知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系
【考纲要求】
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理；
（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识网络】
【考点梳理】
考点一、平面的基本性质
1、平面的基本性质的应用
（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；
（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。

2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。

3、公理2的推论：
（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间点线面位置关系
三个公理、三个推论
平面
平行直异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离
直线在平面内
直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直
概念
垂斜
空间直
线 与平面 空间两个平面
两个平面平行
两个平面相交
三垂线定理 直线与平面所成的角
4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

要点诠释：证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

考点二、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
⎧⎧⎪⎨
⎨⎩⎪
⎩相交直线共面直线平行直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’
∥a,b ’
∥b,把a ’
与b ’
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.
②范围：02π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，
要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：
1、定义法（不易操作）
2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。

此法在异面直线的判定中经常用到。

3、客观题中，也可用下述结论：
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
考点三、直线和平面、两个平面的位置关系
1、直线和平面的位置关系
α=
A
2、两个平面的位置关系
β=
a
αβ
⊥
β=
a 考点四、平行公理、等角定理
平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

要点诠释：
（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；
（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；
（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；
（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。

【典型例题】
类型一、异面直线的判定
例1如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。

问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。

【解析】（1）不是异面直线。

理由：连接MN、A1C1、AC。

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。

∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。

（2）是异面直线。

证明如下：
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。

假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。

∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线。

【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。

（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。

举一反三：
【变式】已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且
1AE C F =，求证：四边形1EBFD 是平行四边形
【证明】由1AE C F =可以证得ABE ∆≌11C D F ∆ 所以1BE D F = 又可以由正方体的性质证明1//BE D F 所以四边形1EBFD 是平行四边形
类型二、平面的基本性质及平行公理的应用
例2如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900
，BC 1//
2AD ，BE 1
//2
FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点。

（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 【解析】（1）
11
,,//.//,//,
22
FG GA FH HD GH AD BC AD GH BC BCHG ==∴∴由已知可得又四边形为平行四边形。

（2）方法一：
1
//
,//,2
//.(1)//,//,,BE AF G FA BE FG BEFG EF BG BG CH EF CH EF CH D FH C ∴∴∴∴∈∴为中点知，四边形为平行四边形，由知与共面.又、D 、F 、E 四点共面.
方法二：如图，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，'
M ，∵BE 1
//2
AF ，∴B 为MA 中点。

∵BC 1//
2
AD ，∴B 为'M A 中点，∴M 与'M 重合，即FE 与DC 交于点M （'M ），∴C 、D 、F 、
E 四点共面。

【点评】（1）G 、H 为中点→GH 1//
2AD ，又BC 1
//2
AD → GH //BC ；（2）方法一：证明D 点在EF 、GJ 确定的平面内。

方法二：延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，'
M ，可证M 与 '
M 重合，从而FE 与DC 相交。

类型三、异面直线所成的角
例3空间四边形ABCD 中，AB=CD 且AB 与CD 所成的角为300
，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小。

【答案】取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG//AB ，GF//CD ，且由AB=CD 知EG=FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。

∵ＡＢ与CD 所成的角为300
，∴∠ＥＧＦ=300
或1500。

由EG=FG 知ΔEFG 为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300
时，∠GEF=750
；当∠ＥＧＦ=1500
时，∠GEF=150。

故EF 与AB 所成的角为150
或750。

【解析】要求EF 与AB 所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E 、F 为中点，故可过E 或F 作AB 的平行线。

取AC 的中点，平移AB 、CD ，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。

【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。

平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；
（2）求异面直线所成角的步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角； ③求：通过解三角形，求出该角。

类型四、点共线、线共点、线共面问题
例4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ． 求证：点C 1、O 、M 共线． 【证明】
A 1A∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C
⇒O∈面A 1C ⇒
O∈A 1C
面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上 ∴C1、O 、M 共线 举一反三：
【变式】如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K 。

求证：M 、N 、K 三点共线。

【证明】 因为M ∈PQ ⊆平面PQR ，M ∈BC ⊆平面BCD ，又因为M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点，即M 在平面PQR 与平面BCD 的交线l 上。

同理可证：N 、K 也在l 上，所以M 、N 、K 三点共线。

C
A。