数学建模章绍辉版第四章作业任务
数学建模第一章作业(章绍辉)
P7 Pj P7 Pj
196 495
所以打赌者赢的理论概率 P 为
1 196 251 P 0 1 0.50707 9 495 495
（四）收敛性分析 一次打赌相当于伯努利概型，记为随机变量 X，取值为 0（表示打赌者输）或 1（表示打赌者赢） ，则 X 的期望为 P， 方差为 P(1 P) . n 次打赌，即相互独立地重复试验 n 次，试验结果可记 作随机变量序列 X1 , X 2 , , X n ，则打赌者赢的频率为平均值
方法二（参数方程） 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
评价：虽然半圆周由同样多的折线段连接而成，但是方 法二绘得的图形看起来处处一样光滑，事实上，方法二通过 等分圆心角来取得圆周上的采样点，并连结线段，所以绘得 的“圆形”实际上是正多边形.
( X1 X 2 X n ) n .
弱大数定律： 0 ，都有
n
lim Pr ( X1 X 2 X n ) n P 0 .
( X1 X 2 X n ) n P 1 . 强大数定律： Pr nlim
x
否则绘得的图像会在左边有一段与 x 轴重合. 程序： x=-3:.1:3; y=exp(x); plot(x,y,'k',y,x,'k',[-3,20],[-3,20],'k') axis equal axis([-3,20,-3,20]) grid xlabel('x') ylabel('y') title('y=e^x 和 y=ln x 的函数图像关于直线 y=x 对称')
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课时作业3北师大版必修1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模课时作业3 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模课时作业3 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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4.2实际问题的函数建模（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图4。
2.6所示，则下列说法正确的是（)图4。
2。
6A．甲比乙先出发B．乙比甲跑得路程更多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【解析】由图可知,甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D。
【答案】D2。
某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图4 2.7所示，由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( ）图4。
2.7A．310元B．300元C．290元D．280元【解析】令y＝ x＋b，则错误!解得错误!所以y＝500x＋300,令x＝0，y＝300.故营销人员没有销售量时的收入是300元．【答案】B3。
某机器总成本y(万元）与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ )A ．30B ．40C ．50D ．60【解析】 设安排生产x 台，则获得利润f (x ）＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－（x －50）2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．故选C. 【答案】 C4. 如图42。
北京信息职业技术学校2019-2020学年第二学期《数学建模》第四章《加归模型》(48张ppt)
• 又称为回归方程， f(x) 称为 y 对 x 的回归函数。
年广告
年销售收入（万元）
费 （ 万 50～ 51～ 52～ 53～ 54～ 55 56
元）
51 52 53 54 55 ～ ～
合计
56 57
7
22
6
12
3
5
1
1
4
1
1
3
1
1
2
2
2
合计 2 1 1 1 1 2 2 10
8
2）相关图
广告费用与销售收入依存关系散点图
58
57
56
55
54 53
系列1
52
51
实际经验来进行判断和分析。例如，根据经济理论来判别居民的货币收入与社 会商品购买力是否存在相关关系；根据生物遗传理论，来判别父辈的身高与子 辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是进行相关分析的基础，在此基础上， 根据需要通过编制相关表和绘制相关图来进行分析。 • (2)定量分析 • 这就是利用相关图或相关表，进一步判断经过定性分析确认具有相关关系的现
年广告费（万 元）
2
23
4
5
6 6677
年销售收入 （万元）
50 51 52 53 53 54 55 56 56 57
简捷公式：
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
相关系数 r =0.9340，说明年广告费用与年销售收入之间的关系是高度相关关 12系。
数学建模章绍辉版第四章作业
第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。
下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。
1、 问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为32D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ；（2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ；（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。
2、 符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；~t 时刻（小时）； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）； 0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）；(t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；~V 中心室的容积（百毫升）； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数2.0079）；2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数0.1855）；3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V .3、 模型建立和求解（1） 酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113212()k t k t k k c t e e k k --=--来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ⎛⎫==⎪⎝⎭. 下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。
高中数学第四章函数应用4.2.1-3实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2.1-3 实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2.1-3 实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第四章函数应用4.2.1-3 实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1的全部内容。
课时作业24 实际问题的函数建模｜基础巩固｜(25分钟,60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9。
5 ，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f（x)的图像大致为（)【解析】设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知,ax＝a(1＋9.5 ）y，所以y＝log1。
095x。
【答案】D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0。
2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是（)A．y＝0。
1x＋800（0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200（0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0。
1x＋1 200（0≤x≤4 000)【解析】因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x）辆，y＝0。
2x＋0.3（4 000－x）＝－0.1x＋1 200，故选D.【答案】D3．某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为( ）A．p＝96V B．p＝错误!C．p＝错误! D．p＝错误!【解析】设p＝错误!，则64＝错误!，解得＝96，故p＝错误!。
2020_2021学年高中数学第四章函数应用课时作业21实际问题的函数建模含解析北师大版必修1
课时作业21 实际问题的函数建模时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( D )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(4 000－x)辆次，所以y＝0.2x ＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.2．某人2014年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2019年1月1日可取款( A )A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元D．a(1＋x5)元解析：2014年1月1日到银行存入a元，到2015年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2016年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2019年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.3．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( C )A．(1＋P)11B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1解析：设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C.4．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( D )解析：易知此函数模型为指数函数模型y＝(1＋10.4%)x，过(0,1)点，故选D.5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是( B )A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系解析：A ：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B ：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C ：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系，是反比例函数关系；D ：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.6．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋12x 2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( A )A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件解析：y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20.∴x ＝18时，y 有最大值．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( C )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x.当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．8．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．二、填空题9．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为14a 2.解析：令t ＝A (t >0)，则A ＝t 2.∴D ＝at －t 2＝－(t －12a )2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a2时，D 取最大值．10．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的104倍．解析：由已知条件可知这次地震中A ＝1 000，A 0＝0.001，代入到M ＝lg A －lg A 0中得M ＝lg1 000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则有9＝lg A 1＋3,5＝lg A 2＋3，故lg A 1＝6，lg A 2＝2，A 1A 2＝106102＝104.11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤110，116t －110，t >110；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k >0)，将点(0.1,1)代入y ＝kt ，可得k ＝10，所以y ＝10t ；又因为药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a ，将点(0.1,1)代入y ＝(116)t －a，得a ＝0.1，三、解答题12．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y (μg)与时间t (h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.13．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)解：解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·(23)n.依题意，得2100·(23)n ≤11 000，即(23)n ≤120，∵(23)7＝1282 187>120，(23)8＝2566 561<120， ∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．——能力提升类——14．已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝a e－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今2_292年．(已知log 20.767≈－0.4)解析：由题意可知，a e－5 730k＝12a ，解得k ＝ln25 730. 现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%，所以76.7%＝e －ln25 730 x ，得ln0.767＝－ln25 730x ，则x ＝－5 730×ln0.767ln2＝－5 730×log 20.767≈2 292.15．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p %作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．解：由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p %时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p %(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×80－10p ×p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6.(2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p %＝－8(p－4)2＋128.∴当p＝4时，f(p)max＝128.即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．。
新教材高中数学第四章数学建模活动：生长规律的描述课后素养落实含解析新人教B版必修第二册
新教材高中数学新人教B版必修第二册：课后素养落实(九) 函数的应用(二)数学建模活动：生长规律的描述(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数D[结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D．]2．某校甲、乙两食堂2020年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知2020年9月份两食堂的营业额又相等，则2020年5月份营业额较高的是()A．甲B．乙C．甲、乙营业额相等D．不确定A[设甲以后每个月比前一个月增加相同的营业额a，乙每个月比前一个月增加营业额的百分比为x,1月份的营业额设为1，由题意得1＋8a＝1×(1＋x)8,5月份甲的营业额为1＋4a,5月份乙的营业额为1×(1＋x)4，即1＋8a.因为(1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2＞0，所以1＋4a＞1＋8a，所以2020年5月份营业额较高的是甲．]3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过 2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B[若2018年是第一年，则第n年科研经费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n＞2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12＞lg 2，得n×0.05＞0.19，n＞3.8，n≥4，即到2021年科研经费超过2 000万元．]4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到()A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只A [当x ＝1时，y ＝100，得a ＝100，故当x ＝7时，y ＝100log 28＝300.]5．碳十四是一种具有放射性的同位素，于1940年被首次发现，美国科学家应用碳十四发明了碳十四年代测定法，并获得了1960年的诺贝尔化学奖．已知当生物死亡时，它体内原有的碳十四含量按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间叫做半衰期，据此规律，生物体内碳十四的含量P 与死亡年数t 之间的函数关系式为( )A ．P ＝⎝⎛⎭⎫12tB ．P ＝⎝⎛⎭⎫12 5 730tC ．P ＝⎝⎛⎭⎫12t5 730D ．P ＝⎝⎛⎭⎫125 730tC [根据大约每经过5 730年衰减为原来的一半，生物体内碳十四的含量P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P ＝⎝⎛⎭⎫12t5 730.] 二、填空题6．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．2ln 2 1 024 [当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.]7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．e 6－1 [当v ＝12 000时，2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴Mm＝e 6－1．] 8．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则到第7年它们的数量为________只．300 [将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)中，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，则y ＝100log 2(x ＋1)，所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.]三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来刻画h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t (年) 1 2 3 4 5 6 h (米)0.611.31.51.61.7[解] 据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 不妨将(2,1)代入到h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3. 故可用函数h ＝log 3(t ＋1)来拟合这个实际问题． 当t ＝8时，求得h ＝log 3(8＋1)＝2， 故可预测第8年松树的高度为2米．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)[解] 法一：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100×⎝⎛⎭⎫23x.依题意，得2100×⎝⎛⎭⎫23x ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23x ≤120，∵⎝⎛⎭⎫237＝1282 187＞120，⎝⎛⎭⎫238＝2566 561＜120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 法二：接法一：⎝⎛⎭⎫23n≤120， 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 即n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，又n ∈N *，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．11．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16xC [A 选项是一次函数，而沙漠增加值无这种倍数关系，显然不适合； B 选项将三点代入，函数值与实际值差的太大，不适合；C 选项将x ＝1,2,3分别代入得y ＝0.2,0.4,0.8，与实际增加值比较接近；D 选项将x ＝2代入得y ＝0.45，将x ＝3代入得y ≈0.6，与实际值相差太多．]12．(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t ，有以下叙述，其中正确的是( )A ．这个指数函数的底数为2B ．第5个月时，浮萍面积会超过30 m 2C ．浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要再经过1.5个月D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2，所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 ABD [∵点(1,2)在函数图像上，∴a 1＝2，即a ＝2，故A 正确． ∵函数y ＝2t 在R 上为增函数，且当t ＝5时，y ＝32，故B 正确．4对应的t ＝2，经过1.5月后面积是23.5<12.故C 不正确；对于D,2＝2x 1，3＝2x 2，6＝2x 3， ∴x 1＝1，x 2＝log 23，x 3＝log 26， 又∵1＋log 23＝log 22＋log 23＝log 26，∴若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3成立．] 13．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16 [当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ，所以e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min.]14．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生强度至少为4.7级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．1 000 000 [设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6. 故lg E 1－lg E 2＝lgE 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000， 即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．]15．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x ，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．[解] (1)证明：当x ≥7时， f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4).而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故函数f (x ＋1)－f (x )单调递减，当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的． (2)由题意可知0.1＋15ln aa －6＝0.85， 整理得aa －6＝e 0.05， 解得a ＝e 0.05e 0.05－1×6≈20.50×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科.。
2019-2020年数学必修第一册课后试题：第四章 数学建模(人教A版)
数学建模建立函数模型解决实际问题一、数学建模活动选题1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重．3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．4．估计阅读一本书所需要的时间．5．估计一个人的血液总量．6．决定十字路口黄灯亮的时间长度．选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题．选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益性等原则．选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应．二、数学建模活动开题以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做开题报告，如下表：数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．三、数学建模活动做题做题就是研究小组建立数学模型、用数学知识解决实际问题的实践活动，在实践活动中应当按照数学建模的实施步骤进行．根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．四、数学建模活动结题数学建模活动结束后，以小组为单位，撰写一份研究报告．以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表：以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。
新的课程改革环境中,如何撰写教案,才能带动教师的积极性,发挥教案在常规教学中的应有的作用首先，要打破传统教案的固定、僵化模式，允许教案因人、因课程、因教学内容而异，倡导书写个性化、创新性教案。
同时要改变教案检查的传统理念和标准，重新界定教案的功能和地位。
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第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。
下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。
1、 问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为32D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ；（2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ；（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。
2、 符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时）；()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）； 0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）；(t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；~V 中心室的容积（百毫升）； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数2.0079）；2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数0.1855）；3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V .3、 模型建立和求解（1） 酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113212()k t k t k k c t e e k k --=--来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ⎛⎫==⎪⎝⎭. 下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。
MATLAB 程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); f=@(t)c(t)-20;g=@(t)c(t)-80;h=@(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)[t3,c3]=fminbnd(h,0,24)fplot(c,[0,20],'k')hold onplot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k')hold offxlabel('时刻t（小时），从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程') gtext('(0.06891,20)')gtext('(11.589,20)')gtext('(0.38052,80)')gtext('(4.1125,80)')gtext('(1.307,122.25)')运行结果如下：t1 =0.06891 11.589t2 =0.38052 4.1125 t3 =1.307 c3 =-122.25所绘图形如下：0246810121416182020406080100120140时刻t （小时），从开始喝酒算起血液中的酒精含量（m g /100m l ）短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程结果分析：所以，当[0.06891,0.38052)(4.1125,11.589]t ∈⋃时，20()80c t ≤<，属饮酒驾车。
当[0.38052,4.1125]t ∈时，属醉酒驾驶；当 1.307t =时，血液中的酒精含量最高为122.25毫克/百毫升。
（2） 酒是在2小时内喝的：可假设三瓶啤酒是在2小时内匀速喝的. 同样记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，则吸收室的酒精量1()x t 满足分段的初值问题10111120111213, (0)0,0243, (2)(1),24kD dx k x x t dt D dx k x x e t dtk -⎧=-+=≤≤⎪⎪⎨⎪=-=-≥⎪⎩ 解得111011203(1) 0t 24()3(1) t 24k tk k t D e k x t D e e --⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩于是中心室内的酒精含量2()c t 满足分段的初值问题1122232222728(1) (0)0,02 (2),2k tk t dc k c k e c t dt dc k c k e c k t dt--⎧=-+-=≤≤⎪⎪⎨⎪=-+=≥⎪⎩ 解得12214562109 0t 2() 2k t k tk t k tk e k e k c t k e k e t ----⎧-+≤≤⎪=⎨-≥⎪⎩ 其中334D k V=，3412k k k k =-，1452k k k k =，362= k k k ，1273(1)k k k e =- 12228456k k k k e k ek --=-+，7912k k k k =-，22122()1089k k k k k e k e -=+因为1 2.0079k =，20.1855k =以及0/103.86D V =，所以377.896k =，442.743k =，5462.66k =，6419.92k = 74243.1k =，8101.43k =，92328.3k =，10207.82k =下面用MATLAB程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero函数和fminbnd函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。
MATLAB程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82;c1=@(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+...( k10.* exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t)).*(t>2);f1=@(t)c1(t)-20;g1=@(t)c1(t)-80;h1=@(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),[t3,c3]=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,[0,20],'k')hold onplot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k')hold offxlabel('时刻t（小时），从开始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')gtext('(0.62321,20)')gtext('(12.62,20)')gtext('(1.6366,80)')gtext('(5.1412,80)')gtext('(2.6328,115.74)')运行结果如下：t1 =0.62321 12.62 t2 =1.6366 5.1412 t3 =2.6328c3 =-115.74所绘图形如下：0246810121416182020406080100120时刻t （小时），从开始喝酒算起血液中的酒精含量（m g /100m l ）短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程结果分析：所以，当[0.62321,1.6366)(5.1412,12.62]t ∈⋃时，20()80c t ≤<，属饮酒驾车。
当[1.6366,5.1412]t ∈时，属醉酒驾驶；当 2.6328t =时，血液中的酒精含量最高，为115.74毫克/百毫升.下面用图形比较两种不同假设下血液中酒精含量的变化过程。
MATLAB 程序如下：k1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;k4=42.743;k5=462.66;k6=419.92;k9=2328.3;k10=207.82; c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t));c1=@(t)(k4.* exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+... ( k10.* exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t)).*(t>2);plot(0:0.01:20,c(0:0.01:20),'--k',0:0.01:20,c1(0:0.01:20),'k',2,c1(2),'.k')xlabel('时刻t （小时），从开始喝酒算起') ylabel('血液中的酒精含量（mg/100ml ）')title('短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程')legend('很短时间内喝三瓶啤酒','两小时内匀速喝下三瓶啤酒','函数的分段点')所绘图形如下：2468101214161820020406080100120140时刻t （小时），从开始喝酒算起血液中的酒精含量（m g /100m l ）短时间喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程第四题：研究将鹿群放入草场后，草和鹿两个种群的相互作用，草的生长服从Logistic 规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000个密度单位，在草最茂盛时，每只鹿每年吃掉1.6个密度单位的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9,而在草最茂盛的时候草对鹿的死亡的补偿率为1.5。