1.1.1正弦定理导学案

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1.1.1正弦定理导学案

编号：gswhsxbx5—01----01文华高中高一数学必修5第一章《解三角形》1.1.1正弦定理（导学案）编制人:石豹审核人:张祖涛编制时间:2015年4月2日班级：组名：姓名：学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形.2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用.3．体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去. 学习重点正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用。

学习难点正弦定理的推导及应用。

学习方法自主学习，合作探究自主学习（一）阅读教材（P 2-4）（二）预习自测在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a, b, c ，若A>B,则a b,反之，若a>b,则A B 。

探究一、在Rt ABC 中，=c a ， =cb ，那么=A a sin ， =Bb s i n ，又=C sin ，所以 =A a sin = （想一想：能不能将它推广到锐角、钝角三角形中？）探究二：当ABC ∆是锐角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。

作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 = 化作比式得 =同理可得 = = 探究三：当ABC ∆是钝角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。

作CD AB ⊥，根据三角函数的定义，sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 =CB A D CA B C c a b化作比式得 =同理可得 = =小结：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

高中数学《1.1.1 正弦定理》复习导学案2 新人教A版必修5

作业布置学习小结 / 教学反思
课本 49 页练习 2 的 2，3，4 题
2
2 ,b 3 ,
A 450 ,求角 B .
小结:在 ABC 中,已知 a, b 和 A 时求角 B 的各种情况: （1）.角 A 为锐角: ①若 a b sin A ,则一解. ②若 b sin A a b ,则两解. ③若 a b ,则一解 (2).角 A 为直角 a b ,则一解. (3).角 A 为钝角 a b ,则一解. 例 2 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A 300 , c 2 3, b 2 ,求
1
ABC 的面积.
达标训练： 1.判断下列各题角 B 的解的个数: 1. a 7, b 14, A 300 .
2. a 30, b 25, A 1500 . 3. a 72, b 50, A 1350 .
4. a 30, b 40, A 260 .
§1.1.2 正弦定理
授课时间学习目标重点难理及其拓展. 2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数. 3.三角形面积公式. 重点:正弦定理的应用. 难点:正弦定理的应用. 自主学习：正弦定理:_________________________. 正弦定理的变形公式：_________________________. 问题 1.在 ABC 中,已知 a 20, b 28, A 400 ,求 B (精确到 1 )和 c (保留两个有效数
0 问题 3.在 RtABC 中, C 90 ,则 ABC 的面积 S
学习过程与方法
1 ab .对于任意 ABC ,已知 a, b 及 2

数学学案编号39 1.1.1 正弦定理

山西大学附中高一年级(下)数学学案编号391.1.1 正弦定理一、学习目标：1.能理解会证明正弦定理.2.会用正弦定理解决两类解三角形问题.二、知识导学：自学教材P 2---P 3后完成：1) 首先来探讨直角三角形中，角与边的数量关系.如图，在ABC Rt ∆中，设c AB b AC a BC ===,,, 据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=c a ，=cb ，所以 a bc ==又cc c ==1sin , 则Cc B b A a sin sin sin ==.错误！未找到引用源。

对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况来探究：2) 如图，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AC 上的高是BD ，根据三角函数的定义，有BD= = ,则C c A a sin sin =, 同理可得， ,从而 Cc B b A a sin sin sin ==. 错误！未找到引用源。

3) 当ABC ∆是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？若成立写出证明过程，否则说明理由.综上1) 2) 3)可得对于任意三角形ABC 都有 .我们把这个定理叫 .正弦定理的探究过程体现了由到的数学思想?通过查找资料，你还学会了哪些证明正弦定理的方法？请写出一种来：三、理解定理：（1）适用范围：正弦定理适用于三角形。

（2）正弦定理说明：同一三角形中，各边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正 c a b数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；k 的几何意义是 .（3）公式Cc B b A a sin sin sin ==实际上表示了三个等式： Bb A a sin sin =，， . 四、学以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作。

用正弦定理解三角形的方法体现了数学中的思想？问题1：已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆=== 中，求和.问题2 ：已知在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆.归纳总结：根据正弦定理可以解哪两类解三角形问题？① .② .五、探究与发现：已知三角形两边及一边对角A b a ,,,解三角形问题的探究：以下解三角形问题是否有解？若有解有几个解?若A 是钝角或直角，且b a <或b a =时 .若A 是钝角或直角,且b a >时 .若A 是锐角，且b a >或b a =时 .若A 是锐角，且b a <时解的情况确定吗？都有哪些类型？六、提出问题：（1）预习自学后你有什么疑惑？（2）合作学习后解决了哪些问题？又产生了哪些新问题？（3）通过正弦定理的学习你有哪些新的想法？猜想或质疑？。

探究式导学案3：1.1.1正弦定理

1.1.1正弦定理学习目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．3．熟记正弦定理的有关变形公式；4．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．学习过程一、课前预习1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，222A B C ++＝π2. 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin A ，b c＝sin B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ==，这个比值是三角形外接圆的直径2R .二、学习新知1．正弦定理：sin sin sin a b c A B C==＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (2) sin sin sin a b c A B C ==＝sin sin sin a b c A B C++++＝2R ； (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角形面积公式：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . 三、例题解析例1在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．例2 在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°；(2)a ＝9，b ＝10，A ＝60°；(3)c ＝50，b ＝72，C ＝135°.四、拓展训练选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋233．在△ABC 中，sin2A ＝sin2B ＋sin2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若cos cos cos a b c A B C==，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 6．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝____________.解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．13．在△ABC 中，求证：cos sin cos sin a c B B b c a A-⋅=-⋅.能力提升14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．15．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求a b的取值范围．五、课堂小结1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a 、b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况.3．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)2A B +＋2C ＝π2； (4)sin 2A B +＝cos 2C ，cos 2A B +＝sin 2C ，tan 2A B +＝1tan 2C . 4．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．参考答案学习过程三、例题解析例1解：由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 解：a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.例3 解：(1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32，所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．四、拓展训练选择题1．D2．C3．A4． B5． D6． B填空题7． 75° 8．1029． 110．30°解答题11．解：∵sin sin sin a b c A B C==， ∴b ＝sin sin a B A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝sin sin a C A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12．解：a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝sin b A a＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a2＋b2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.13．证明：因为在△ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==＝2R ，所以左边＝2sin 2sin cos 2sin 2sin cos R A R C B R B R C A -⋅⋅-⋅⋅ ＝sin()sin cos sin sin()sin cos sin B C C C B A C A C A +-=+-＝右边．所以等式成立，即cos sin cos sin a c B B b c a A -⋅=-⋅. 能力提升14． π615．解：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin sin A B ＝sin 2sin B B＝2cos B ∈(2，3)，a故b的取值范围是(2，3)．。

正弦定理导学案

姓名：教学过程学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习重点难点：正弦定理的证明与应用一、引入新课1．如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：=A sin ______ _______；=B sin ______________；=C sin _________ ___；边=c _________=_________=_________． 2．那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（1）当∆ABC 是锐角三角形时，（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试推导.思路：3．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．4. 正弦定理的证明过程体现了由的数学思维规律.5. 一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做．6. 理解定理（1）sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（2）a:b:c= ．（3）正弦定理的基本作用：①已知两角与任一边,求其他和；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的（从而进一步求出其他的和）．二、学以致用例、在△ABC 中,已知A=60°,B=45°，c= 4，求a 。

C AB b c a三、巩固提升变式训练：已知a=16， b=316 ， A=30°，解三角形。

四、归纳小结：正弦定理：．利用正弦定理解以下两类斜三角形：（1）．（2）．五、课后作业1．在ABC ∆中，（1）已知︒=75A ，︒=45B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知︒=30A ，︒=120B ，12=b ，求a ，c ．2．根据下列条件解三角形：（1）26=a ，326=b ，︒=30A ；（2）26=a ，13=b ，︒=30A ．。

高中数学必修5《1.1.1正弦定理》教学设计

高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。

2. 学会运用正弦定理求解实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。

【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。

3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。

二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。

2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。

3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。

4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。

三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。

四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。

2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。

【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。

2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。

【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。

2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。

【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。

2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。

3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。

【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。

学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。

【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。

正弦定理

1.1.1 正弦定理导学案一、学习任务：1.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

二、自主学习：（根据以下提纲，预习教材第2页-第4页回答下列问题）（1）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,R 是△ABC 外接圆的半径。

正弦定理： ____________ = ____________ = ____________（2）正弦定理的三种变式形式：① a=2RsinA, b=____________ , c =____________。

②sinA=Ra2，sinB=________,sinC=_______。

③ a:b:c=_______________________ 。

（3）三角形中常见结论：①三角形内角和定理，即：______________________。

② 三角形中边角关系，即：a<b ⇔____________。

③三角形中三边的关系，即：_____________________________; ________________________。

④sin2BA +=__________ ; sin(A+B)= ____________ ;sin2(A+B)= _____________。

（4）①在△ABC 中，A=45︒，C=30︒,c=10,则a= （要求写出步骤）②在△ABC 中，A=30︒,C=105︒,b=8, 则a= （要求写出步骤）三、合作探究：问题1、已知△ABC 中，A=30︒C =45︒a=20,求b,c 。

问题2、已知△ABC 中，a=3，b=2, B=45︒,解三角形ABC 。

问题3、(1)已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求a:b:c .(2) △ABC 中,sin 2A= sin 2B+ sin 2C, 则△ABC 为（）A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等边三角形D 、等腰三角形四、达标训练（巩固提升）1、△ABC 中,若sinA>sinB ，则有（）A 、a<bB 、a ≥bC 、a>bD 、a ，b 的大小无法确定 2、在△ABC 中，B=45︒，C=60︒，c=1，求最小边的长度。

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1.1.1 正弦定理导学案
一、学习任务：
1.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

二、自主学习：（根据以下提纲，预习教材第2页-第4页回答下列问题）
（1）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,R 是△ABC 外接圆的半径。

正弦定理： ____________ = ____________ = ____________
（2）正弦定理的三种变式形式：① a=2RsinA, b=____________ , c =____________。

②sinA=
R
a
2，sinB=________,sinC=_______。

③ a:b:c=_______________________ 。

（3）三角形中常见结论：①三角形内角和定理，即：______________________。

② 三角形中边角关系，即：a<b ⇔____________。

③三角形中三边的关系，即：_____________________________; ________________________。

④sin
2
B
A +=__________ ; sin(A+B)= ____________ ;sin2(A+B)= _____________。

（4）①在△ABC 中，A=45︒
，C=30︒
,c=10,则a= （要求写出步骤）
②在△ABC 中，A=30︒
,C=105︒
,b=8, 则a= （要求写出步骤）
三、合作探究：
问题1、已知△ABC 中，A=30︒
C =45︒
a=20,求b,c 。

问题2、已知△ABC 中，a=3，b=2, B=45︒
,解三角形ABC 。

问题3、(1)已知△ABC 中，sinA:sinB:sinC=2:3:4, 求a:b:c .
(2) △ABC 中,sin 2
A= sin 2
B+ sin 2
C, 则△ABC 为（）
A 、直角三角形
B 、等腰直角三角形
C 、等边三角形
D 、等腰三角形四、达标训练（巩固提升）
1、△ABC 中,若sinA>sinB ，则有（）
A 、a<b
B 、a ≥b
C 、a>b
D 、a ，b 的大小无法确定 2、在△ABC 中，B=45︒
，C=60︒
，c=1，求最小边的长度。

3、在△ABC 中，B=45︒，c=22，b =
3
3
4，求A.
4、在△ABC 中，A:B:C=4:1:1，求a ：b ：c
5、在△ABC 中，A a cos =B b cos =C
c
cos ,试判断△ABC 的形状。

五、本节课你有什么收获⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
六、课后拓展延伸作业：
1、在△ABC 中，下列等式恒成立的是（）
A 、acosC=c cosA,
B 、bsinC=csinA,
C 、absinC=bcsinB,
D 、asinC=csinA 3、在△ABC 中，已知a=8， B=60︒，C=75︒
则b=____________。

（要写步骤）变式：在△ABC 中，已知a=8，B=60︒，C=75︒
则c =____________。

（要写步骤）
4、在△ABC 中，A=60︒
，a=43，b=42，则B=____________。

（要写步骤）
5、在△ABC 中，已知a 2
tanB= b 2
tanA, 则此三角形是（）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、直角或等腰三角形七、能力提升：（要写步骤）
1、已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且cosA:COSB= b:a 判断△ABC 的形状
2、在△ABC 中，C=2 B ，则B
B
sin 3sin =( ) A 、b a B 、a b C 、c a D 、a
c
3、求证：在△ABC 中，C
B A sin sin sin +=c b
a +。

1.1.1正弦定理导学案