弹性力学简明教程(第四版)_第四章_课后作业题答案

弹性力学简明教程(第四版)_第四章_课后作
业题答案
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第四章 平面问题的极坐标解答
【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用，试导出其解答。

【解答】实心圆盘是轴对称的，可引用轴对称应力解答，教材中的式（4-11），即
2
2(12ln )2(32ln )20A
B C
A
B C ρϕρϕ
σρρσρρτ⎫=+++⎪
⎪⎪⎪=-+++⎬⎪
⎪⎪
=⎪⎭ (a) 首先，在圆盘的周界（r ρ=）上，有边界条件()=r q ρρσ=-，由此得
-q 2
(12ln )2A
B C ρσρρ
=
+++= (b)
其次，在圆盘的圆心，当0ρ→时，式（a ）中ρσ，ϕσ的第一、第二项均趋于无限大，这是不可能的。

按照有限值条件（即，除了应力集中点以外，弹性体上的应力应为有限值。

），当=0ρ时，必须有0A B ==。

把上述条件代入式（b ）中，得
/2C q =-。

所以，得应力的解答为
-q 0ρϕρϕσστ===。

【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数
2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量（图4-15）。

【解答】（1）相容条件：
将应力函数Φ代入相容方程40∇Φ=，显然满足。

（2）由Φ求应力分量表达式
=-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C
ρϕρϕσϕϕσϕϕτϕ⎧+⎪⎪
=+⎨⎪=--⎪⎩
（3）考察边界条件：注意本题有两个ϕ面，即2
π
ϕ=±
，分别为ϕ±面。

在ϕ±面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有
2()0,ϕϕπσ=±= 得0C =； -q 2
(),ρϕϕπτ=±= 得2
q
B =-。

将各系数代入应力分量表达式，得
sin 2sin 2cos 2q q q ρϕρϕσϕσϕτϕ
⎧=⎪⎪
=-⎨⎪=⎪⎩ 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变量，并求圆筒厚度的改变量。

【解答】本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。

当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式，教材中式（4-11），注意到B =0。

内外的应力边界条件要求
r r ()0,()0;(),
()0
R R q ρϕρρϕρρρρρττσσ=======-=
由表达式可见，前两个关于ρϕτ的条件是满足的，而后两个条件要求
r 2
2
2,20A
C q A C R ⎧+=-⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩。

由上式解得
22
2
,C ()
2()
22
22
qr R qr A R -r R -r =-=。

(a) 把A ，B ，C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离，教材中式（4-12）。

()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμϕϕρ⎡⎤
=-++++⎢⎥-⎣
⎦ (b) sin cos 0u H I K ϕρϕϕ=-+=。

(c) 式（c ）中的ρ，ϕ取任何值等式都成立，所以各自由项的系数为零
0H I K ===
所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为
()()222211(R r )qr R u E ρμρμρ⎡⎤
=-++⎢⎥-⎣
⎦， 而圆筒是属于平面应变问题，故上式中2
1E E μ→
-，1μ
μμ
→-代替，则有 2
222
2111111R u q E R r ρ
μμρμμρμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪-⎝⎭
， 此时内径改变为
()
r 22
222222
2211111,111R r qr R r u q E R r Er R r μμμμμμμμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎛⎫--+⎝⎭⎝⎭==+ ⎪-⎛⎫-⎝⎭- ⎪
-⎝⎭
外径改变为
()
22222
2
2
211111211R
R R qr rR
u q E R r
ER R r μμμμμμ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝⎭==⎛⎫
-- ⎪-⎝⎭。

圆环厚度的改变为
()
211R r qr R r u u E R r μμμ-⎛⎫
--=-+ ⎪+-⎝⎭。

【4-16】在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为0x y σσ==，
y x q τ=，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。

【解答】（1）求出两个主应力，即
12=2。

x y q σσσσ+⎫=±⎬⎭
原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如下图所示。

根据教材中的式（4-18）
r 22
22442222cos 2(1)(13),
cos 2(13),sin 2(1)(13)r σq r σq r r τq ρϕρϕ
ϕρϕρρ
ϕρτϕρρ⎫=--⎪⎪
⎪⎪
=-+⎬⎪
⎪
⎪==--+⎪⎭。

(4-18)
沿着孔边r ρ=，环向正应力是4cos 2q ϕσϕ=-。

最大环向正应力为()max 4q ϕσ=。

【4-17】同习题【4-16】，但x y xy q σστ===。

【解答】（1）求出两个主应力，即
122=02，。

x y q σσσσ+⎫⎧=⎬⎨⎩⎭ （2）原来的问题变为矩形薄板只在左右两边受均布拉力2q ，如下图所示。

可以将荷载分解为两部分：第一部分是四边的均布拉力1212
22
q q q σσ++==，第二部分是左右两边的均布拉力
1212
22
q q q σσ--==和上下两边的均布压力2
12
2q q q -=。

对于第一部分荷载，可应用教材中的式（4-17），对于第二部分荷载，可应用教材中的式（4-18），将两部分解答叠加，即得原荷载作用下的应力解答（基尔斯解答）。

222
22224242222(1)cos 2(1)(13),
(1)cos 2(13),
sin 2(1)(13)r r r q q r r q q r r q ρϕρϕϕρσϕρρρσϕρρττϕρρ⎧=-+--⎪⎪
⎪⎪
=+-+⎨⎪
⎪⎪==--+⎪⎩。

沿着孔边r ρ=，环向正应力是
2-4cos 2q q ϕσϕ=
最大环向正应力为()max 6q ϕσ=。