全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试1、计算56145614--+的值是【 】（A ）1 （B ）5 （C ）25 （D ）52、若x y x y x y y x 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是【 】 （A ）92 （B ）94 （C ）5 （D ）63、设a ，b 是不相等的任意正数，又x ＝b 2＋1a ， y ＝a 2＋1b ，则x ，y 这两个数一定【 】（A ）都不大于2 （B ）都不小于2 （C ）至少有1个大于2 （D ）至少有1个小于24、正整数n 小于100，并满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）12个 （D ）16个5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【 】 （A ）4 （B ）6 （C ）82 （D ）10326、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD ＝60°，则R 等于【 】（A ）10 （B ）221 （C ）122 （D ）147、 a ，b 是正数，并且抛物线y ＝x 2＋ax ＋2b 和y ＝x 2＋2bx ＋a 都与x 轴有公共点，则a 2＋b 2的最小值是________。
8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元9、实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝________10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，P A ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝________H G A B C D E F 第二试一、 设p 是实数，二次函数y ＝x 2－2px －p 的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)， B (x 2，0)（1）求证：2px 1＋x 22＋3p ＞0；（2）若A ，B 间的距离不超过│2p －3│，求p 的最大值。
全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•2+——3+ “(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另一个交点的坐标为( )•(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,2)2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b+ ∖这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•（A ） 1 （D ）；43 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9角线,二 5,则仞的长为（）.4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（）.4（乙）.如果关于X 的方程χh∣ = Xp, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3,4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数宇之和除以4的 余数分别是0,1, 2, 3的概率为Po, Pi ，P v P 3,则Po' Pl ，P V P3中最 大的是（）.'AEC 是等边三角形.ZADC = 30。
1991年全国初级中学数学联赛试题及其规范标准答案(修正版)
11=S3S =132=SA BCDEF1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ） （A ）3 ； （B ）13 ； （C ）2 ； （D ）53．2. 如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，BC ＝100，那么EF 的值是（ ） （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18．3. 方程x 2－│x │－1＝0的解是（ ） （A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 4. 已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-的值是（ ）（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．5. 若1×2×3×……×99×100＝12n M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则M （ ）（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．6. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a ＋b ＝c ， b ＋c ＝d ， c ＋d ＝a ，那么 a ＋b ＋c ＋d 的最大值是（ ）（Ａ）－1； （Ｂ）－5； （Ｃ）0； （Ｄ）1．7. 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S ₁＝1，S ₂＝3和S ₃＝1，那么，正方形OPQR 的边长是（ ） （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．G A B C D E A B C D135°120°8. 在锐角△ABC 中，AC ＝1，AB ＝c ，∠A ＝60°，△ABC 的外接圆半径R ≤1，则 （ ）（Ａ）12＜c ＜2 ； （Ｂ）0＜c ≤12； （C ）c ＞2 ； （D ）c ＝2 ．二、填空题１．E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么， 2b ＋3ca ＝ ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x ＞0，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2(４．四边形ABCD中，∠ABC ＝135°，∠BCD ＝120°，AB ，BC ＝5-，CD ＝6，则AD ＝ ．AB C D E F 一、 x ＋y ， x －y ， x y ， xy 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）． 求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为n 2个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1．（B）据算术根性质，由右端知y＜a＜x，又由左端知a≥0且a≤0，故a＝0．由此得x＝－y，代入所求式算得值为31２．（C）由平行截割定理，有①②①＋②，得∴３．（D）设x₀是方程的解，则—x₀也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）．将)51(21-代入方程，左边≠0，排除（C）．４．（D）．（所以 原式，112112221991)1()1991)19911991(21)199121991(4111-----=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-+=+nnnnnnnx5．（A）在1×2×3×…×100的质因数分解中，2的因子有所以，PP21232100321484897⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯Λ，其中2不整除P，3不整除P，因而M＝2P．６．（B） (a＋b)＋(c＋d)＝c＋a，∴b＝－d．代入b＋c＝d得c＝2d，a＝c＋d＝3d，故a＋b＋c＋d＝2d＋3d＝5d＝－5b≤－5 (∵b≥1)．故a＝－3，b＝1，c＝－2，d＝－1．７．（C ） 设正方形OPRQ 的边长为x ，即OP ＝PQ ＝QR ＝OR ＝x ．作△ABC 的高AD ，交OR 于F ，在△AOR 中，xOR S AF 221==．如图．８．（A ）作CD ⊥AB ，因△ABC 是锐角三角形，故D 在AB 内， 从而c ＝ AB ＞AD ＝AC cos A ＝cos A ＝21． 又由正弦定理，得c ＝AB ＝2R sin C ＜2R ≤2，所以21＜c ＜2．二、填空题1．12 由△BEG ∽△DAG ，得DG ∶GB ＝AD ∶BE ＝2∶1， ∴ DB ＝３GB ．连接DE ，则 ．2. 6 设甲将a 看为a ′，由韦达定理得．于是 ． ， 438'6'-===-c b a ca b由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是a ’ ．4=ac由①②得．，，所以 ．另一方面 ，2165)1610(21542222321==+=+++=+++=x x x xx x S S S S S OPRQ ABC ． ．所以6126323=+-=+-=ac b ba1234222=⨯=⨯==BGE BDE BCD ABCD S S S S3． 9．－，即，则有再取 ． 为奇数，因此 由于．，则有恒成立，取对一切由于q n n q n m p p m qpn m x m p x x xx x x -==-===-≠=-=>+=-+2232112321,012,0221210)1(1)1(若n ＞q ，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾．若n ＜q ，则上式左边为整数，右边为真分数，矛盾． 所以，只能是n ＝q ＝1．于是93)2(222==++qp n m ．４．192作AE ∥BC ，交CD 于E ，自B ，C 分别作AE 的垂直线BF 与CG ，F ，G 分别为垂足（如图）．BCGF 为矩形，△AFB 为等腰直角三角形，32===ABAF BF ．在Rt △CEG 中，三、解答题一.由于 xy 有意义，所以y ≠0，从而x ＋y ≠x －y ．因此x y ＝ xy，即x (y 2－1)＝0． 所以x ＝0或y ＝±1．（１）若x ＝0，则由x y ＝x ＋y ，或x y ＝x －y ，得y ＝0，这样 xy无意义；（２）若y ＝1，则由x y ＝x ＋y 得x ＝x ＋1，或由x y ＝x －y 得x ＝x －1，都导致矛盾； （３）若y ＝－1，则由x y ＝x ＋y 得x ＝12，由x y ＝x －y 得x ＝- 12， 所以符合要求的数对只有（12，－1）和（- 12，－1）．．＝＝＝ ．＝＝ ＝＝所以 ．＝＝，＝，＝ 知＝，由＝ 426613533521330--+-++-︒∠CE CD ED GE FG AF AE BC FG CE GE CG GCE ．所以 ．中应用余弦定理，有，在 又 1927676241636120cos 2120222===++=︒⋅-+=︒=∠=∠AD ED AE ED AE AD BCD AED ·二、证法1 延长AF 到M ，使FM ＝CF ．连CM 、DF ，在△EBD 与△FCM 中，由于BE ＝BD ，FM ＝CF ，因此△EBD 、△FCM 都是等腰三角形． ∵ ∠EBD ＝∠MFC ， ∴ ∠BED ＝∠CMF ， 又 ∠BED ＝∠BFD ， ∴ ∠CMF ＝∠BFD ， 在△BFD 与 △AMC 中，∠2＝∠1，∠BFD ＝∠CMF ，BD ＝AC ， ∴ △BFD ≌△AMC ． ∴ BF ＝AM ＝AF ＋FM ． 又∵ FM ＝CF ， ∴ BF ＝AF ＋CF ．证法2 如图，连EF 、DF ∵ ∠1＝∠2， ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3， ∵ ∠4＝∠5， ∠5＝∠6， ∴ ∠4＝∠6．∴ △AFC ∽△EFD ．于是k CFDFAC DE AF EF ===， 即EF ＝k ·AF ，DE ＝k ·AC ，DF ＝k ·CF ．由托勒密定理，知BF ·DE ＝BD ·EF ＋BE ·DF ， 即BF ·k ·AC ＝BD ·k ·AF ＋BE ·k ·CF ． 但是AC ＝BE ＝BD ≠0， 所以BF ＝AF ＋CF .三、证法１ 用数代表颜色，将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号，记为1,2,3,…,2n . 又记第i 个小方格四个顶点数字之和为i A ,若恰有三个顶点同色,则i A ＝1或3为奇数,否则i A 为偶数.在221n A A A +++Λ中,有如下事实:对正方形内部的交点,各加了4次； 原正方形边上非端点的交点,各加了2次(含两个0,两个1).因此221n A A A +++Λ ＝4 (内部交点相应的数之和)＋2×(边上非端点的交点相应的数之和)＋2必为偶数.于是，在2,,,21n A A A Λ中必有偶数个奇数，这就是说，恰有三个顶点同色的小方格必有偶数个．证法2 用数代表颜色，红色记为1，蓝色记为－1，将小方格编号，记为l ，2，…，2n ． 记第 i 个小方格四顶点数字之乘积为i A ，若恰有三顶点同色，则1,1=-=i i A A 否则． 现在考虑乘积221n A A A Λ⨯⨯．对正方形内部交点，各点相应的数重复出现4次；A ，B ，C ，D 边上的不是端点的交点相应的数各出现2次；A ，B ，C ，D 四点相应的数的乘积为１×１×（－1）×（－1）＝１．于是 221n A A A Λ⨯⨯＝１．因此，221n A A A Λ⨯⨯中－１的个数必为偶数，即恰有三顶点同色的小方格必有偶数个．证法3 考虑染了色之后，改变一个交点的染色方式，这时以此点为顶点的小方格，要么由三顶点同色变为非三顶点同色，要么由非三顶点同色变成三顶点同色．注意：除A ，B ，C ，D 之外，每一交点必是偶数个小方格的顶点，因此，改变一个交点的染色并不改变三顶点同色小方格数目的奇偶性． 当n ＝l 时，结论显然成立．当n ＞1时，每次改变一个交点的染色，最终总可以使B ，D 之外的点皆为红色，这时，三顶点同色的小方格只有两个，为偶数．因此，任意染色之下，三顶点同色的小方格有偶数个．。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（ ）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、 已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
全国2022年初中数学联合竞赛试题【含答案】
全国2022年初中数学联合竞赛试题（含答案解析）一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ ）A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．9．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为 ．10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF的中点，则BAAB ＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．C A B三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．三．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同.一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.【答案】C.【解析】已知等式得2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++zy x yz zx ，所以29=++++z y x zx yz xy ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．c b c b 42422-=-，10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DCAD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．若11MM NN =，则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===．若11MM NN >，同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=． ………15分三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.。
全国初三数学竞赛试题含答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B（C ）1 （D ）2 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．14．n个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．答案1.【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2.【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a =3.【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4.【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故 S △ABC ＝12×8×4＝16. 5.【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 6.【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7.解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8.【答】 10． 解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9.． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10.【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．11.解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k +=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12.解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分 则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩ 故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13.解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14.解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分（第13题）。
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M
N
A
O
A
B
C 1996年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ]
A ．M ＞N ﻩ
B ．M ＝N Ｃ.Ｍ<N D ．不确定
2. 设正整数ａ、m 、n
则这样的a 、m 、n 的取值[ ]
Ａ．有一组 B ．有二组 C .多于二组ﻩ D .不存在
3．如图，Ａ是半径为1的圆O 外的一点，O Ａ＝2，ＡB 是圆O 的切线,B 是切点，弦B Ｃ∥OA ，连结A Ｃ，则阴影部分的面积等于ﻩ[ ]
（A ）
2
9π ﻩﻩﻩ（B ）6
π （
C)6
8
π
+ﻩ ﻩ (D)
4
8
π
-
４．设x ₁、ｘ₂是二次方程x 2+ｘ－3＝0的两个根,那么ｘ₁3-4ｘ₂2＋19的值等于 [ ]
Ａ.-４ B ．8 C .6ﻩ D .0
5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的[ ］
A ．内心 B.外心ﻩ Ｃ．重心 ﻩD ．垂心
６．如果20个点将某圆周２0等分,那么顶点只能在这２０个点中选取的正多边形的个数有[ ]
A .４个ﻩ
B ．８个
C ．1２个
D .24个
二、填空题
1. 已知实数x ₀、y ₀是方程组1||1
y x
y x ⎧=
⎪⎨⎪=+⎩ 的解,则x ₀+ｙ₀＝__＿＿＿_．
2．如图,在△AB Ｃ中，AB =AC ，∠ABN ＝∠MBC ，ＢM =ＮM ， BN =a ,则N 点到边BC 的距离等于_＿_＿_＿．
A B
C D
D ′
B ′
C O
M P A B
C
D E
F
3.设1９９5x 3
＝１996y ３
=199７z 3,
xy ｚ＞0,且
=，则１
x +错误!+错误!＝__＿___．
4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿.
第二试
1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.
２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP .
3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值．
G
O
P
M
A
B
C
D
E
F 1996年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题
1.B
2.A ﻩ 3．B
4.Ｄ ﻩ
5.A
6.C
二、填空题
１
２.
2
3. 1
4. ２
第二试
1. 据题意ｍ＋11=ｎ＋9，且整除ｍn ＋9m +11n +145,
而ｍn ＋9m +11ｎ+145=(ｍ+11)(n ＋9)+４6，故m ＋11,ｎ＋9都整除46,由此得
1214m n =⎧⎨=⎩ ① 或 35
37
m n =⎧⎨
=⎩ ② 在①时，得每人捐款2５元;在②时,每人捐款4７元 综上可知，每人捐款数为2５元或47元.
２. 作AD 、ＢO 的延长线相交于G ,∵ＯE ∥ＧＡ， ∴在△CGA 中有 错误!＝错误! ，
且在△ＢGA 中 错误!＝错误! ，由此可得 错误!=错误! ，
而ＯM 是⊙O 的半径，等于OP ,∴ ＯＦOP =OP
O Ｅ ,∴ △P ＯF ∽△PO Ｅ ，
∴∠ＯPF ＝∠ＯEP
3. 据题意,方程a ｘ3+bx +c =０有两个相异根,都在（－1，0）中,故
a－b＋c＞0, 错误!<1,且b2-4ａc＞0 ①，可见ａ-ｂ+c≥1 ②,且ａ>c ③
所以a＋c≥b1,可得2>1,
∴ａ＞4 ,又b 4 现分别取a、b、ｃ的最小整数5,５,1 经检验，符合题意，∴a＋b＋c=１1最小.。