确性与精确性有何区别？?准确性指在调查和实验中某一实验指标或性状的观测值和真实值接近程度。
精确性指调查和实验中同一实验指标或性状的重复观察值彼此接近的程度。
?准确性是说明测定值和真实值之间符合程度的大小；精确性是反映多次测定值的变异程度。
?4.?平均数与标准差在统计分析中有何用处？他们各有哪些特性？?平均数的用处：①平均数指出了一组数据的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平；②作为样本或资料的代表数据与其他资料进行比较。
?平均数的特征：①离均差之和为零；②离均差平方和为最小。
?标准差的用处：①标准差的大小，受实验后调查资料中的多个观测值的影响，如果观测值之间的差异大，离均差就越大；②在计算标准差是如果对观察值加上一个或减去一个a，标准差不变；如果给各观测值乘以或除以一个常数a，所得的标准差就扩大或缩小a倍；③在正态分布中，X+-S内的观测值个数占总个数的68.26%，X-+2s内的观测值个数占总个数的95.49%，x-+3s?内的观测值个数占总个数的99.73%。
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
方差分析（ANOVA）（转）
⽅差分析（ANOVA）（转）转⾃：⽅差分析（analysis of variance，ANOVA），即变量分析，是对多个样本平均数差异显著性检验的⽅法。
在⼀个多处理试验中，可以得到⼀系列不同的观测值。
造成观测值不同的原因是多⽅⾯的，有的是不同的处理引起的，即处理效应；有的是试验过程中偶然性因素的⼲扰和测量误差造成的，即误差效应。
⽅差分析的基本思想就是将测量数据的总变异按变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。
要正确认识观测值的变异是由处理效应还是误差效应引起的，我们可以计算出处理效应的均⽅和误差效应的均⽅，在⼀定意义下进⾏⽐较，从⽽检验处理间的差异显著性。
假设⼀个试验有k个处理，每个处理有n个观测数据，则总共有nk的观测值。
⽤表⽰第i个处理的第j个观测值，其中i=1，2，3，...，k；j=1，2，3，...，n。
表⽰第i个处理观测值的总体平均数，表⽰试验误差，则有：，即第i个处理的第j个观测值是由该处理的总体平均数加上不可避免的试验误差组成的。
⽽对于总体平均数（所有nk个观测数据的平均数），则有。
若将各⾃处理⽔平上的总体平均数视为在总体平均数的基础上施加了不同的处理效应造成了，则有。
综上，，即任⼀个观测数据都是由总体平均数加上处理效应以及试验误差组成的。
同理，对于由样本估计的线性模型为：，为样本平均数，为第i个处理的效应，为试验误差。
根据的不同假定，上述模型可分为： 固定模型（fixed model）：各个处理的效应值是固定的，即除去随机误差外每个处理所产⽣的效应是固定的，是个常量且之和为0。
此时的试验处理⽔平常是根据⽬的事先主观选定的，如⼏种不同温度下⼩麦籽粒的发芽情况。
随机模型（random model）：各个处理的效应值不是固定的，⽽是由随机因素所引起的效应。
是从期望均值为0，⽅差为的正态总体中得到的随机变量。
如调查不同⽣境下某物种的⽣长状况时，不同⽣境的⽓候、⼟壤条件及⽔分条件等属于⽆法认为控制的因素，就要⽤随机模型来处理。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
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生物统计学
方差分析的基本假定与数据转换
一、方差分析的基本假定
二、数据转换
三、例题
一、方差分析的基本假定
1、各种试验效应及试验误差应该具有“可加性”(additivity)
2、试验误差应该是随机的、彼此独立的，具有平均数为零而且作正态分布，即“正态性”（normality）
3、所有试验处理必须具有共同的误差方差，即误差同质性(homogeneity)
二、数据转换
数据不符合假定，可采取补救办法：
（1）剔除某些表现“特殊”的观察值、处理或重复。
（2）将总的试验误差的方差分裂为几个较为同质的试验误差的方差。
（3）针对数据的主要缺陷，采用相应的变数转换；然后用转换后的数据作方差分析。
数据转换
数据转化
数据转化
数据转换
三、例题
[例6.16] 研究华农2号玉米花粉在不同贮藏条件下的生活力：（1）花粉盛于烧杯内，上盖纱布，藏于冰箱中；（2）花粉盛于烧杯内，置于干燥器中，藏于冰箱内；（3）花粉盛于烧杯内，在室温下贮藏。
经贮藏4小时后，在显微镜下检查有生活力花粉的百分数，对照为新鲜花粉。
每处理检查了6个视野，其结果如表6.39。
试作方差分析。
数据转换后，按照单向分组资料分析
谢谢！。