第3讲 集合的基本运算解析版

第3讲 集合的基本运算{AB x x ={AB x x =A A A =A ∅= ∅=∅B BA =B BA =例1. 设{}1,3,4,6A =，{}2,3,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，求：（1）A B = .（2）AB = .（3）U C A = . （4）U C B = . （5）()()U U C A C B = .（6）()()U U C A C B = .（7）()U C A B = . （8）()U C AB = .【答案】（1）{}1,2,3,4,5,6；（2）{}3,6；（3）{}2,5,7,8；（4）{}1,4,7,8；（5）{}7,8；（6）{}1,2,4,5,7,8；（7）{}7,8；（8）{}1,2,4,5,7,8.例2. 设{}25A x x =-<≤，{}07B x x =≤<，U R =，求：(1) A B = . (2) AB = .(3) U C A = . (4) U C B = . (5) ()()U U C A C B = . (6) ()()U U C A C B = .(7) ()U C A B = . (8) ()U C A B = .【答案】（1）{}27x x -<<；（2）{}05x x ≤≤；（3）{}25x x x ≤->或；（4）{}07x x x <≥或；（5）{}27x x x ≤-≥或；（6）{}05x x x <>或；（7）{}27x x x ≤-≥或；（8）{}05x x x <>或. 归纳：()()()U U U C A C B C A B =，()()()U U U C A C B C AB =.例3. 如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A.()MP SB.()M P SC.()U M P C SD.()U M P C S【答案】C 例4.设集合{}1,3,5A a =+，{}2221,2,21B a a a a a =+++-，当{}2,3AB =时，求A B .【答案】{}5,2,3,5AB =-.【解析】由{}2,3AB =可知2A ∈，所以12a +=，解得1a =或3-.当1a =时，集合B 中元素213a +=，223a a +=，不符合元素的互异性，故1a =舍去； 当3a =-时，{}2,3,5A =，{}5,3,2B =-，{}2,3AB =符合题意，{}5,2,3,5AB =-.例5.已知集合{}23A x x =-≤<，{}29B x m x m =≤≤+.（1）若A B B =，求实数m 的取值范围；（2）若A B ≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}32m m -≤≤-；（2）1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）A B B =，A B ∴⊆，2293m m ≤-⎧∴⎨+≥⎩，解得32m -≤≤-，所以m 的取值范围是{}32m m -≤≤-；（2）若A B =∅，当B =∅时，则29m m >+，解得9m <-；当B ≠∅时，则29292m m m ≤+⎧⎨+<-⎩或293m m m ≤+⎧⎨≥⎩，解得1192m -≤≤-或3m ≥.综上所述，112m ≤-或3m ≥时，A B =∅， 所以A B ≠∅时，m 的取值范围是1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例6. 已知集合{}2230A x x x =-->，{}20B x x ax b =++≤，若A B R =，{}34AB x x =<≤，求a b +的值.【答案】7a b +=-【解析】{}{}223013A x x x x x x =-->=<->或，A B R =，{}34AB x x =<≤，{}14B x x ∴=-≤≤，1∴-和4是方程20x ax b ++=的两个根，根据韦达定理得1414a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得34a b =-⎧⎨=-⎩，7a b ∴+=-.例7.{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2280C x x x =+-=.（1）A B A B =，求a 的值； （2）∅⫋()AB 且AC =∅，求a 的值；（3）A B A C =≠∅，求a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.【解析】{}{}25602,3B x x x =-+==，{}{}22802,4C x x x =+-==-（1）A B A B =，A B ∴=，∴2和3是方程22190x ax a -+-=的两个根，根据韦达定理得2232319aa +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =； （2）∅⫋()A B 且A C =∅，2A ∴∉，3A ∈，4A -∉，将3x =代入22190x ax a -+-=解得2a =-或5，当2a =-时，{}{}221503,5A x x x =+-==-，符合题意；当5a =时，{}{}25602,3A x x x =-+==，不符合题意，综上所述，2a =-； （3）A B A C =≠∅，2A ∴∈，将2x =代入22190x ax a -+-=解得3a =-或5，当3a =-时，{}{}231005,2A x x x =+-==-，符合题意；当5a =时，{}{}25602,3A x x x =-+==，不符合题意，综上所述，3a =-.跟踪训练1. 设集合{}1P x x =<，{}24Q x x =<，则PQ = .【答案】{}21x x -<<.2. 若{}0,1,2,3A =，{}3,B x x a a A ==∈，则A B =（ ）A. {}1,2B.{}0,1C.{}0,3D.{}3【答案】C 【解析】{}0,1,2,3A =，{}{}3,0,3,6,9B x x a a A ==∈=，{}0,3AB ∴=，故选C.3. 设全集{}8U x N x *=∈<，{}1,3,5,7A =，{}2,4,5B =，则()U C AB = .【答案】{}6 【解析】，{}1,3,5,7A =，{}2,4,5B =，{}1,2,3,4,5,7AB ∴=又{}{}81,2,3,4,5,6,7U x N x *=∈<=，(){}6U C AB ∴=.4. 设集合{}12M x x =-≤<，{}N x x k =≤，若M N ≠∅，则k 的取值范围是（ ）A.2k ≤B.1k ≥-C.1k >-D.12k -<≤【答案】B5. 设全集U R =，{}220A x x x =--<，{}10B x x =-<，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{}1x x ≥B.{}12x x ≤<C.{}01x x <≤D.{}1x x ≤【答案】B【解析】由Venn 图可知，阴影部分表示集合为()U AC B ，U R =，{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}{}101B x x x x =-<=<，{}1U C B x x ∴=≥，(){}12U AC B x x ∴=≤<，故选B.6. 设{}260A x x ax =-+=，{}20B x x x c =-+=，{}2AB =，则AB = .【答案】{}1,2,3- 【解析】{}2AB =，2A ∴∈，2B ∈，4260a ∴-+=，420c -+=，5a ∴=，2c =-，{}{}25602,3A x x x ∴=-+==，{}{}2201,2C x x x =--==-，{}1,2,3AB ∴=-.7. 已知(){},1A x y y x ==+，(){}2,B x y y x ==，则AB 的子集个数为（ ） A.2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】(){},1A x y y x ==+，A 表示函数1y x =+图象上的点集，(){}2,B x y y x ==，B 表示函数2y x =图象上的点集，AB 中的元素为1y x =+和2y x =图象的交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩得到210x x --=，1450∆=+=>，所以有2个交点， 所以A B 的元素个数为2，其子集个数为224=个，故选C.8. 已知50名学生参加跳远和铅球两项测验，分别及格的人数为40,31人，两项均不及格的人数为4人，那么两项都及格的人数为 人. 【答案】25【解析】依题意画出Venn 图，设两项均及格的人数为x 人，则仅跳远及格人数为40x -人，仅铅球及格人数为31x -人，()()4403150x x x ∴+-++-=，解得25x =.9. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食对集”；当两个集合有公共元素，但互不为对方的子集时，称这两个集合构成“偏食对集”.对于集合11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}21,0B x ax a ==≥，若A 与B 构成“全食对集”，则a 的取值集合为 ；若A 与B 构成“偏食对集”，则a 的取值集合为 ． 【答案】{}0,1；{}4【解析】{}21,0B x ax a ==≥0a ∴=时，B =∅；0a >时，B⎧=⎨⎩， 又11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食对集”，则B A ⊆，当0a =时，满足题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =-1=，1a ∴=，综上，A 与B 构成“全食对集”时，a 的取值集合为{}0,1；若A 与B 构成“偏食对集”，则11,22B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭12=，解得4a =， a ∴的取值集合为{}4.10. 已知集合(){}22,1,,A x y xy x y Z =+≤∈，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30【答案】C 【解析】(){}()()()()(){}22,1,,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0A x y xy x y Z =+≤∈=--中有5个元素，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈中有5525⨯=个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，当()()11,1,0x y =-时，()1212,x x y y ++即把()22,x y 向左平移一个单位；()()11,0,1x y =时，()1212,x x y y ++即把()22,x y 向上平移一个单位；()()11,0,0x y =时，()1212,x x y y ++即()22,x y 保持不动；()()11,0,1x y =-时，()1212,x x y y ++即把()22,x y 向下平移一个单位； ()()11,1,0x y =时，()1212,x x y y ++即把()22,x y 向右平移一个单位，()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ∴⊕=++∈∈的元素可看成图中正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C.。