电磁场与电磁波5_矢量与场论4-矢量场分类与几个重要定理
电磁场与电磁波矢量分析
矢量的单位矢量：
eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。
A
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az
Ax A cos Ay A cos Az A cos
场。试求：
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
(2)
求该函数
沿单位矢量
el
ex
cos
60o
ey
cos
45o
ez
cos
60o
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度
值作以比较，得出相应结论。
解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
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球坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
13
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4. 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
er
e
e
e
sin cos
（圆柱面）
0（半平面）
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
3. 球坐标系
第1章 矢量分析
12
0（圆锥面）
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
电磁场与电磁波的基本概念.
边界处的波
当电场的极化方向垂 直于入射面时
Rv
=
Z2 Z2
cosθ1 − Z1 cosθ1 cosθ1 + Z1 cosθ2
Tv
=
Z2
2Z2
cosθ1
cosθ1 + Z1 cosθ2
当电场的极化方向位 于入射面时
Rv
=
Z2 Z2
cosθ2 cosθ2
− +
Z1 Z1
cosθ1 cosθ1
Tv
=
Z2
B1t = B2t
边界处的波
• 斯耐尔定律
– 当入射波照射到边界上时，一部分反射而另一部分透射所示。 – 根据斯耐尔定律，反射角等于入射角。 – 入射角θ1与折射角θ2的关系:
k1 sinθ1 = k2 sinθ2
边界处的波
• 反射系数和折射系数
反射系数定义 R = Er Ei
折射系数定义 T = Et Ei
化的大小。
• 波矢量 k
– 波数表示成与电磁波传播方向一致的矢量
简谐电磁波的特征
• E和H的横电磁波 • E和H相互垂直 • E和H均垂直于传播方向 • 传播速度在真空中为光速 • 波长λ=c/f • E和H之比为波阻抗, 在真空中
为377欧 • 功率流密度＝功率／面积 • 功率与场强的平方成正比 • k垂直的平面内，E可以任意取
G B
⋅
G ds
=
0
∫
G E⋅ G
G dl =
G
−
∂ ∂t
∫
G B
⋅
G ds
=
−
∂Φ ∂t
∫ H ⋅ dl = 闭合电流
材料的电磁参数
电磁场与电磁波基础知识总结
电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r e θr d θ+e ϕr sin θd ϕ矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A SSd Φ0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γmaxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y zA A A 1zzzA A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A 21sin sin r r zr r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SVd dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u ll 0cos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P u u u ulx y zαβγcos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zyyyx x x z z z x y zu u uu A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理） d 0⋅=⎰l E l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E 场与位：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r ϕ=-∇E 01()()d 4πV V ρϕε''='-⎰r r |r r |介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε==⋅P e PS n n P ρ=-∇⋅P P ρ2. 恒定电场 电荷守恒定律：⎰⎰-=-=⋅Vsdv dtd dt dq ds J ρ0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流与运流电流：=J E σρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0⋅=⎰J l l 0∇⋅=J 0∇⨯J =3. 恒定磁场 真空中：0 d ⋅=⎰B l lI μ（安培环路定理） d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ0∇⋅=B场与位：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ=∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμm =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律() d d in lC dv B dl dt ⋅=-⋅⨯⋅⎰⎰⎰SE l B S +）（法拉第电磁感应定律∂∇⨯=-∂B E t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S lSt∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流：d=DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S lS l SS V Sl tl t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m eme e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H DB H J E J D B D B t t&tt ρρm e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B t t ρρ 三、边界条件1. 一般形式12121212()0()()()0n n S n Sn σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件 位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qCφ两导体间的电容：=C q /U 任意双导体系统电容求解方法：3. 静电场的能量N 个导体：112ne i i i W q φ==∑连续分布：12e VW dV φρ=⎰电场能量密度：12ω=⋅D E e二、恒定电场分析1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E lE l J S E SSSU R G I d d σ（L R =σS ） 4.静电比拟法：G C —，σε—2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析 2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇=211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A lSlL IIIψ0=+i L L L3. 恒定磁场的能量N 个线圈：112==∑Nmj j j W I ψ连续分布：m 1d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ （2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ （4）自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波公式总结电磁场与电磁波复习第一部分知识点归纳第一章矢量分析1、三种常用的坐标系（1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++= 面积元：===dxdy dS dxdz dS dydzdS zyx，体积元：dxdydz d =τ（2）柱坐标系长度元：===dz dl rd dl drdl z r ??，面积元======rdrdzdl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ，体积元：dz rdrd d ?τ=（3）球坐标系长度元：===?θθ?θd r dl rd dl drdl r sin ，面积元：======θθ?θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin2，体积元：?θθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标系与柱坐标系的关系==+====z z x y yx r z z r y r x arctan,sin cos 22 （2）直角坐标系与球坐标系的关系=++=++====z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222 222?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系=+=+====??θθ??θ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x ??+??+??=?=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r ??+??+??=?=→→→μμμμμ?1（3）球坐标系中：μθθμμμμ?θ??+??+??=?=→→→sin 11r a r a r a grad r4.散度（1）直角坐标系中：zA y A x A A div zy X ??+??+??=→（2）柱坐标系中：zA A r rA r r A div zr ??+??+??=→1)(1 （3）球坐标系中：θθθθ?θ+??+??=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(122 5、高斯散度定理：→→→→=??=?ττττd A div d A S d A S ，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。
电磁场与电磁波课件
电磁场与电磁波理论
A B
D
D
AB
B
ABC D B
C
ABC D
C
A
B A
A
Nanjing
University
of
Information
Science
&
Technology
Az ( B z )
A(B )
Ay ( B y )
O y
O
Ax ( B x )
y
x
x
代学方法：若 两矢量的对应分量相等，则 A B 。 A x = B x , A y = B y , A z = B z ，则 A 例如：在直角坐标系中，若
A、 B
第一章 矢量分析
直角坐标系下矢量表示：A A x e x A y e y A z e z
电磁场与电磁波理论
z
Az A
Байду номын сангаас大小：
A A
eA
Ax A y Az
2 2
2
ez ex Ax
方向（单位矢量）：
A
ey O
A Ay A ex x e y ez z A A A A
电磁场与电磁波理论
标量积
a A B A B co s
矢量积
C A B e n A B sin
e x e y e y e z e z e x 0
e x e x e y e y e z e z 1
R R
大小：
电磁场与电磁波课件
a
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
，则 c
C
b
B
c a k (b a )
y
x
c (1 k )a kb
其中：k 为任意实数。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三、矢量微分元：线元、面元、体元
例：
其中：dl , dS 和 dV 称为微分元。
求：确定垂直于 A、 B所在平面的单位矢量。 解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。
A B ˆn a A B
ˆx a ˆy a ˆz a
ˆ x 3a ˆy a ˆz B 4a
ˆ x 10a ˆ y 30 a ˆz A B 2 6 3 15a 4 3 1
ˆx a
ˆy a By Cy
ˆz a Bz Cz
Cx
b.矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设
ˆx a ˆy a ˆ z , r2 a ˆ x 3a ˆ y 2a ˆz r1 2a ˆx a ˆ y 3a ˆ z , r4 3a ˆ x 2a ˆ y 5a ˆz r3 2a
A (B C) A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆx a ˆ y 0, a ˆx a ˆ x 1, a ˆx a ˆz 0, a ˆy a ˆ y 1, a ˆy a ˆz 0 a ˆz a ˆz 1 a
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解：选用直角坐标系。因 为c在xoy平面上，所以
ˆ x dx a ˆ y dy dl a
F dl xydx 2 xdy
F 在c上的环量为
c
F dl F dl F dl F dl
1 R 1 R ˆ ˆ R a a 0 R sin R
[ f ( R) R] f ( R) R f ( R) R R R f ( R )R R f ( R ) 0 R
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矢量格林定理
若任意两个矢量场 P 和 Q 在空间区域V中具 有连续的二阶偏导数， S为包围空间区域V的 封闭面，则：
标量格林第一定理
V
(u v u2v)dV
S
uv dS
标量格林第二定理
V
(u2v v2u )dV
S
(uv vu ) dS
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标量格林第一定理证明
证明：高斯散度定理 AdV
9 y 2 2 x dx dy 0 0 9 1 2
故
c
F dl F dS
S
得证。
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5.2.3【格林Green定理】
South China University of Technology
R 则称为矢径。 设 r 表示源点，r 表示场点，
应用球坐标系，最为简单。
拉梅系数
H R 1, H r , H r sin
R r r
算子
1 1 ˆR ˆ ˆ a a a R R R sin R
电磁场与电磁波 Electromagnetic Fields and Waves
第5讲
矢量与场论3
王世伟
副教授 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 22236201-604 Email:eewsw@
– 矢量场分类与 几个重要定理
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可以得到几点结论： 在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少 按1/r衰减，且其源密度至少按1/r2衰减），则 矢量场由它的散度和旋度唯一确定。
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在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其 边界条件唯一确定。
又
ˆx a F x xy ˆ z dxdy dS a
ˆy a x 2 x
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆz a ˆx 2 x a x 0
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积分域S为1/4圆面积，即 0 x 9 y 2 0 y3
矢量格林定理
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标量格林定理
若任意两个标量场u和v在空间区域V中具有 连续的二阶偏导数， S为包围空间区域V的封 闭面，则标量场u和v满足：
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5.2.2【Gauss散度定理】
设S是矢量场 A 空间内的一个闭合面，V是闭合 面S所围的体积，则有
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AdV
V
S
A dS
证明：对于任意一个小体积元△Vi，有
A lim
Si
A dS
Vi 0
Vi
S后
S右
x 1
S左
S上
S下
) A dS
x 0 y 0
S前
ˆ x dydz A a
S右
y 1
S后
ˆ x）dydz A （ a
S左
2
ˆ y dxdz A a ˆ z dxdy A a
ˆ y）dxdz A （ a ˆ z）dxdy A （ a
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所以
F dS
S
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3
0 3
9 y 2
0
ˆz ˆ z dxdy 2 x a a
S
uv dS
得证
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标量格林第二定理证明 证明：标量格林第一定理为
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V
(u v u2v)dV
S
uv dS
在△Vi→0，有
Vi 0
lim AVi
Si
A dS
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对所有△Vi叠加，有
lim AV
i 1 Vi 0 i i 1
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矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。
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A F u
A 对应旋涡源， A 对应通量源，所以 Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋 涡源和通量源产生的。
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5.2 场论中几个重要定理
5.2.1【Helmholtz定理】
对于任意矢量场 A ，有
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1 A 4
证明略。
V
1 A dv 4 r r
V
A dv r r
第5讲内容
矢径的“三度”计算
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几个重要的矢量定理
矢量场分类
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5.1 矢径的“三度”计算
在电磁理论中，大量遇到矢径 R 的“三度” 计算问题。
V
S
A dS
令 A uv ，有
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V
uv dV
uv dS
S
又根据散度运算规则
uv u v u v
2
所以
V
(u v u2v)dV
V
AdV
3x y dxdydz 3x y dxdy dz
0 0 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1
故
1 1
0 0
3xdxdy
S
1 1
0 0
ydxdy
2
AdV
V
A dS
得证。
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5.2.3【斯托克斯Stokes定理】
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c
A dl rotA dS A dS
S S
其中S是回路c界定的面积。
证明：任取一个非闭合曲面 S，周界长度c。把S分成许 多面元△Si ，周界为ci。
故
c
F dl F dl
A 0 2 3
B
xydx 2 xdy A
3 0
B
x 9 x dx 2 9 1 2
9 y 2 dy
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S上
z 1
S下
z 0
散度为
A
x2
xy yz 3x y x y z
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因此
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格林定理表示某一点的场量是由一个体积分 和一个面积分的和。面积分就代表边界上的 场，即边界条件，而体积分代表所求区域内 的源场。
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Green函数很明确的给出了利用源和边界求场 的方法。利用格林定理，可由已知边界条件 和一个体积区域内源来求该区域内的场。 标量格林定理