浙教版九年级上册 数学第一章二次函数单元测试卷、答案

九上数学浙教版第一章二次函数单元测试卷、答案一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（x﹣3）x B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣x2C．y＝D．y＝3x2．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．93．若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（）A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2 4．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0②3a+c＞0③4a+2b+c＜0④2a+b＝0⑤b2＞4acA．2B．3C．4D．55．下列抛物线中，与y轴交点坐标为（0，3）的是（）A．y＝（x﹣3）2B．y＝x2﹣3C．y＝2x2﹣3x D．y＝x2﹣2x+36．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y17．若一次函数y＝ax+b的图象过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝﹣+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（）A．6s B．5s C．4s D．3s9．如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜110．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为A（﹣1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b＝0，②abc＞0，③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），⑤当﹣3＜x＜﹣1时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．2二．填空题（共8小题，3*8=24）11．当m ＝ 时，y ＝（m +2）x m 2﹣2是二次函数．12．把抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2﹣2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为13．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x （x ＞0），十二月份的快递件数为y 万件，那么y 关于x 的函数解析式是 ．14．如表是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的自变量x 与函数值y 的对应关系，一元二次方程ax 2+bx +c ＝（a ≠0）的一个解x的取值范围是．x6.1 6.2 6.3 6.4 y ＝ax 2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.415．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点M ，N 同时从点B 出发，分别在BC ，BA 上运动，若点M 的运动速度是每秒2个单位长度，且是点N 运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN 为对称轴作△MNB 的对称图形△MNB 1．点B 1恰好在AD 上的时间为 秒．在整个运动过程中，△MNB 1与矩形ABCD 重叠部分面积的最大值为 ．16．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．17．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是．三．解答题（共8小题，66分）19．（6分）二次函数y＝ax2+bx﹣1中的x、y满足如表：x…﹣1012…y…0﹣1m9…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值．20．（6分）已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：．（2）直接写出抛物线的顶点坐标：；对称轴：．（3）求该抛物线于坐标轴的交点坐标．21．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．22．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y 轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．23．（8分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90，BC∥x轴，抛物线y＝ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．（1）求新抛物线的解析式；（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．26．（12分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝（x﹣3）x B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣x2C．y＝D．y＝3x【分析】根据二次函数的定义即可求出答案．【解答】解：A、整理得：y＝x2﹣x，是二次函数，符合题意；B、整理得：y＝﹣4，不是二次函数，不符合题意；C、D、都是一次函数，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练运用二次函数的定义，本题属于基础题型．2．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．3．若实数m满足，则下列对m值的估计正确的是（）A．﹣2＜m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．1＜m＜2【分析】把方程整理成二次函数与反比例函数表达式的形式，然后作出函数图象，再根据两个函数的增减性即可确定交点的横坐标的取值范围．【解答】解：∵m2+2（1+）＝0，∴m2+2+＝0，∴m2+2＝﹣，∴方程的解可以看作是函数y＝m2+2与函数y＝﹣的交点的横坐标，作函数图象如图，在第二象限，函数y＝m2+2的y值随m的增大而减小，函数y＝﹣的y值随m 的增大而增大，当m＝﹣2时y＝m2+2＝4+2＝6，y＝﹣＝﹣＝2，∵6＞2，∴交点横坐标大于﹣2，当m＝﹣1时，y＝m2+2＝1+2＝3，y＝﹣＝﹣＝4，∵3＜4，∴交点横坐标小于﹣1，∴﹣2＜m＜﹣1．故选：A．【点评】本题考查了利用二次函数图象与反比例函数图象估算方程的解，把方程转化为两个函数解析式，并在同一平面直角坐标系中作出函数图象是解题的关键．4．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0②3a+c＞0③4a+2b+c＜0④2a+b＝0⑤b2＞4acA．2B．3C．4D．5【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由抛物线的对称轴可知：＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵＝1，∴b＝﹣2a，∴由图可知x＝﹣1，y＜0，∴y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故②错误；③由（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），（0，0）关于直线x＝1对称点为（2，0），∴x＝2，y＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误；④由②可知：2a+b＝0，故④正确⑤由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．5．下列抛物线中，与y轴交点坐标为（0，3）的是（）A．y＝（x﹣3）2B．y＝x2﹣3C．y＝2x2﹣3x D．y＝x2﹣2x+3【分析】把x＝0分别代入四个选项的解析式即可判断．【解答】解：A、当x＝0时，y＝9；B、当x＝0时，y＝﹣3；C、当x＝0时，y＝0；D、当x＝0时，y＝3；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．6．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D （，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．7．若一次函数y＝ax+b的图象过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣【分析】一次函数y＝ax+b的图象过第二、三、四象限，得到a＜0，b＜0，于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝ax2+bx有最大值﹣，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝﹣+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（）A．6s B．5s C．4s D．3s【分析】将关系式是h＝﹣+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．【解答】解：∵h＝﹣+20t+1＝﹣（t﹣6）2+61，∴当t＝6时，h取得最大值，即礼炮从升空到引爆需要的时间为6s，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．9．如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1【分析】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点评】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．10．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为A（﹣1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a﹣b＝0，②abc＞0，③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，④抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），⑤当﹣3＜x＜﹣1时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据抛物线的图象特征和对称性可得①②④；将方程ax2+bx+c＝3转化为函数图象求交点问题可解；通过数形结合可得⑤．【解答】解：由抛物线对称轴为直线x＝﹣b＝2a，则①正确；由图象，ab同号，c＞0，则abc＞0，则②正确；方程ax2+bx+c＝3可以看做是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点横坐标，由抛物线顶点为（﹣1，3）则直线y＝3过抛物线顶点．∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．故③正确；由抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点（﹣3，0）则有对称性抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）则④正确；∵A（﹣1，3），B（﹣3，0），直线y2＝mx+n与抛物线交于A，B两点∴当当﹣3＜x＜﹣1时，抛物线y1的图象在直线y2上方，则y2＜y1，故⑤正确．故选：A．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数各项系数的性质、抛物线对称性和从函数观点看方程和不等式，解答关键是数形结合．二．填空题（共8小题）11．当m＝2时，y＝（m+2）x m2﹣2是二次函数．【分析】根据二次函数定义可得m2﹣2＝2，且m+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2，且m+2≠0，解得：m＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．12．把抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2先向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2+1）2﹣2；再向下平移1个单位为：y＝﹣（x﹣2+1）2﹣2﹣1，即y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故答案是：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．13．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是y＝10（x+1）2．【分析】根据题意列出关系式即可．【解答】解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）2【点评】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键．14．如表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x 的取值范围是 6.3＜x＜6.4．x 6.1 6.2 6.3 6.4y＝﹣0.3﹣0.10.20.4ax2+bx+c【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在6.2～6.3之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝时，对应的x的值在6.3～6.4之间．【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.1和0.2更接近于0，故一元二次方程ax2+bx+c ＝（a≠0）的一个解x的取值范围是6．：3＜x＜6.4．故答案为：6.3＜x＜6.4．【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N同时从点B出发，分别在BC，BA上运动，若点M的运动速度是每秒2个单位长度，且是点N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN为对称轴作△MNB的对称图形△MNB1．点B1恰好在AD上的时间为秒．在整个运动过程中，△MNB1与矩形ABCD重叠部分面积的最大值为．【分析】（1）如图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F，根据轴对称的性质可以得出ME＝MB＝2t，由勾股定理就可以表示出EF，就可以表示出AE，再由勾股定理就可以求出t的值；（2）根据三角形的面积公式，分情况讨论，当0＜t≤和＜t≤4时由求分段函数的方法就可以求出结论．【解答】解：（1）如下图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F．∴∠DFM＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB．AD＝BC．∠D＝∠C＝90°．∴四边形DCMF是矩形，∴CD＝MF．∵△MNB与△MNE关于MN对称，∴△MNB≌△MNE，∴ME＝MB，NE＝BN．∵BN＝t，BM＝2t，∴EN＝t，ME＝2t．∵AB＝6，BC＝8，∴CD＝MF＝6，CB＝DA＝8．AN＝6﹣t在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得EF＝，AE＝，∴+＝2t，∴t＝．（2）如图所示：∵△MNB1与△MNB关于MN对称，∴∠MB1N＝∠MBN＝90°．∵∠MB1N+∠MBN+∠B1MB+∠B1NB＝360°，∴∠B1MB+∠B1NB＝180°．∵∠B1NA+∠B1NB＝180°，∴∠B1NA＝∠B1MB．∵tan∠B1NA＝，∴tan∠B1MB＝．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B1FG＝∠B1MB．∵BN＝t，BM＝2t，∴B1N＝t，MB1＝2t．∵AB＝6，BC＝8，∴CD＝MF＝6，CB＝DA＝8．AN＝6﹣t∴GA＝（6﹣t），GN＝（6﹣t），∵B1G＝B1N﹣GN＝t﹣（6﹣t）＝t﹣10，∴B1F＝（t﹣10）×＝2t﹣．∴当＜t≤4时，S＝t2﹣（2t﹣）（t﹣10）＝﹣（t﹣6）2+，∴t＝4时，S最大＝．当0＜t≤时，S＝t2．∴t＝时，S最大＝．∵＞．∴最大值为．故答案为：（1）；（2）．【点评】本题考查了的矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．16．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是5．【分析】设MN＝y，PC＝x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．【解答】解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．17．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．【分析】写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＜﹣1或x＞4，所以关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．故答案为x＜﹣1或x＞4．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，则点P的坐标是（0，6）或P（0，﹣）．【分析】过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE＝t，则F（6，4t），将点F的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值，最后，依据cot∠FAB＝的值；然后求得cot∠DAB＝，则∠FAB＝∠DAB．当点P在AF的上方时可证明PF∥AB，从而可求得点P的坐标；当点P在AF的下方时，设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，从而可求得m的值，然后再求得PF的解析式，从而可得到点P的坐标．【解答】解：过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE＝t．∵＝，∴＝＝．∴F（6，4t）．将点F（6，4t）代入y＝x2﹣x﹣3得：×62﹣3×6﹣3＝0，解得t＝．∴cot∠FAB＝＝．∵y＝﹣3＝（x+2）（x﹣4）．∴A（﹣2，0），B（4，0）．易得抛物线的对称轴为x＝1，C（0，﹣3）．∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，∴D（2，﹣3）．∴cot∠DAB＝，∴∠FAB＝∠DAB．如下图所示：当点P在AF的上方时，∠PFA＝∠DAB＝∠FAB，∴PF∥AB，∴y P＝y F＝6．由（1）可知：F（6，4t），t＝．∴F（6，6）．∴点P的坐标为（0，6）．当点P在AF的下方时，如下图所示：设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA＝∠FAB，可得到FG＝AG，∴（6﹣m）2+62＝（m+2）2，解得：m＝，∴G（，0）．设PF的解析式为y＝kx+b，将点F和点G的坐标代入得：，解得：k＝，b＝﹣．∴P（0，﹣）．综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．故答案是：（0，6）或P（0，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答本题的关键．三．解答题（共8小题）19．二次函数y＝ax2+bx﹣1中的x、y满足如表：x…﹣1012…y…0﹣1m9…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值．【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将x＝﹣1，y＝0，x＝2，y＝9代入即可得解；（2）将x＝1代入二次函数的解析式，即可求得m的值．【解答】解：（1）把x＝﹣1，y＝0，x＝2，y＝9，分别代入二次函数的解析式，得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝2x2+x﹣1；（2）当x＝1时，m＝2+1﹣1＝2．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解决此题的关键是能从表格中选出两组合适的数值代入y＝ax2+bx﹣1．20．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝2（x﹣2）2﹣2．（2）直接写出抛物线的顶点坐标：（2，﹣2）；对称轴：x＝2．（3）求该抛物线于坐标轴的交点坐标．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；（3）把y＝0代入y＝2x2﹣8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x＝0代入y＝2x2﹣8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．【解答】解：（1）y＝2x2﹣8x+6＝2（x2﹣4x+4）﹣8+6＝2（x﹣2）2﹣2；（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标是：（2，﹣2）；对称轴是：x＝2；（3）∵y＝2x2﹣8x+6，∴当y＝0时，2x2﹣8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）．故答案为y＝2（x﹣2）2﹣2；（2，﹣2），x＝2．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式，设直线AC的解析式为y＝mx+n．将点A和点C的坐标代入可求得m、n的值，从而得到直线AC的解析式；（2）过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q．设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），表示出PQ，进而得出S△APC＝﹣（x﹣）2+，再利用二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．把A（﹣1，0），C（2，3）代入，得，解得，∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ×3＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，△APC的面积最大，最大值为．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，正确求出函数的解析式是解题的关键．22．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．【分析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）分别得出EO，AB的长，进而得出面积．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得：，所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．（3）∵对称轴：x＝﹣1．∴D（﹣2，3）；设直线BD：y＝mx+n代入B（1，0），D（﹣2，3）：，解得：，故直线BD的解析式为：y＝﹣x+1，把x＝0代入求得E（0，1）∴OE＝1，又∵AB＝4∴S△ADE＝×4×3﹣×4×1＝4．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．23．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B 坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，所以水面上涨的高度为米．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90，BC∥x轴，抛物线y＝ax2﹣2ax+3经过△ABC 的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x＝1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x＝1对称轴，则AB＝AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF＝BF＝1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y＝ax2﹣2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD2＝32+（2+1）2＝18，PC2＝12+（t﹣3）2，PD2＝22+t2，然后分类讨论：当CD2＝PC2+PD2，即18＝12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1＝，t2＝，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2＝CD2+PC2，即22+t2＝18+12+（t﹣3）2，解得t＝4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2＝CD2+PD2，即12+（t﹣3）2＝18+22+t2，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）．【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵BC∥x轴，∴B点和C点关于直线x＝1对称轴，∴AB＝AC，而∠BAC＝90，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AF＝BF＝1，∴A点坐标为（1，4），把A（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3得a﹣2a+3＝4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），∴CD2＝32+（2+1）2＝18，PC2＝12+（t﹣3）2，PD2＝22+t2，当CD2＝PC2+PD2，即18＝12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1＝，t2＝，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2＝CD2+PC2，即22+t2＝18+12+（t﹣3）2，解得t＝4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2＝CD2+PD2，即12+（t﹣3）2＝18+22+t2，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）；∴符合条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．（1）求新抛物线的解析式；（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．【分析】（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；根据旋转，可得：A（1，0），B（0，2），则OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，进而得出答案；（2）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），∴，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；∵A（1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y2＝x2﹣3x+1；（2）∵点N在y＝x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），将y＝x2﹣3x+1配方得y＝（x﹣）2﹣，∴其对称轴为直线x＝．①0≤x0≤时，如图①，∵S△NBB1＝2S△NDD1，∴×1×x0＝2××1×（﹣x0），∵x0＝1，此时x02﹣3x0+1＝﹣1，∴N点的坐标为（1，﹣1）．②当x0＞时，如图②，同理可得×1×x0＝2××（x0﹣），∴x0＝3，此时x02﹣3x0+1＝1，∴点N的坐标为（3，1）．③当x＜0时，由图可知，N点不存在，综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．26．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝10，过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，∴＝，∴QE＝（10﹣m），∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，∴当m＝5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ＝90°时，F1（，8），当∠FQD＝90°时，则F2（，4），。