2021文科数学高考复习

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集合的概念与运算——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【例2】)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【例2】已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为______．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【例2】(2020黄冈调研)已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁R N)＝()A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，）D ．22]∞（-，题型五集合中的新定义问题【题型要点】(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．【例1】定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【例2】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【例3】如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．二、高效训练突破1.(2020·武汉调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5} 2.(2020·巴蜀中学月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．44.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}5．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．167.已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]10．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．611.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x －x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}12．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁U N)＝∅，则a 的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]二、填空题1.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B ＝______，∁U A＝______．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．3．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．6.已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．三、解答题1.(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.2.已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)当B⊆∁R A时，求实数m的取值范围．3.(2019·江苏盐城一中模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【答案】D【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．【例2】)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【答案】－32【解析】因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32. 题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．【例2】已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【答案】(－∞，1]【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤－3或x ≥1}B ．{x |x <－1或x ≥3}C ．{x |x ≤3}D ．{x |x ≤－3}【答案】D【解析】因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D.【例2】(2020黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1} 【答案】A11 / 19 【解析】由1－x >0得N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，而由1－x 2>0得M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}．题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】D.【解析】：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2.【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】D【解析】根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4.【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，） D ．22]∞（-，。

2021年高考考前模拟(新课标Ⅰ卷)文科数学答案

2021年高考考前模拟【新课标Ⅰ卷】文科数学答案1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 BDBCDCDCDCBB1.【答案】B【解析】因为{}{}24022A x x x x x =-<=-或，2{|30}{|30}B x x x x x =+<=-<<，所以(3,2)A B ⋂=--.故选B 2.【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 3.【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B 4.【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===,故选择:C. 5.【答案】D【解析】根据图象知ABCE 大概在一条直线上，故排除D 后相关性最大. 故选：D. 6.【答案】C 【解析】如图，22||1(2)3OE +||1236BD =-， ||43AC =∴四边形ABCD 的面积为16431232⨯⨯故选：C ． 7.【答案】D【解析】因为sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以 ()22sin 2sin 333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可知函数()f x 的最小正周期2π，A 正确；当56x π=时，52sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线56x π=对称，B 正确；当3x π=时，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 正确；因为52sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，()5326f f ππ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以D 错误．故选：D ． 8.【答案】C【解析】()()33332log log 9log log 36443314111log 42log 444333f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133log 36log 36143439--=⨯=⨯=故选：C 9.【答案】D【解析】A ：若空白处是1=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，2,022,24n S i ==+==≤成立，所以3,235,34n S i ==+==≤成立，所以4,459,44n S i ==+==≤成立，所以5,5914,54n S i ==+==≤不成立，故14S =，不符合题意；B ：若空白处是2=+n n ，S S n =+时，14i =≤成立，3,033,24n S i ==+==≤成立，所以5,538,34n S i ==+==≤成立，所以7,8715,44n S i ==+==≤成立，所以9,15924,54n S i ==+==≤不成立，故24S =，不符合题意；C ：若空白处是S S n =+，1=+n n 时，14i =≤成立，1,2,24S n i ===≤成立，所以3,3,34S n i ===≤成立，所以6,4,44S n i ===≤成立，所以10,5,54S n i ===≤不成立，故10S =，不符合题意；D ：若空白处是S S n =+，2=+n n 时，14i =≤成立，1,3,24S n i ===≤成立，所以4,5,34S n i ===≤成立，所以9,7,44S n i ===≤成立，所以16,9,54S n i ===≤不成立，故16S =，符合题意. 故选：D 10.【答案】C【解析】由等差数列的性质及求和公式得，11313713()1302a a S a +==>,11515815()1502a a S a +==<，故选C. 11.【答案】B 【解析】由120PF PF ⋅=得12PF PF ⊥，由勾股定理得(22221212100PF PF F F a +===，由双曲线的定义得128PF PF a -=，22221212126421002a PF PF PF PF a PF PF ∴=+-⋅=-⋅，所以21218PF PF a ⋅=，则12PF F ∆的面积为2121992PF PF a ⋅==，0a >，解得1a =. 故选：B. 12.【答案】B【解析】因为,4AB AC AB AC ⊥==，故△ABC 为等腰直角三角形且BC =E 为BC 的中点.故E 为△ABC 的外心，故OE ⊥平面ABC .因为PA ⊥平面ABC ，所以//OE PA ，故,,,P A E O 共面. 连接PE 交OG 于H 点，过O 作OD EH ⊥，垂足为D . 因为,AB AC BE EC ==，故AE BC ⊥，在直角三角形PAC 中，2,4PA AC ==，故25PC =，同理25PB =，因为BE EC =，故PE BC ⊥，而PEAE E =，故BC ⊥平面GAEO ，因为BC ⊂平面PBC ，故平面GAEO ⊥平面PBC .因为平面GAEO ⋂平面PBC EH =，OD EH ⊥，OD ⊂平面GAEO ，所以OD ⊥平面PBC .因为O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，故OG PA ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，故PA AE ⊥，在平面PAEO 中，因为PA AE ⊥，OG PA ⊥，故//OG AE ，故四边形AGOE 为矩形，且1OE GA PG ===，1222OG AE BC ===. 又因为90,,PGH EOH PG OE PHG EHO ∠=∠=︒=∠=∠，故PGH EOH ≅△△，故122OH GH ==. 在直角三角形OEH 中，126312OD ⨯==+. 故选：B.13.【答案】92【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x y z +=，2y x z =-+，显然当平行直线过点3(2A ，3)2时，z 取得最小值为：39322+=；故答案为：92．14.【答案】1(,2)(2,)2-∞-⋃-【解析】因为a 与b 的夹角是钝角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，因为14202a b λλ⋅=-<⇒<，又当a 与b 共线时242λλ-=⇒=-，所以若a 与b 的夹角是钝角，则1(,2)(2,)2λ∈-∞-⋃-. 故答案为：1(,2)(2,)2-∞-⋃- 15.【答案】0x y -=【解析】由()xf x xe =，得()x x f x e xe '=+，所以切线的斜率0(0)1k f e '===，所以切线方程为00y x -=-，即0x y -=. 故答案为：0x y -= 16.【答案】11或13【解析】因为()1111nn n a a n ++=-+-，当n 为奇数时，11100n n S S n +--=->即9n ≤，所以2468101214S S S S S S S <<<<>>>.当n 为偶数时，11120n n S S n +--=->即12n ≤，所以135********S S S S S S S S <<<<<=>>.通过比较只需比较11S 和10S 的大小即可，又601a <<，所以111310S S S =>.6n =时，()676761161=6=6a a a a +=-+-∴-，， 7n =时，()7878761171=4=4=2a a a a a +=-+-∴--+，， 8n =时，()8989861181=4=4=6a a a a a +=-+-∴--，，9n =时，()910910961191=1=1=5a a a a a +=-+-∴--，， 10n =时，()1011101110611101=2=2=7a a a a a +=-+-∴--，，又601a <<，所以110a >所以11101110S S a S =+>. 所以1113S S =最大. 故答案为：11或1317.【解析】（1）由题可知：[]130,140分数段的参赛学生频率为：0.005100.05⨯=，∴2==400.05N 总（人）. ∵成绩在[)100,120分数段的参赛学生频率为：()0.0450.02510=0.7+⨯，∴该校成绩在[)100,120分数段的参赛学生人数为：400.7=28⨯（人）.（2）由图可知：90分及以上的学生成绩的众数为110120=1152+（分）.设90分及以上的学生成绩的中位数为x . ∵0.01100.02510=0.350.5⨯+⨯<， ∴()1100.0450.350.5113x x -⨯+=⇒≈， ∴90分及以上的学生成绩的中位数为113分. 90分及以上的学生成绩的平均数为：0.0110950.025101050.045101150.015101250.00510135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 112.7113=≈∴90分及以上的学生成绩的众数为115，中位数约为113，平均数约为113.18.【解析】（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+，则2sin cos sin A B A =，在△ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =.（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-，又5a c +=，所以163ac =，所以△ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19.【解析】（1）如图所示：取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，因为DA DC =，所以OD AC ⊥.又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD OB ⊥.因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以OB OC =，所以OBD OCD ≅△△，所以DB DC =，且M 为BC 的中点，所以BC DM ⊥. （2）16D ABC V DO BC AB -=⋅⋅=所以33D ABM V -=-=. 在ABD △中，12ABD S =⨯=△ 设M 到平面ABD 的距离为h ，则13ABD D ABM S h V -⋅=△，解得h =所以M 到平面ABD. 20.【解析】（1）(1)()xa x f x e-'=，由0a <，可得(1,)x ∈+∞时，()0f x '>；(0,1)x ∈时，()0f x '< ∴函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减．1x ∴=时，函数()f x 取得极小值即最小值()1a f e=．（2）对a 分类讨论：若0a =，则()0f x =，不存在0x R ∈，使得()013f x e<-成立；若0a >，则111113af a e e -⎛⎫-=-<-<- ⎪⎝⎭，满足题意；若0a <，由（1）可知，函数()f x 的最小值为()1a f e=，∴13a e e <-，解得13a <-．综上可得，实数a 的取值范围是()1,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．21.【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得22222121914c a a b b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2a =，b =1c =．所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）12λλ+为定值．由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，因为直线l 过点()1,0F ，所以直线l 的方程为()1y k x =-．令0x =，可得yk =-，即()0,E k -．联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，易知11x ≠，21x ≠，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+． ()11,EM x y k =+，()22,EN x y k =+，()111,MF x y =--，()221,NF x y =--．由1EM MF λ=，2EN NF λ=，可得1111x x λ=-，2221x x λ=- 所以()()121212121212122112211111x x x x x x x x x x x x λλ-++=+=+-=------++．将2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+代入上式，化简可得1283λλ+=- 22.【解析】(1)由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πππ2cos 2cos cos 2sin sin 333ρθρθρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin 3ρθθ==,由于cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，则直线l的直角坐标方程为3y x =曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）由于直线l 的倾斜角为π6，直线PQ 的倾斜角为π3，则直线l 与直线PQ 的夹角为π6，设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣.由于3||3|34222d πααα⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==≥，当且仅当7π2π4k α=+，k ∈Z 时等号成立，因此PQ ∣∣的最小值为323.【解析】（1）当2a =时，()332f x x x =++-，即()41,1,25,12,41,2,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩当1x ≤-时，不等式等价于：414x -->，解得54x <-，所以54x <-；当12x -<<时，不等式等价于：254x +>，解得12x >-，所以122x -<<；当2x ≥时，不等式等价于：414x +>，解得34x >，所以2x ≥；所以，不等式的解集为51,,42⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意知，当1x >-时，3334x x a x ++->+，即1x a ->恒成立，根据函数y x a =-的图象易知，1,11,a a <-⎧⎨--≥⎩解得，a 的取值范围为(],2-∞-.。

2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第6讲第2课时正、余弦定理的综合问题

第 2 课时正、余弦定理的综合问题角度一计算三角形的面积与三角形面积有关的问题（多维探究）（1）（2019高考全国卷n ）△ ABC 的内角nA ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b = 6,a = 2c , B =-，则△ ABC 的面积为 _________ .（2）（2020福建五校第二次联考）在厶ABC 中，A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a 2+ b 2 — c 2= 3ab ,且 acsin B = 2 3sin 。

，则厶 ABC 的面积为 _______________ .【解析】（1）法一：因为a = 2c , b = 6, B = f 所以由余弦定理b 2= a 2 + c 2— 2accosB , 3 得 62= (2c)2+ c 2— 2X 2c X ccos 扌,得 c = 2 3,所以 a = 4 3,所以△ ABC 的面积n法二：因为 a = 2c , b = 6, B =-,所以由余弦定理 b 2= a 2+ c 2— 2accos B ,得 62= (2c)2 3 + c 2 — 2 x 2c x ccos 扌，得 c = 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a 2= b 2 + c 2 ,所以 A =(所以△ ABC 的面积S = 1x 2j 3x 6= 6筋.厂 a 2+ b 2— c 2 J 3ab 肃(2)因为a 2+ b 2— c 2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C =莎=W b =2'又0 < Cv n ,所以C = f •因为acsin B = 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得11n故 S* 1absin C =1x2.3sin6=求三角形面积的方法 S = ^acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sinabc = 2 3c ,所以 ab = 2 3.【答(1)6 .3_3 2_3 2 .(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.角度二已知三角形的面积解三角形(2020湖南五市十校共同体联考改编) 已知a, b, c分别为△ ABC的内角A, B, C的对边，(3b —a)cos C= ccos A, c是a, b的等比中项，且△ ABC的面积为 3 2，贝U ab= _________ , a+ b= ________ .【解析】因为(3b—a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得3sin Bcos C = sin Acos C1+ sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为sin B^0,所以cos C = 3,贝卩 C 为锐角，所以sin C = ^3~.由△ ABC的面积为3 , 2,可得gabsin C= 3 2,所以ab= 9•由c是a,11b的等比中项可得c2= ab,由余弦定理可得c2= a2+ b2—2abcos C,所以(a + b)2=~3ab= 33,所以a+ b= . 33.【答案】9 ■ 33已知三角形面积求边、角的方法(1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.［注意］正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用.1. （2020济南市模拟考试)在厶ABC 中，AC = 5, BC = 10, cos A =等，则△ ABC 的面积为（）5A.QB. 5C. 10D四D. 2解析：选A.由AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2+ AC2—2AC AB cos A,得AB2—4AB—5=0,解得AB = 5,而sin A = 1 —cos2A^55，故S ZABC =5X 5 X 寿5=号.选A.2. (2020长沙市统一模拟考试)已知△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且B + Casi n(A+ B)= csin —2 —.⑴求A;(2)若厶ABC的面积为.3,周长为8,求a.A解：⑴由题设得asin C = ccos^,由正弦定理得A sin Asin C= sin Ceos?,所以sin A = cos ?,所以2sinAcosA = cosA,所以sinA= *,所以A = 60°⑵由题设得^bcsin A= . 3,从而bc= 4.由余弦定理a2= b2+ c2—2bccos A,得a2= (b + c)2—12.13又 a + b + c= 8,所以a2= (8 —a)2—12,解得a = ~.三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研）（2019高考全国卷川）△ ABC的内角A, _ _ , , 、，A+ C , . AB, C的对边分别为a, b, c.已知asin—厂 =bsin A.⑴求B;⑵若△ ABC为锐角三角形，且c= 1,求厶ABC面积的取值范围.、A+ C【解】⑴由题设及正弦定理得sin Asin~2 —= sin Bsin A.A+ C 因为sin A丸,所以sin—厂 =sin B.A + C B—B B B由A+ B + C= 180° 可得sin—= cos^,故cos? = 2sin?cos?.因为COSB M 0,故sinB = 2，因此B= 60°⑵由题设及⑴知厶ABC的面积S ZABC =丄…亠宀》口csin A sin (120 °-C) 羽1由正弦疋理得a= sin C =Sin~C =2tan~C+2.由于△ ABC为锐角三角形，故0 °A<90 ° 0°C<90 °由(1)知A+ C = 120°所以30°<C<90 ° 故2<a<2,从而^V S^BCV^3.因此，△ABC面积的取值范围是3,产8 2求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.题多解）（2020福州市质量检测）△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若角A , B ,C 成等差数列，且b = j.（1）求厶ABC 外接圆的直径； ⑵求a + c 的取值范围.解：⑴因为角A , B , C 成等差数列，所以2B = A + C ,n又因为A + B + C = n 所以B = 3.b 2根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径 2R = T~- == 1.sin B n⑵法一：由B = n 知A + C =竽，可得0 v Av ¥ 由⑴知厶ABC 的外接圆直径为1,根据正弦定理得 a b c= = = 1 sin A sin B sin C'所以 a + c = sin A + sin C 2n=sin A + sin 3 — Asin A + ； cos A2 nn n 5 n因为0vA v-3-,所以6v A+ 6v 孑sin 3- 1 n ,所以2< sin A+ 6 W 1，从而 #< . 3sin A+ 6 < 3,所以a+ c的取值范围是Y， 3 .n法二：由⑴知，B = 3，b2= a2+ c2—2accos B= （a+ c）2—3ac>（a + c）2—3* = 4（a+ c）2（当且仅当a = c时，取等号），因为b=¥,所以（a+ c）2 W 3，即a+ c W、.;3,又三角形两边之和大于第三边，所以丁<a+ c W 3,所以a+ c的取值范围是^3, . 3 .解三角形与三角函数的综合应用（师生共研）(2020湖南省五市十校联考)已知向量1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x), x€ R，设函数f(x) = m n +(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2) 设a，b，c 分别为△ ABC 的内角A, B，C 的对边，若f(A) = 2, b+ c= 2 2,^ ABC1的面积为步，求a的值.1 n【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ ~= sin 2x+ 6 + 1.n n n n n令2x+ 点€ —o+ 2 k n, o + 2k n , k € Z ,解得x€ —k n, a + k n , k€ Z,6 2 2 3 6n n所以函数f(x)的单调递增区间为—3+ k n, "+ k n , k€ Z.n(2)因为f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2,n所以sin 2A+ 6 = 1.因为0v A< n 所以6< 2A + n< 所以2A+ n= § 即A= £6 6 6 6 2 6标注条件，合理建模1 1由厶ABC 的面积S= ?bcsin A = ?,得bc= 2,又 b + c= 2 . 2 ,所以a2= b2+ c2—2bccos A = (b + c)2—2bc(1 + cos A),解得a= .3—1.解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.△ ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b= 2a—2ccos B.⑴求角C的大小；⑵求.3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角A, B的值.解：⑴法一：在厶ABC中，由正弦定理可知sin B= 2sin A—2sin Ccos B,又A+ B + C= n则sin A= sin( —(B + C)) = sin(B+ C),于是有sin B = 2sin(B + C)—2sin Ccos B = 2sin BcosC+ 2cos Bsin C—2sin Ceos B,整理得sin B= 2sin Bcos C,又sin B 丸，小1贝U cos C= 2，n 因为0<C< n则C = 3.a2+ c2—b2法二：由题可得b= 2a —2c -2ac整理得a2+ b2—c2= ab,1即cos C= 2，n因为0<C< n则C = 3.(2)由⑴知C=n，贝y B+n= n—A ,于是3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( —A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为A = -3——B,所以0<A<-3n,所以3<A+n<nn n n故当A = 2时，2sin A+7的最大值为2,此时B=:.6 3 2［基础题组练］则厶ABC 的面积等于（）C . 9 D. |解析：选 B.因为 cos A =~47,则 sin A = 3,所以 S ZABC = 1 x bcsin A = ^^,故选 B. 2.在△ ABC 中，已知C = n b = 4, ABC 的面积为2^3,贝V c =（）3A. 2,7B. .7 C . 2 ,2D . 2.3解析：选 D.由 S = ^absin C = 2a x 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c 2= a 2+ b 2— 2abcos C = 12,故 c = 2 3.3. （2020河南三市联考）已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边，sin A : sin B = 1 ： •,3, c = 2cos C =・.3,则厶 ABC 的周长为（）A . 3+3 ,3B . 2 ,3C . 3 + 2 ,3D . 3+ . 3解析：选C.因为sin A : sin B = 1 :3,所以b =・，3a ,a 2 +b 2—c 2 a 2 +（寸da ） 2— c 2由余弦定理得cosC =2ab = 2a x 3a又c = . 3,所以a = . 3, b = 3,所以△ ABC 的周长为4. （2020湖南师大附中4月模拟）若厶ABC 的内角A , b = 2, c = 5, △ ABC 的面积 S=jcos A ，则 a =（）B. .5C. 13D . . 175 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c = 5, S = ^2cos A = ?bcsin A = . 5sin A ,所以 sin A =?cos A.「△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 b = •, 7, c = 4,3 + 2 3,故选 C.B ,C 的对边分别为a , b , c ,且的面积为4 3,且2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（）A. 10B. 12C. 8 + 3D. 8+ 2 31 解析：选B.因为△ ABC的面积为4二3,所以qacsin B = 4 3.因为2bcos A+ a = 2c,所以由正弦定理得2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以2sin Bcos A + sin A = 2sin1 、Acos B + 2cos Asin B,所以sin A = 2cos B sin A,因为sin A工0,所以cos B =刁因为0< B<n所以B= n,所以ac= 16,又a+ c= 8,所以a= c= 4,所以△ ABC为正三角形，所以△ ABC 3的周长为3X 4= 12.故选B.6. _____________________________________________________________ 在△ ABC 中，A = ^, b2sin C = 4 2sin B,则厶ABC 的面积为___________________________________解析：因为b2sin C = 4.2sin B ,所以b2c=4 ,2b,所以bc= 4 .J2,1 1 2S^\BC= qbcsin A= 5x4,2 x = 2.答案：27. (2020江西赣州五校协作体期中改编)在厶ABC中，A =扌，b = 4 , a = 2,3 ,贝V B= _________ ,△ ABC的面积等于________ .bsin A4X sin3解析：△ ABC中，由正弦定理得sin B= —a —=--------- = 1.又B为三角形的内角，所以B=才,所以c= b2- a2= 42-( 2 .'3) 2= 2 ,1所以S ZABC = 2X 2^3= 2.3.答案：才2 3sin A 5c的对边，且B为锐角，若赢=畐,sin解析：由sinA =5c?a= 5c?a=5c ① sin B 2b b 2b 2c,①4 ,b的值为S A ABC= ^4^,则&在△ ABC 中，a , b,c分别是内角A , B ,厂厂由S A\BC = ?acsin B = ~且sin B =：得~ac= 5 ,联立①，②得a = 5,且c = 2. 由sin B=J 且B 为锐角知cos B =3443由余弦定理知 b 2= 25+ 4 — 2X 5X 2X 4= 14, b = .14. 答案：• 1439.在△ ABC 中，/ A = 60° c = 7a.⑴求sin C 的值；⑵若a = 7,求厶ABC 的面积.3解：⑴在厶ABC 中，因为/ A = 60° c = 7a ,csin A 3 x/33\[3所以由正弦定理得sin C = —7— =玄—=荷3. 3⑵因为a =乙所以c = 7X7= 3.1 由余弦定理 a 2= b2 + c 2—2bccos A 得 72 = b 2 + 32— 2b X 3 X -, 解得b = 8或b =— 5(舍).所以△ ABC 的面积 S = ^bcsin A = *X 8X 3X^ = ^3.10. (2020福建五校第二次联考)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且 3 acos C = (2b — . 3c)cos A.(1)求角A 的大小；⑵若a = 2，求△ ABC 面积的最大值.解：(1)由正弦定理可得，3sin Acos C = 2sin Bcos A — 3sin Ccos A , 从而.3s in (A + C) = 2si n Bcos A ,即.3sin B = 2sin Bcos A.n又A 为三角形的内角，所以A = 6.⑵由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A ,得 4 = b 2 + c 2— 2bc X 牙 >2bc — , 3bc , 1所以bc w 4(2 + .3),所以S MBC = ^bcsin A < 2 + .3,故厶ABC 面积的最大值为 2+ .3.又B 为三角形的内角,所以sin B 丸,于是cos A =1 5 2亦所以sin2A +cos2A= 4cos2A +cos2A= 4cos2A =1.易得cos A=T.所以a2= b2+c2-2bccos A= 4+5- 2x 2x 5x^= 9- 8= X 所以a= 1.故选A.5. （2020开封市定位考试）已知△ ABC的内角A, B , C的对边分别为a , b , c , △ ABC。

高考数学复习考点知识归纳专题解析18等比数列(解析版)

高考数学复习考点知识归纳专题解析专题18等比数列及其前n 项和考点知识归纳常考点01 等比数列中的基本运算 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 2 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 3 常考点02等比数列基本性质的应用 . (3)【典例2】 ................................................................................................................................................ 3 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 4 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 4 常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和 (5)【典例3】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 6 【变式演练3】 ........................................................................................................................................ 6 常考点04 等差等比混合应用 (7)【典例4】 ................................................................................................................................................ 7 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 8 【变式演练4】 ........................................................................................................................................ 9 【冲关突破训练】 .. (10)常考点01 等比数列中的基本运算【典例1】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】1.A 2.C【解析】1.∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=，∴641167S S =+=+=. 故选：A.2.设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【考点总结与提高】（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q q q≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把nq ，11a q-当成整体求解. 【变式演练1】1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A ．2B ．1C ．12D ．182．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】1.C 2.B【解析】1.由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.2.24242135121(1)21172a a a a q q q q q ++=++=∴++=∴=得2357135+()22142a a a q a a a +=++=⨯=，选B.常考点02等比数列基本性质的应用【典例2】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12B ．24C ．30D ．322．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-【答案】1.D 2.D【解析】1.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.2.56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====- 1107a a ∴+=-故选D.【考点总结与提高】等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.【变式演练2】1．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝（） A ．5B ．10C ．15D ．202．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为___________．【答案】1.A 2.64【解析】1.数列{a n }是等比数列，所以22243465,a a a a a a ==，所以()2222435463355352225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以350a a +>，所以355a a +=，故选：A.2.设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和【典例3】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B.2．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．21n n S a =- B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D 【解析】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n .【考点总结与提高】1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式11n n a a q -=来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2()n n N 且各项符号相同，则这个数列可设为21na q ，…，3a q ，,aaq q，3aq ，…，21n aq ；若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q，…，,,aa aq q ，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101q a p -≠-时，数列{}1n qa p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．【变式演练3】1．数列{A n }中，A 1＝2，A m ＋n ＝A m A n .若A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝215－25，则k ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 【答案】1.C 2.D【解析】1.令m ＝1，则由A m ＋n ＝A m A n ，得A n ＋1＝A 1A n ，即1n n A A +＝A 1＝2，所以数列{A n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以A n ＝2n，所以A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝A k (A 1＋A 2＋…＋A 10)＝2k×102(12)12⨯--＝12k +×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4.故选：C 2.由题得35211,82a q q a ==∴=.所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=.所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D常考点04 等差等比混合应用【典例4】1.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．82．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（） A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >【答案】1.A 2.B【解析】1.设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A2.设等差数列公差为d ，等比数列公比为q ，由题意可得：2326226835212262(1+7)b a a d q d a b b q d q =+=⎧⎧=+⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 1,2-∴==n n n a n bA. 100100,2，==>99100100a 100b b a ,故A 不正确；B. ,2==10102411a 1024b =1024，故B 正确；C. ,2==4105a 10b =16，故C 不正确；D. ,2==8999a 99b =256，故D 不正确.故选：B【考点总结与提高】等差、等比数列混合题型属于常规题型，解题思路基本相同∶按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可;至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项，要根据实际题意以及计算方便与否来决定。

2021年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科)训练：第一章集合与逻辑用语

第一章集合与规律用语第1讲集合的含义与基本关系1．(2021年福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1} D ．∅2．(2021年四川)设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3}3．(2021年安徽)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2} D ．{1,2,3,4}4．(2021年重庆)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．B A5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ，m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个 7．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A,1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) ①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； ②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．(2021年广东广州二模)某校高三(1)班50个同学选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的状况如下表：模块选择人数/人模块选择人数/人 A 28 A 与B 11B 26 A 与C 12 C 26 B 与C 13则3个模块都选择的同学人数是( ) A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人9．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并写出A 中的元素；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．第2讲命题、量词与简洁的规律联结词1．(2021年湖北)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 B ．∃x 0(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 D ．∀x (0，＋∞)，ln x ＝x －12．(2022年重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧q3．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∃a 0∈R ，f (x )是偶函数B ．∃a 0∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数4．(2021年湖北，由人教版选修1-1P 28-1改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧q5．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1] 6．(2021年广东珠海二模)下列四种说法中，错误的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真；④若实数x ，y ∈[0,1]，则满足x 2＋y 2>1的概率为π4.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．(2021年山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 8．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．10．设命题p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；命题q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．(2021年天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．(2021年四川)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1＋z 2是虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．(2021年湖南)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2021年福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2021年陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：|x ＋2|>1，命题q ：x <a ，且q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围可以是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤－3 C ．a <－3 D ．a >38．(2022年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，若使得f (x )没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f (x )在区间(m ，m ＋3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B .(1)求A ，B ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，推断它是真命题还是假命题，并说明理由．习题集部分第一章集合与规律用语第1讲集合的含义与基本关系1．C 解析：由已知，得A ＝{i ，－1，－i,1}．故A ∩B ＝{1，－1}．故选C.2．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}． 3．B 解析：∵∁U B ＝{1,5,6}．∴A ∩(∁U B )＝{1}．∴故选B.4．D 解析：由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1B .故选项A ，B ，C 均错，选项D 正确．故选D. 5．B 解析：在同始终角坐标系下画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D64，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D646．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9个．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，由于－1∈B,1∈B .所以－1－1＝－2∈B ，这与－2B 冲突．(2)有理数集Q 是“好集”，由于0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q .所以有理数集Q 是“好集”．(3)由于集合A 是“好集”．所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A .所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．B 解析：方法一，设三个模块都选择的同学人数为x ，由韦恩图D65，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D65方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6. 9．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种状况，依据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，即⎩⎨⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2.故所求实数m 的值为2.(2)∵∁R B ＝{x |x <m －2，或x >m ＋2}，若A ⊆∁R B ，则m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5，或m <－3.因此，实数m 的取值范围是m >5或m <－3.第2讲命题、量词与简洁的规律联结词1．C 解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.故选C. 2．A 解析：命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，为真命题；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，为假命题，则p ∧q 为真命题．3．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数． 4．A 解析：由题意，得p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙没降落在指定范围”．命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”，或“甲、乙均没降落在指定范围”三种．则所求命题可表示为(p )∨(q )．5．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.6．C 解析：①②正确；③④错误．故选C.7．1 解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 大于或等于函数y ＝tan x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值，由于函数y ＝tan x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数．所以函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为tan π4＝1.所以m ≥1，则实数m 的最小值为1.8.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析：x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122－m ，⎝⎛⎭⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎡⎦⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m .故m ≥14.9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3.10．解：设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. 所以命题p 为真时，m ＜－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3. 所以命题q 为真时，－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2，或－1≤m ＜3.第3讲充分条件与必要条件1．A 解析：由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．故选A.2．A 解析：a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确．故选A.3．B 解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1＋z 2肯定不是虚数，因此当z 1＋z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数，z 1＋z 2不肯定是虚数，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立．故选B.4．C 解析：由题意，得A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故为充要条件．故选C. 5．B 解析：若l ⊥m ，由于m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m .所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．故选B.6．A 解析：cos2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝0.所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.故选A.7．B 解析：命题p ：x <－3，或x >－1，则p ：－3≤x ≤－1，q ：x ≥a .由题意有p ⇒q ，qp ，则a ≤－3.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20<0”，C 错误；由于与同一条直线垂直的两个平面平行．所以D 正确．9．解：(1)若f (x )没有零点，则Δ＝4a 2－4<0. ∴－1<a <1，即A ＝{a |－1<a <1}．若f (x )＝(x －a )2＋1－a 2在区间(m ，m ＋3)上不单调，则m <a <m ＋3，即B ＝{a |m <a <m ＋3}． (2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，m ＋3≥1.∴－2≤m ≤－1.10．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)．∴OA →·OB →＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)，得ky 2－2y －6k ＝0.则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：假如OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)．该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第六章第3讲等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．常用结论1．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列；当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．3．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝A ＋B ·C n ⇔A ＋B ＝0，公比q ＝C (A ，B ，C 均不为零) 二、习题改编1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选 D.设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.2．(必修5P53习题T1改编)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝54，a 2＋a 4＝52，则q ＝．答案：23．(必修5P54A 组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区(1)运用等比数列的前n 项和公式时，忽略q ＝1的情况； (2)“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件； (3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．1．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C.当q ＝1时，a n＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝．解析：因数列{a n }为等比数列，则a 25＝a 3a 7＝16，又a 3＞0，所以a 5＝4. 答案：43．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 10＝16，则a 2和a 10的等比中项为．解析：设a 2与a 10的等比中项为G ，因为a 2＝4，a 10＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±8等比数列的基本运算(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝．(2)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.则a n ＝．【解析】 (1)通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58. 优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝⎝⎛⎭⎫－123＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎝⎛⎭⎫－18＝58. 优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－12.所以S 4＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－124＝58.(2)设{a n }的公比为q ，由题设得 2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1. 【答案】 (1)58(2)22n －1解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．(一题多解)(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选B.通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝4解析：选A.因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9.等比数列的判定与证明(典例迁移)(1)已知数列{a n }是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D ．数列{lg a 2n}是等比数列 (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．【解】 (1)选D.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n，不一定是常数，所以D 错误． (2)证明：因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．【迁移探究1】 (变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{a n }的通项公式．解：由(2)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.【迁移探究2】 (变条件)在本例(2)中，若c n ＝a n3n －1，证明：数列{c n }为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2，又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D ．12解析：选A.法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.法二：因为等比数列的前n 项和S n ＝k ×q n －k ，则12a ＝－16，a ＝－13.2．(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列．证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．等比数列的性质及应用(多维探究) 角度一等比数列项的性质的应用(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝．【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3＜0，a 15＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.【答案】 (1)B (2)5角度二等比数列前n 项和的性质的应用(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝．【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3＝12，所以{a n }的公比q ≠1.由a 1（1－q 6）1－q÷a 1（1－q 3）1－q ＝12，得q 3＝－12，所以S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 【答案】 (1)2 (2)34等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.3．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝．解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53. 答案：－53思想方法系列11 分类讨论思想求解数列问题(2020·武汉市调研测试)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，a 3－4a 1＝0.(1)求S n ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值．【解】 (1){a n }是正项等比数列，由a 3－4a 1＝0，所以a 1q 2－4a 1＝0 所以q ＝2，则a n 的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15＞0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15＜0，所以T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6)＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90 ＝S 10－2S 4－30＝(210－1)－2×(24－1)－30 ＝210－25－29 ＝1 024－32－29 ＝963.分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2020·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2 （－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．(2020·广东六校第一次联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7解析：选B.设公比为q ，由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，又a 1≠0，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S 4＝1×（1－24）1－2＝15，故选B.2．(2020·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1，因此a n ＝2n －1，故选B.4．(2020·长春市质量监测(一))已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( ) A.13 B.17 C.23D ．37解析：选A.法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A.法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝13，故选A.5．(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里解析：选C.记该人每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×125＝6，故选C.6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12137．(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝．解析：等比数列{a n }的各项都是正数，且公比为2，a 2a 12＝16，所以a 1qa 1q 11＝16，即a 21q 12＝16，所以a 1q 6＝22，所以a 15＝a 1q 14＝a 1q 6(q 2)4＝26，则log 2a 15＝log 226＝6. 答案：68．已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为；a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝．解析：由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，{a n }是递减的等比数列，得a 1＝4，a 3＝1，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8，公比为14的等比数列的前n 项和．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8＋2＋12＋…＋8×⎝⎛⎭⎫14n －1＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n .答案：a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3的值；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4，将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12，从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．[综合题组练]1．(2020·河南郑州三测)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( )A.12×(310－1) B.18×(910－1) C.126×(279－1) D ．126×(2710－1)解析：选D.因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n －1＝3n －1，所以ba n ＝33n －3＝27n －1，所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ba n }的前10项和为1×（1－2710）1－27＝126×(2710－1)，故选D.2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，若b n ＝22a n ，则{b n }的前n 项和S n ＝．解析：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，又a 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a nn ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以b n ＝22a n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以S n ＝4－4n ＋11－4＝4n ＋1－43.答案：4n ＋1－433．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．解：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.(舍去)所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ＜8. 因为a n ＞0，所以S n 单调递增．又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)．又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.4．(2020·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q ＝13，q ＞0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列．。

2021届与名师对话高三文科数学第一轮复习资料第三章第三节导数与函数的极值、最值

第3章第3节
与名师对话·系列丛书
基础知识回顾核心考点突破
第6页
高考总复习·课标版·数学(文) 名师微课导学课后跟踪训练
第3章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基础
2.函数的最值与导数
名师
知
微
识回
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大
第3章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
角度2：已知函数求极值
基础
【例1－2】
(1)(2020·广东深圳质检)已知函数f(x)＝
1 2
x2
名师
知
微
识回
－(a＋1)x＋alnx＋1，a∈R.若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的
课导
顾极大值．
学
(2)(2020·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋
课后
考点
(2)已知函数求极值；
跟踪
突
训
破
(3)已知极值求参数值或范围．
练
第18页
第3章第3节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
角度1：知图判断函数极值
名
础
师
知识
【例1－1】 (2019·江西九江十校联考)已知函数f(x)的
微课
回
导
顾导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( D )
a ex
(a∈R，e为
核心
自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
课后
考

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5－1 2
52－1≈0.618，称为黄金分割比例
，著名的
“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐
的长度之比也是
5－1 2
.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，
头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
15
解析中间层是一个正棱柱，有8个侧面，上层有8＋1个面，下层有8＋1个面，共有 8＋8＋1＋8＋1＝26(个)面．
半正多面体的棱长为中间层正棱柱的棱长加上两个棱长的cos 45°倍，设其棱长为x，则x＋ 22x＋ 22x＝1，x＝ 2－1.
答案 26 2－1
16
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂
D．190 cm
8
解析选 B.在图上标记长度，设脖子下端至肚脐为 x cm，由2x6＝ 52－1，得 x＝0.26618 ≈42.
此处估算 26＋42＋105＝173；由于0.26618＜50，身高小于 26＋50＋105.故选 B. [说明] 主要考查了数学抽象、数学运算(估算)的素养、体现了传统文化的美育教育。
6
[素养] 数学抽象、直观想象．水平一由散点图直观想象出y与x的变化趋势．水平二由变化趋势抽象出函数模型． [五育] 重在培养学生热爱劳动、热爱学习、亲身研究、尊重科学的思想品质，用所学知识解决问题．
7
1．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与
肚脐至足底的长度之比是
9
(二)直观想象 “直观想象”素养的考查重点是学生运用图形和空间想象思考问题、运用数形结合解决问题的能力；通过几何直观洞察表面现象的数学结构与联系，抓住事物的本质的思维品质.,直观想象素养的具体表现包括：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物.
10
3
(一)数学抽象 “数学抽象”素养的考查重点是学生在各种情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系的能力，在日常生活和实践中善于一般性思考问题，把握事物的本质、以简驭繁，运用数学思想方法解决问题的思维品质.,数学抽象的具体表现包括：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.
13
[素养] 直观想象、数学运算、逻辑推理．水平一由金字塔直观想象为正四棱锥中的线、面关系．水平二在四棱锥中进行数学运算，逻辑推理． [五育] 重在培养学生热爱传统文化，热爱生活，热爱历史，用所学知识解决生活问题．
14
2．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点
A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直
的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬
40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A．20°
B．40°
ห้องสมุดไป่ตู้
C．50°
1
2
数学眼光
高度抽象性
数学抽象
直观想象
数学思维
数学语言
严密逻辑性
广泛应用性
数学运算逻辑推理数据分析数学建模
核心素养培养目标：用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养(一般性)；用数学的思维分析世界、发展逻辑推理、数学运算素养(严谨性)；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养(应用性).
(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹
之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底
边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
5－1 A. 4
B．
5－1 2
5＋1 C. 4
D．
5＋1 2
11
[分析]
情境埃及胡夫金字塔的建筑特点正四棱锥的底面积等于一个侧面三角形面积，求三角形底面上
D．90°
17
解析选B.如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1 ＝ 40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角与∠OAD1相等，为40°.故选B.
[说明] 此两题展现了中国古代文明，中国历史上的辉煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．
18
(一)逻辑推理 “逻辑推理”素养的考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式，提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质.逻辑推理素养涉及的行为表现包括：发现问题和提出命题、掌握推理基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达与交流.
A．y＝a＋bx
B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex
D．y＝a＋bln x
5
[分析]
情境问题知识技能思维
课外学习小组研究种子的发芽率发芽率与温度的关系
统计中的散点图及回归方程从散点图中抽象出回归方程根据散点图的变化趋势符合方程(函数)的性质模型
解析选D.由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
4
(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某
作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种
子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y
和温度x的回归方程类型的是( )
问题的高与底面边长的比值
知识正四棱锥的高、底面、侧面的有关计算技能直观想象与数学运算，根据空间关系进行计算思维棱锥的高，斜高与底边长之间构造直角三角形
12
解析选C.设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′.由已知得h2＝12ah′.
又∵h′2＝h2＋a22，∴h′2＝12ah′＋14a2， ∴h′ a 2－12×h′ a －14＝0，解得h′ a ＝ 54＋1(负值舍去)．故选C.