条件数学期望及其应用

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文案大全条件数学期望及其应用

The ways of finding the inverse matrix and it's application

Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.

0前言

在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各

点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积

分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都

是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.

1条件数学期望

1.1条件数学期望的定义

定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列

为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时

,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi

为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有

???Aiii px|

则称

??．

Aiii pxAXE|]|[

为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）．

定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之

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??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若

X在条件A下的条件数学期望．

定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为

},2,1,),,{(??jiyx ii，

联合分布列为

?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij，

在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若

???jiii px|，

则

???

jiiii pxyYXE|]|[

为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望．

定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若

??????dxyxpx YX)|(|，

则称

dxyxxpyYXE YX)|(]|[|??????

为随机变量X在}{yY?条件下的条件数学期望．

1.2条件数学期望的性质

定理1条件期望具有下面的性质：

（1）)|()|()|(GbEGaEGbaE???????，

其中Rba?,，且假定)|(GbaE???存在；

（2）)()]|([??EGEE?；

（3）如果?为G可测，则???)|(GE；

（4）如果?与?代数G独立，则??EGE?)|(;

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文案大全（5）如果1G是?代数G的子?代数，则)|(]|))|([(11GEGGEE???；（6）)(不等式Jensen如果f是R上的下凸函数，则

)|)(())|((GfEGEf???；

定理2条件期望的极限定理：

（1）单调收敛定理：若sa n..???，则在})|({???GE?上，则

)|(lim)|(GEGE nn?????．

（2）Fatou引理：若saY n.,??，则在})|({???GE?上，则

)|(suplim)|sup(limGEGE nn???．

（3）控制收敛定理：若YsaY n,.,??可积，且Psa n或.,???，则

0)|(lim????GE nn??．

1.3条件数学期望的求法

在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种

不同情形下的条件期望的求法做出讨论．

方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．

例1设n???,,,21?时独立同分布随机变量．???E，记???nkk S1?，求

nkSE k,,2,1,|(???．

解易证jiSESE ji??),|()|(??．则

niSSnESSE i,,2,1,)|()|(?????

即

nksanSSE k,,2,1,.,)|( ???

方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的?域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．

例 2设有正态样本n XX,,1?),0(2?N，统计量???nik XT1，求)|(2TXE k．实用文档

???nkk XS12，则)|(1)|(2TSEnTXE k?．作正交变换：

文案大全解令??????????????????????????????nn XXXCYYYY??2121，其中C为正交阵，第一行为)1,,1(nn?，则有nT ICCYXCovEY???),(,0，即??nkk YT22与独立，k Y nkN,,2),,0(2???，从而??????????nkknkknkk YnTYXS2221212，2T 关于)(T?可测，所以

?? 2222222)11(]|)[(1)|(1)|(?nnTTYnTEnTSEnTXE nkkk?????

由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于?代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解．

1.4全期望公式