2013高考数学一轮复习 (考基自主导学+考向探究导析+考题专项突破)双曲线课件 理
2013届高考数学(文科)大纲版一轮总复习课件8.2双曲线(第2课时)
)
1 2
4m2 4-k2
1 2
(
1 ) 1.
•
点评：求参数或式子的取
值范围问题,其策略是先根据条件
选设主参数,然后利用已知条件和
相关性质(如双曲线上的点的横坐
标、离心率的范围)求解相应的不
等式或函数式,即可解决所求问题.
• 拓展练习 设离心率为e的双曲
线C: x2 y2
a2 - b2 1(a 0,b 0)
•
记S() 1 ( 1 ) 1, [1 , 2],
2
3
•
由S′(λ)=0，得λ=1,S又(1)
2,
S
(1) 3
8 3
,
S
(2=1时，△AOB的面积取得最小
值2，
•
当λ1=
大值
3
.
时,△AOB的面积取得83 最 8
3
•
所以△AOB面积的取值范围是
［2, ］.
- m)2
y02
( x0
- m)2
9( x02 16
-1)
25 16
x02
- 2mx0
m2
- 9.
• 由| PF1 | | PF2 || PM |2,
得 25
16
x02
-16
25 16
x02
-
2mx0
m2
-
9,
• 即m2-2mx0+7=0.(*)
• 因为Δ=4x02-28≥4×16-28=36>0，
• 将P点坐标代y42 -入x2 1,
得 4m2
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.6 双曲线(教师版) 新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.6 双曲线[考纲解读]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． [考点预测]高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. [要点梳理]1. 双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线〔12||||||2PF PF a -=〕。
注意：①〔*〕式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PFPF a -=时为双曲线的一支〔含2F 的一支〕；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支〔含1F 的一支〕；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=> 1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程 22221x y a b +=22221x y b a +=22221x y a b -=22221y x a b -=焦点(,0)F c ± (0,)F c ± (,0)F c ± (0,)F c ±注意：如何有方程确定焦点的位置！2．双曲线的性质①范围：从标准方程12222=-b y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：8.2双曲线(第1课时)
x2 y2 (2)方法 1：设所求双曲线的方程为a2－b2＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 3 22 4 又双曲线过点(3 2，2)，所以 a2 －b2＝1. 因为 a2＋b2＝(2 5)2，所以 a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
x2 y2 方法 2：设所求双曲线的方程为 － ＝1(－4<k<16)， 16－k 4＋k 将点(3 2，2)代入得 k＝4， x2 y2 所以所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
x2 y2 设所求双曲线的方程为a2－b2＝1.
b 4 ＝ a 3 由题意，得 －32 2 32 a2 － b2 ＝1 2 9 a ＝ 4 ，解得 b2＝4
，
x2 y2 所以所求双曲线的方程为 9 － 4 ＝1. 4
x2 y2 4 方法 2：双曲线 9 －16＝1 的渐近线方程为 y＝± x， 3 x2 y2 所以设所求双曲线的方程为 9 －16＝λ(λ≠0)． 1 将点(－3,2 3)代入得 λ＝4， x2 y2 1 x2 y2 故所求双曲线的方程为 9 －16＝4，即 9 － 4 ＝1. 4
题型1
求双曲线的标准问题
1.根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程： x2 y2 (1)与双曲线 9 －16＝1 有共同的渐近线，且过点(－3，2 3)； x2 y2 (2)与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)．
解：(1)方法 1：由双曲线的方程得 a＝3，b＝4， 4 所以渐近线方程为 y＝± x. 3 4 4 当 x＝－3 时，y＝－3x＝－3×(－3)＝4＞2 3， 所以所求的双曲线的焦点在 x 轴上．
2
x
2
2.如果双曲线 - 1 上一点P到它 16 9 的右焦点的距离是8，那么P到它的右准 线的距离是( D )
2013高考数学双曲线复习课件和训练题(新人教B版)
2013高考数学双曲线复习课件和训练题(新人教B版）2013年高考数学总复习8-5双曲线但因为测试新人教B版1.(文)(2011•烟台调研)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1答案]B解析]椭圆的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝＋＋1－－＋1＝8＋43－8－43＝22，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x22－y2＝1.(理)(2011•山东理，8)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1答案]A解析]依题意：⊙C方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，∴|3b|a2＋b2＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.2．(文)(2011•巢湖质检)设双曲线y2m－x22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为()A.2B．2C.6D．22答案]A解析]由条件知m＋2＝4，∴m＝2，∴离心率e＝22＝2.(理)(2011•浙江金华十校模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54答案]B解析]因为椭圆的离心率e＝32，即ca＝32，也即a2－b2a2＝34，所以b2a2＝14，则1＋b2a2＝54，即a2＋b2a2＝54，则双曲线离心率e′＝c′a ＝52，故选B.3．(文)(2011•南昌一模)设F为双曲线x216－y29＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则|FN|－|FM||FA|的值为()A.25B.52C.54D.45答案]D解析]对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM||FA|＝810＝45，选D.(理)(2011•新泰一中模拟)设P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．外切C．内切或外切D．不相切答案]A解析]如下图，取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．4．(文)(2011•青岛一检)设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1→•PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|＝() A.10B．210C.5D．25答案]B解析]如下图∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－10，0)，F2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF1→＋PF2→|＝|2PO→|＝210，故选B.(理)(2011•湖南湘西联考)已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A．8B．9C．16D．20答案]B解析]由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.5．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是() A．－10C．k≥0D．k>1或k答案]A解析]由题意知(1＋k)(1－k)>0，∴－16．(文)(2010•湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有() A．4条B．3条C．2条D．1条答案]B解析]过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.(理)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1答案]D解析]直线与双曲线右支相切时，k＝－153，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－1537．(2011•辽宁大连模拟)若双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a的值为________．答案]2解析]∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±3ax，又一条渐近线方程为32x，∴a＝2.8．(文)(2011•江西文，12)若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________.答案]48解析]∵16＋m4＝2，∴m＝48.(理)(2011•辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．答案]2解析]4a2－9b2＝1a2＋b2＝4，∴a2＝1b2＝3，∴a＝1，c＝2，∴e＝ca＝2.9．(文)(2011•长沙二模)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．答案]x216－y29＝1解析]由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为x216－y29＝1.(理)(2011•宁波二模)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝bax交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．答案]ab解析]因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝bax，即bx－ay＝0的距离为|bc|a2＋b2＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为12×2a×b＝ab. 10．(文)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值．解析](1)将y＝－x＋1代入双曲线x2a2－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①由题设条件知，1－a2≠04a4＋－，解得0又双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1，∵062且e≠2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)．∴x1＝512x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2，消去x2得，－2a21－a2＝28960，∵a>0，∴a＝1713.(理)(2011•江西理，20)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解析](1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1由题意又有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24，设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2y3＝λy1＋y2①又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得：λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2，由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.。
2013届高考数学(理)一轮复习课件第八章第七节双曲线(广东专用)
(2)设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA| ＝ 122＋92－ 122＋－52＝2， ∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长 的双曲线的下支上，
e＝ac，e∈__(_1_，__＋__∞_)___，其中 c＝____________ c2＝______________ (c＞a＞0，c＞b＞0) a2＋b2
3.等轴双曲线 ___实__轴____和___虚__轴_____等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线 方程为__y_＝__±__x___，离心率为____________.
1．在平面内满足|PF1|－|PF2|＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)的动点P 的轨迹是双曲线吗？ 【提示】 不是双曲线．|PF1|－|PF2|＝2a，表示的几何图形只 能说是离焦点F2较近的双曲线的一支． 2．双曲线的离心率是怎样影响双曲线“张口”大小的？
【提示】 对于双曲线xa22－by22＝1，由 e＝ca＝
(x － 4)2 ＋ y2 ＝ 2 内 切 ， 则 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 为
________．
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A(－
6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线2x52－1y12＝1 的左支上，则
sin
A－sin sin B
C＝________.
从近两年的高考看，双曲线的标准方程及几何性质是高 考的热点，特别是双曲线的几何性质，几乎每年均有涉及，且 主要以选择题和填空题为主，属中低档题目，在解答过程中， 为了挖掘题目的隐含条件，应充分利用数形结合的思想．
某师大附中2013届高考数学第一轮复习 双曲线A(文理)
双曲线(教案)A一、知识梳理：1.双曲线的定义定义的理解:(1)当2a=2c时, ; 当2a>2c时,(2)当a=0时, ;(3)当|M|-| M|=2a时,表示 ; 当|M|-| M|=2a时,表示2.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的标准方程:- =1(a>0,b>0)．焦点在y轴上的标准方程:- =1(a>0,b>0)两种方程可用统一形式表示:A+ B=1 (AB<0) ,当A>0,B<0时,焦点在轴上,当A<0,B>0时,焦点在轴上; 对双曲线的两种标准方程，都有(a>0,b>0)，焦点都在实轴上，且a、b、c始终满足=3.双曲线焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看系数,如果为正,的系数为负,则双曲线的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.4.双曲线的几何性质对于双曲线- =1(a>0,b>0)(1)范围:由标准方程可知, - =1(a>0,b>0)|x| a ,说明双曲线位于直线x=两侧;(2)对称性: 双曲线- =1(a>0,b>0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;(3)顶点:,是双曲线与x轴的两个交点,,线段、分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。
(4)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值e=叫双曲线的离心率，范围：（1，+），越接近于1越窄狭，越大开阔，常用=1+；双曲线上点到焦点和直线x=的距离之比等于离心率，由此可以求出双曲线上的点到相应的焦点的距离（焦半径）p在右支上时,|p|= e a |p|= e a ;p在左支上时,|p|=-( e a) |p|=-( e a (,为左、右焦点)(5)双曲线的渐近线求法：将方程中的常数变为0特点：与渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点。
有共同渐近线的双曲线系:与双曲线有共同渐近线的双曲线可设为-=5.（选讲内容）双曲线的参数方程：双曲线- =1(a>0,b>0)的参数方程为：（）为参数6.二次曲线的弦长公式：整理得到x的方程：整理得到y的方程：7.等轴双曲线：渐近线:离心率:e=xy=1是等轴双曲线8.共轭双曲线:- =1(a>0,b>0)二、题型探究探究一：双曲线的标准方程（求双曲线方程常用方法：待定系数法）例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），双曲线上的点P到两个焦点的距离之差为6；（2）、与椭圆+ =1共焦点且过点B(3)（3）、求以椭圆+ =1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线标准方程探究二：双曲线的几何性质例2：根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)与双曲线有共同的渐近线,且过点(-3,).(2)与双曲线有共同的焦点,且过点(3,).(3)双曲线的一条渐近线与x轴夹角为3,且过点(1,1).探究三：直线与双曲线 例3：(1)、已知双曲线1222=-y x ，过点()11，P 能否作直线交双曲线于A 、B 两点，且线段AB 中点为P ？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解：这样的直线不存在,可用点差法解AB 的斜率为2,这与判别式大于零矛盾.(2)、过双曲线116922=-y x 的右焦点作直线L 交双曲线于A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
高考数学(理科)一轮复习双曲线学习型教学案含答案
高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→•PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→•mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332•x1＋x22－4x1x2＝43•3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|•d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a<c 双曲线a＝c 两条射线a>c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→•mQ→＝•＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25>4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝355－52＋455－02＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12x1＋1，Fm→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→•FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。
双曲线及其标准方程
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
基础梳理 1．双曲线的概念 (1)我们把平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常 数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作
双曲线 ．定点 F1，F2 叫
作双曲线的 焦点 ，两个焦点之间的距离叫作双曲线的 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1 |－|MF2 ||＝2a}，|F1F2 |＝2c，其中 a、c 为常数且 a>0，c>0； (1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
2．双曲线的标准方程和几何性质
x2 y2 a2－b2＝1 (a>0，b>0) y2 x2 a2－b2＝1 (a>0，b>0)
标准方程
图 形
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
范 围 x≥a或x≤－a，y∈R 对称性 顶点 性 渐近线 质 离心率
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
x2 y2 【训练2】 (2012· 郑州模拟)已知双曲线 2 － 2 ＝1(a＞0，b＞0) a b 的一条渐近线方程是y＝ 3 x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x
的焦点相同．则双曲线的方程为________． 解析 b ∵双曲线的渐近线为y＝ 3x，∴ ＝ 3， a ①
实虚轴
a、b、c的 关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
考基自主导学 考向探究导析 考题专项突破 活页限时训练
பைடு நூலகம்
2013届高考数学第一轮专项复习教案32
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1椭圆定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1.22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） 2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ， y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22b x =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为3.参数A.59B.3C.779 D.49 解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：D x =4+5cos ϕ， y =3sin ϕA.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－a b =acb 2-.∴b =c .3.（2003年春季北京）（ϕ为参数）的焦点坐又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =bb 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】如下图，设E ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）. x +y =1，ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M （b a b +，b a a +）.∵k OM =22，∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0.∴a +b =2. ② 由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B.3C.27D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x+y 2=1，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴P （3，21），|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27.解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1B.2－3C.22D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0.培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0， ∴n m n +-)1(2－n m n -2+1=0.∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43.② m =21，m =23， n =23n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.解①或8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8，∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ，两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2， 展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x+162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－42∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG =k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ② 由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ； （2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ； （4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心 教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】（2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得（π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）. OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23. 又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c 1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）. 可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时， |OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1，a 2=10， a 2－b 2=4.b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1. 【例2】（2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1． （2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54． 根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）． 由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12）， 得解所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③ 将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤ 由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）. 将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得 9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得 （9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。
2013高考数学一轮复习试题 9-8 理答案
2013高考数学一轮复习试题 9-8 理答案一、选择题(每小题5分，共25分)1．解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案 C2．解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72答案 B3．解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2－bax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.答案 D4．解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4消去y 得x 2－5x ＋4＝0，x＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A → ·F B →|F A →||F B →|＝0×3＋－2×42×5＝－45，选D.答案 D5．解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，①y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±43.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案 87．解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案 4x －y －7＝08．解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x .答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)9．思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－b 21＋b 22－41－2b 21＋b2＝8b 41＋b 22，解得b ＝22. 10．解 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝45(x 1＋x 2－6)＝45(3－6)＝－125.∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝－65.即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65.一、选择题(每小题5分，共10分)1．解析 (筛选法)直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆x 24＋y 2＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A 、C ；将直线y ＝kx ＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B.答案 B【点评】 本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.2．解析 由已知得抛物线经过(－4,11－4a )和(2,2a －1)两点，过这两点的割线斜率k ＝2a －1－11－4a 2－－4a －2.于是，平行于该割线的直线方程为y ＝(a －2)x ＋b .该直线与圆相切，所以b 21＋a －22＝365.该直线又与抛物线相切，于是(a －2)x ＋b ＝x 2＋ax －5有两个相等的根，即由方程x 2＋2x －5－b ＝0的Δ＝0得b ＝－6，代入b 21＋a －22＝365，注意到a ≠0，得a ＝4.所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．答案 A 二、填空题(每小题4分，共8分)3．解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.答案 634．解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －bOP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2a a －b 1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.答案 2 三、解答题(共22分)5．(1)解 设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，得2y 2＋my －20m ＝0，∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫5－y 14＋⎝⎛⎭⎫5－y 24＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F ⎝⎛⎭⎫m2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 33＝m2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴⎝⎛⎭⎫m 22＝2m ⎝⎛⎭⎫11m8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q 162＝b2k2，∴b 2k 2＋16bk0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)． 6．解 法一 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为 (x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y 得 x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二 (1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)同法一．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【训练1】 (2011·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy
中，已知双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此
双曲线的右焦点的距离为________．
解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，
15)或(3，－ 15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
三个防范 (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭 圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)． (3)双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±bax，ay22－ bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±abx.
[审题视点] 抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程．
解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方
程是bx±ay＝0，根据已知得
3b a2＋b2
＝2，即
3b 3
＝2，解得b＝
2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是x52－y42＝1.
答案 A
5．(2012·银川质检)设P是双曲线
x2 a2
－
y2 9
＝1上一点，双曲线的
一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右
解析
双曲线2x2－y2＝8的标准方程为
x2 4
－
y2 8
＝1，所以实轴长
2a＝4.
答案 C
3．(2012·烟台调研)设双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长
为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为( )．
A．y＝± 2x
B．y＝±2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
解析 由题意得b＝1，c＝ 3 .∴a＝ 2 ，∴双曲线的渐近线方
解析 由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P 到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支 上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝ 20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定 义，有2d0＝ac＝180，故d＝16. 答案 16
由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定 义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相 对应．
程为y＝±bax，即y＝±
2 2 x.
答案 C
4．(2011·山东)已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近
线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C
的圆心，则该双曲线的方程为( )．
A.x52－y42＝1
B.x42－y52＝1
C.x32－y62＝1
D.x62－y32＝1
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
范 围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
性 渐近线 质
离心率
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线 定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准 方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如 果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为mx22－ny22＝λ(λ≠0)， 再根据条件求λ的值．
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线 段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫
做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的 关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝ 2 ⇔双曲线的两条 渐近线互相垂直(位置关系)．
焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．
解析
由渐近线方程y＝
3 2
x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定
义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.
答案 7
考向一 双曲线定义的应用 【例1】►(2011·四川)双曲线6x42 －3y62 ＝1上一点P到双曲线右焦点 的距离是4，那么点P到左准线的距离是________． [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题． ．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)双曲线1x02 － 2 B．4 2 C．3 3 D．4 3
解析 由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2 3 ，故双曲线的焦距
为4 3.
答案 D
2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )．
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
答案 4
考向二 求双曲线的标准方程
【例2】►(2011·东莞调研)设椭圆C1的离心率为
5 13
，焦点在x轴
上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离
的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )．
A.4x22－3y22＝1
B.1x322－5y22＝1
C.3x22－4y22＝1
D.1x322－1y222＝1
第6讲 双曲线
【2013年高考会这样考】 1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定 义、几何图形． 2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方 程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择 题．填空题进行考查．
基础梳理 1．双曲线的概念 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为 常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定 点叫双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数 且 a>0，c>0； (1)当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线 ； (3)当 a>c 时，P 点不存在．