最新球体积公式(数学史)讲课稿
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高中数学《球的表面积和体积》课件
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课堂互动探究
随堂巩固训练
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[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球 的底面圆内，若正方体棱长为 6，求球的表面积和体积．
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解 作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π，V 球＝43πR3＝36π.
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面 上，则该球的表面积为( )
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答案
例 3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是 48π cm2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设 O′为截面圆圆心，则 OO′⊥O′A，O′A 为截 面圆的半径，OA 为球的半径 R.
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1．若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为( ) A．12π B．3π C.43π D. 3π
答案 A 解析 设球的半径为 R，则有43πR3＝4 3π，解得 R＝ 3，则球的表面积 S＝4π×( 3)2＝12π.
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答案
解析
3．一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积的比值是( )
人教版六年级数学上册-球体的体积说课稿
人教版六年级数学上册-球体的体积说课稿简介本节课是人教版六年级数学上册的第X单元第X课，主要内容是介绍球体的体积计算方法。
通过本节课的研究，学生将能够理解球体的概念、掌握计算球体体积的方法，并能运用所学知识解决实际问题。
研究目标1. 了解球体的定义和特点；2. 掌握计算球体体积的公式；3. 运用所学知识计算球体的体积。
教学重点1. 球体的定义和特点；2. 如何计算球体的体积。
教学难点1. 运用所学知识解决实际问题。
教学准备1. 教师准备一个球体模型；2. 黑板、彩笔、擦子。
教学过程导入新课1. 教师出示一个球体模型，引导学生观察并提问：“大家知道这是什么几何体吗？”2. 学生回答：“是球体。
”3. 教师继续问：“球体有什么特点？”等待学生回答。
探究球体的体积1. 教师引导学生思考如何计算球体的体积。
2. 教师与学生共同探讨，引导学生找出计算球体体积的方法。
3. 教师板书并解释计算球体体积的公式：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$，其中$V$表示体积，$r$表示球体半径。
4. 教师通过几个例子演示如何使用公式计算球体的体积，引导学生进行思考和讨论。
运用所学知识解决实际问题1. 教师设计一些实际问题，要求学生运用所学知识计算球体的体积。
2. 学生独立或小组完成练题，并互相核对答案。
3. 教师给予学生积极的肯定和评价。
总结1. 教师和学生共同总结本节课的研究内容和重点；2. 教师强调掌握计算球体体积的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
作业练册上的相关题。
扩展1. 学生可以自行查找更多关于球体的实际应用；2. 学生可以探索其他几何体的体积计算方式。
通过本节课的学习，学生将能够熟练计算球体的体积，并将所学知识应用到实际生活中。
同时，通过探索和扩展，学生能够培养出更好的数学思维能力和解决问题的能力。
希望本节课能够顺利进行，让学生对球体的体积有更深入的理解和掌握。
【高中数学课件】球的体积ppt课件
【高中数学课件】球的体积 ppt课件
复习
一、体积和体积单位。 二、公理5和两个推论。 三、公理6。
公理6的应用：求几何体的体积。
未知体积的 几何体M
参照体Q
公理6
VM = VQ
主要的思想方法:
1.化未知为已知; 2.把空间问题转化为平面问题; 3.割补法。
V长方体=Sh
公理6
天马行空官方博客：
V球 =
4 3
R3
例题
例 有一种空心钢球，重142g，测 得外径等于5.0cm。求它的内径（钢的 密度是7. 9g/cm 3 )。
解：设空心钢球的内径为2xcm，那么 钢球的质量是
7.9•[
4 3
•(
5 2
)
3-
4 3
x
3
]=142，
解得 x 2.24， 2x 4.5(cm)。
答:空心钢球的内径约为4. 5厘米。
R3
V半球 =
2 3
R3
r2 =R2-l 2 S截面 =R2 -l2
r R
l
lR
l
r2 =R2-l 2 S圆 =r2 = (R2 - l 2) =R2 -l2
S圆环=R2 -l2 S圆 =S圆环
1 2
V球
=R2•R
1 3
R2•R =
2 3
R3
所以
V球 =
4 3
R3
定理 如果球的半径是R，那么它 的体积是
课堂练习
填空题 1.球的半径扩大为原来 的2倍，它的球面 面积变为原来 （ 4）倍，它的体积变为原 来的（ 8）倍。
2.球面面积膨胀为原来的二倍,体积变为
原来的（ 2 2 ）倍。
3.球的大圆面积扩大为原来的二倍,球的
复习
一、体积和体积单位。 二、公理5和两个推论。 三、公理6。
公理6的应用：求几何体的体积。
未知体积的 几何体M
参照体Q
公理6
VM = VQ
主要的思想方法:
1.化未知为已知; 2.把空间问题转化为平面问题; 3.割补法。
V长方体=Sh
公理6
天马行空官方博客：
V球 =
4 3
R3
例题
例 有一种空心钢球，重142g，测 得外径等于5.0cm。求它的内径（钢的 密度是7. 9g/cm 3 )。
解：设空心钢球的内径为2xcm，那么 钢球的质量是
7.9•[
4 3
•(
5 2
)
3-
4 3
x
3
]=142，
解得 x 2.24， 2x 4.5(cm)。
答:空心钢球的内径约为4. 5厘米。
R3
V半球 =
2 3
R3
r2 =R2-l 2 S截面 =R2 -l2
r R
l
lR
l
r2 =R2-l 2 S圆 =r2 = (R2 - l 2) =R2 -l2
S圆环=R2 -l2 S圆 =S圆环
1 2
V球
=R2•R
1 3
R2•R =
2 3
R3
所以
V球 =
4 3
R3
定理 如果球的半径是R，那么它 的体积是
课堂练习
填空题 1.球的半径扩大为原来 的2倍，它的球面 面积变为原来 （ 4）倍，它的体积变为原 来的（ 8）倍。
2.球面面积膨胀为原来的二倍,体积变为
原来的（ 2 2 ）倍。
3.球的大圆面积扩大为原来的二倍,球的
球的体积和表面积PPT课件
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
h
实验：排液法测小球的体积
H
h
小 球 它 的 排 体 等 开 积 于 液 体 的 体 曹冲称象 积
回顾圆面积公式的推导
n=6 A1 O A2 假设将圆n等分，则
n=12 An
O p A1 A2 A3
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。
R
●
● ●
O
·
M
●
D
C
1、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
圆锥
旋转体
圆柱
圆台
球体
• 圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式： S侧=π(r+R)l 当r=R时，S侧=2πRl，即圆柱的侧面积公式． 当r=0时，S侧=rRl，即圆锥的侧面积公式． 其中r表示上底面半径，R表示上底面半径，l表示 母线长
• 直棱柱、直棱锥和直棱台的侧面积公式： S侧=(c+c’)h’/2 当c=c’时，S侧=ch’，即棱柱的侧面积公式． 当c’=0时，S侧=ch’/2，即棱锥的侧面积公式．
D A D1 A1 B1 O B
C A C1
D B D1 O
C
略解：
C1 B1
A1
变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R=————。 。
球的表面积与体积PPT课件
6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
球体积公式(数学史)
格证明。
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖 冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可 谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究 之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数 学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
（１）
牟合方盖内切半球图
（２）
正方形内切圆
牟合方盖“内棋” 图
合盖“外棋”分解图
合盖“外棋”截面图
倒立阳马图
（１）
等轴圆柱及内切球
（２）
球体切割图
力学原理与球体积计算
1. 数学研究中的算法倾向与演绎倾向 2. “以棋验术”的直觉方法与“数学物理”方
法 3. “截面原理”与“有限迭加” 4. 问题求解与因果论证 5. 几何代数化与微积分的应用
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿阿基基米米德德突这破一希成腊果古， 被典古时代期传几记何作定家性普研鲁究塔的 克传说统：，“重几视何定学量中研不究可，
能发找现到了更球难、做球的缺问、题椭，球
也体不体可积能公找式到及更抛简物练线、弓
更形清面楚积的公陈式述，和并证给明予。严”
球体积公式的发现与证明
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球体积公式
图2 用切割法证明球体积公式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。
球体积公式(数学史)
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿基米德突破希腊古 阿基米德这一成果， 典时期几何定性研究的 被古代传记作家普鲁塔 传统，重视定量研究， 克说：“几何学中不可 发现了球、球缺、椭球 能找到更难做的问题， 体体积公式及抛物线弓 也不可能找到更简练、 更清楚的陈述和证明。” 形面积公式，并给予严 格证明。
学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容 异” ——中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法” ——古希腊学者对球体积公式的发现与证明 三、异曲同工、弹奏千古名篇
——球体积公式与古代数学研究传统
牟合方盖
开立圆术的分解
(1)
(２ )
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖
冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可
谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究
之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数
4. 问题求解与因果论证
5. 几何代数化与微积分的应用
球体积公式的发现与证明
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。
（３）
正方体内切正交圆柱图
牟合方盖图
高中数学球的体积和表面积课件课件
V柱体 = S h
S `= S
V台体 =
h S + SS ` + S `
S `=
(
)
V锥体 =
Sh
运用类似的方法我们还能证实这样一个有趣的结论 : 一个底面半径和高都等于 R 的圆柱 , 挖去一个以上底 面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥后, 所得几何体的 体积与一个半径为R的半球的体积相等 (图 − − ). 由此得到 V球 = π R ⋅ R − π R R = π R , 所以
棱柱 (圆柱 )可由多边形 (圆)沿某一方向平移得到 ,因此 , 两个底面积相等、 两个底面积相等、高也 相等的棱柱 (圆柱 )应该具有相 等的体积 (图 − − ).
恒 恒 这一点可用祖日 原理来说明.有关祖日 原理的介绍见阅读材料 .
h
h
S
S
S
图 − −
柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积S和高h的 积, 即 V柱体 = S h .
V= .
≈ .
(mm ) =
(个).
.
(cm ).
约有毛坯
. ×
÷( . × .
个.
)≈
答 这堆毛坯约有
例 图 − − 是一个奖杯的三视图 (单位 : cm ), 试画 出它的直观图 , 并计算这个奖杯的体积 ( 精确到 . cm ).
解 采用斜二测画法 .先画底座, 这是一个正四棱台; 再画杯身,是长方体; 最后画出球体.如图 − − .
R
O
图 − −
这时, 这些 "准锥体" 的 高趋向于球半径 R, 底 面积 S , S , S ,⋅ ⋅ ⋅的和趋 向于球面积 , 所有这些" 准锥体"的体积和趋向 于球体积,因此
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格证明。
阿基米德（Archimedes. 约公元前287—212年）
研究中算史的日本专家三上义夫指出，从刘徽到祖 冲之父子通过“合盖”（即牟合方盖）得出球体积“可 谓中算史上几何处理方法之最高发达，荀与希腊阿基米 德之积分方法及其所言与外接圆柱之关系，一比较研究 之，亦一趣事也”
思考问题：刘徽、祖冲之父子、阿基米德都是蜚声中外的数 学家，他们如何解决球体的计算问题呢？
（１）
牟合方盖内切半球图
（２）
正方形内切圆
牟合方盖“内棋” 图
合盖“外棋”分解图Biblioteka 盖“外棋”截面图倒立阳马图
（１）
等轴圆柱及内切球
（２）
球体切割图
力学原理与球体积计算
1. 数学研究中的算法倾向与演绎倾向 2. “以棋验术”的直觉方法与“数学物理”方
法 3. “截面原理”与“有限迭加” 4. 问题求解与因果论证 5. 几何代数化与微积分的应用
一、刘徽的“牟合方盖”与祖暅的“幂势既同，则积不容 异”
——中算家对球体积的探求 二、阿基米德的“力学原理”与“穷竭法”
——古希腊学者对球体积公式的发现与证明 三、异曲同工、弹奏千古名篇
——球体积公式与古代数学研究传统
牟合方盖
开立圆术的分解
(1)
正方体内切正交圆柱图
(２)
牟合方盖图
（３）
１／８牟合方盖
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
西方数学史
阿阿基基米米德德突这破一希成腊果古， 被典古时代期传几记何作定家性普研鲁究塔的 克传说统：，“重几视何定学量中研不究可，
能发找现到了更球难、做球的缺问、题椭，球
也体不体可积能公找式到及更抛简物练线、弓
更形清面楚积的公陈式述，和并证给明予。严”
球体积公式(数学史)
怎样计算球的体积 发现球体积公式的过程和方法 证明球体积公式的思路和方法
图1 用祖暅原理证明球体积公式
图2 用切割法证明球体积公式
图3 用定积分计算球体积
数学是人类文化的重要组成部分。运用数学史材 料进行数学教育是国际数学教育界共同关注的问题。
球体积公式的发现和证明，是度量几何发展进程 中具有标志意义的成果。