2013年高考数学全国卷(理科)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．

答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：

样本数据n x x x ,,21的标准差

n

x x x x x x s n 2

2221)()()(-++-+-=

其中x 为样本平均数 球的面积公式 2

4R S π=

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数

i i

++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．2

1

C ．3

D ．1

2.已知R 是实数集，{}

11,12+-==?

??

???<=x y y N x x M ，则=M C N R A ．)2,1(

B ．[]2,0

C.? D ．[]2,1

3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则

=2

4

S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)6

2sin()(π

-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a

的值是 A ．

6π B ．3π C ．4π D ．2

π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为

（1）βααβα⊥⊥?=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β

（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m

A ．（1）、（2）

B ．（3）、（4）

C ．（2）、（3）

D ．（2）、（4）

7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若|

|,23BC OC OB OA -=等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8.已知三角形ABC ?的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2

3

，则这个三角形的周长是

A ．18

B ．21

C ．24

D ．15 9.函数x

x x f 1

lg )(-

=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞

10.过直线y x =上一点P 引圆2

2

670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为

A ．

2

2 B ． 22

3 C ．210 D ．2

11.已知函数b ax x x f 2)(2

-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是 A ．

43 B ．4

1 C ．83

D ．85

12.已知双曲线的标准方程为

116

92

2=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若

0=?FM ,则a 的值为

A ．

916 B ．59 C ．925 D ．5

16

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.

14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在

一个球面上，则该球的表面积为__________.

15.

E 的关系为)4.11(lg 3

2

-=E R ．2011年3月11日，日本

东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m

都是正数，且b

a

b a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '?∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ?∈，使得2

210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.

其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知向量),2

cos 2sin 3()2cos ,1(y x

x b x a +==→→

与共线，且有函数)(x f y =．

（Ⅰ）若1)(=x f ，求)23

2cos(x -π

的值；

（Ⅱ）在ABC ?中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围. 18．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．

第14题图

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设?

??

???n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，

2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F 为AD 的中点.

（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.

A

B C

D

E

F

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：

现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程

26

139

134?+

=x y

，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．

21.（本小题满分12分） 已知函数1

)(2++=

x b

ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.

22.（本小题满分14分）

实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若2=,求直线l 的斜率k .

参考答案及评分标准

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） B D B A D B B D B C C B

填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

13．2 14.π3

19

15. 23

10 16. ①③

三．解答题 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→

a 与→

b 共线

∴

y

x

x x 2cos 2

cos

2sin 31

=

+

2

1

)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分

∴121)6sin()(=+

+

=π

x x f ，即2

1

)6sin(=+πx …………………………………………4分

2

11)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x

…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+ 由正弦定理得：

C

A C A C C A C A

B

C C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)

sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+

∴21cos =

A ，∴在ABC ?中 ∠3

π

=A …………………………………………8分 21

)6sin()(++=πB B f

∵∠3π=A ∴320π<

ππ<+

∴1)6sin(21≤+<πB ,2

3)(1≤

3

,1( …………………………………………12分

18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得

????

?+=+=?++?+)

12()3(50254522331121

1

1d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得??

?==2

3

1d a ， …………………………………………4分

1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分

(Ⅱ)

13-=n n

n

a b ，113)12(3--?+=?=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-?+++?+?+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132?++?-++?+?+?=

- ……………………9分

n n n n T 3)12(3232323212+-?++?+?+=--

n

n

n n n 323)12(3

1)

31(3231?-=+---?+=- ∴n

n n T 3?= ………

…………………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点

∴FG ∥CD,且FG=2

1

DC=1 ．

∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等

∴EF ∥BG ． ……………………………2分

ABC BG ABC EF 面面??,

∴EF ∥面ABC ……………………………4分

（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ?面ABC ∴DC ⊥BG

∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，

∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC

∵EF ?面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．

4

3

631232313114331=+=??+??=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ． (12)

分

另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,

∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，

4

3232331,2321)21(,23=??=∴=?+==

-BCDE A BCDE V S AO ． A

B

C

D

E

F G

20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分

所以3

21510)(==

A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32

． ………………………6分

(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134?<-=+?=y ……………………………………9分

当30=x 时，;2|1626

379|,263792613930134?<-=+?=y

所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴21

1)1(-=+-=-a

b f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分

222)1(2)()1()(x x

b ax x a x f +?+-+=

' 12

424)(22)1(-===-+=

-'b

b a b a f ． (4)

分

解得：2,2-==b a ∴1

2

2)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分

（Ⅱ）由已知得1

2

2ln 2

+-≥

x x x 在),1[+∞上恒成立 化简得22ln )1(2

-≥+x x x

即022ln ln 2

≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分

设22ln ln )(2

+-+=x x x x x h ，

21

ln 2)(-+

+='x

x x x x h ∵1≥x ∴21

,0ln 2≥+

≥x

x x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分

∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h

∴

)

()(x f x g ≥在

)

,1[+∞∈x 上恒成

立 ． …………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

解（1）设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，12,AF m AF n ==

由题意知???

?

???==+=+63442

22mn n m c n m …………………………………………2分

解得92

=c ，∴39122

=-=b ．

∴椭圆的方程为13

122

2=+y x …………………………………………4分 ∵3=?c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ， 将点A 坐标代入得抛物线方程为

y x 82=． …………………………………………6分

（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B 由2= 得)22(22212-=-x x ，

化简得22221=-x x …………………………………………8分

联立直线与抛物线的方程?????=-=-y

x x k y 8)

22(12，

得0821682

=-+-k kx x

∴k x 8221=+① …………………………………………10分

联立直线与椭圆的方程?????=+-=-12

4)

22(122y x x k y

得0821632)2168()41(2

222=--+-++k k x k k x k

∴2

2241821622k

k

k x +-=+② …………………………………………12分

∴2222418216)228(222

221=++---=-k

k

k k x x 整理得：0)4121)(2416(2

=+-

-k k

k

∴42=k ，所以直线l 的斜率为4

2 ． …………………………………………14分