第六节 正规子群与商群 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
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离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
1.5正规子群与商群
a ≡ b(mod n) .模 n 同余关系 ≡ 决定的 Z 的分类为
Z n = {[0], [1], L , [n − 1]} ,
其 中 [i ] = {kn + i | k ∈ Z} , i = 0, 1, L, n − 1 , 都称 为 同余类. 模 n 同余类
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§5 正规子群与商群
的一个分类时, 当 P 是 A 的一个分类时 , 一般将 A 中每一 当然, 个元素 a 所属的类记作 [a] . 当然 , [a ] 的含义不 有关, 有关. 但与 A 有关,而且与 P 有关. 定 义 5.5 设 ∼ 是 A 上 的 一 个 等 价 关
R ,记作 a Rb .
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§5 正规子群与商群
例 1
设 A 是 平面 p 上 的 所有直线构
成的集合. 成的集合.令 集合
⊥= {(a, b) | a, b ∈ A 且 a 垂直于 b} ，
‖ = {(a, b) | a, b ∈ A 且 a 平行于 b} .
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§5 正规子群与商群
[a] = [b] .这就表明 P 中的任意两个不同的
集合互不相交. 的一个分类. 集合互不相交.所以 P 是 A 的一个分类. (2)对于任意的 (2) 对于任意的 a ∈ A , 由于 a 与 a 属 于同一类, 这表明～ 于同一类,因此 a ～ a .这表明～具有自反 性 . 对于任意的 a, b ∈ A , 若 a ～ b , 则 a 与 属于同一类,从而, 属于同一类. b 属于同一类,从而, b 与 a 属于同一类.因
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学群与子群-PPT
解:由题意,R上得二元运算★得运算表如上所示,由表知,运算★在R上就 是封闭得。
对于任意a, b, cR,(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c,而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总得旋转角度都就是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c),即★运算满足结合性。
a
b
c
d
b
d
a
c
定理5、4、4 群〈G,*〉得运算表中任一行(列)得元素都就是G中元 素得一个置换。且不同行,不同列得置换都不同。 证明 首先,证明运算表中得任一行或任一列所含G中得一个元素不可能多 于一次。用反证法,如果对应于元素a∈G得那一行中有两个元素都就 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
其次,要证明G中得每一个元素都在运算表得每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G得那一行,设b就是G中得任一元素,由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。
再由运算表中没有两行(或两列)相同得事实,便可得出:<G,*>得运算表中 每一行都就是G得元素得一个置换,且每一行都就是不相同得。同样得 结论对于列也就是成立得。
结果都等于另一个元素, ) 3) G中任何元素得逆元就就是她自己; 。 故〈G,*〉为一个群。 此外,运算就是可交换得,一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
思考练习
已知:在整数集 I 上得二元运算定义为:a,b∈I,
a b=a+b-2
证明:< I , >为群。
么元为:2 逆元:x-1＝4-x
离散数学群与子群
一、群得概念
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
06离散数学课件资料
2024/7/3
离散数学
10
二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。
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证明 b|a|为 p 阶f 为 G1 到 G2 的同态当且仅当
f:G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y)
实例:
(1) 整数加群<Z,+>的自同态：
fc(x)=cx，c 为给定整数
(2) 模 n 加群<Zn,>的自同态：
fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n-1
2020/6/16
同态性质的证明
证明 （1）kerf⊴ G1 （2）a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf
证： （1）显然 kerf 非空. a,bkerf,
f(ab-1) = f(a)f(b)-1 = e2e2-1=e2 ab-1kerf kerf 为 G1 的子群，下面证明正规性.
第六节 正规子群与商群
正规子群及判定 定义 判别定理 判别法
商群 定义及其实例 性质
2020/6/16
商群的性质
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等.
例 1 G 为有限 Abel 群，|G|=n, p | n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质.
fx：GG, fx(a)=xax-1
关系： EndG 为独异点 AutG 为群 InnG 为 AutG 的正规子群 IG=fe 属于 InnG
2020/6/16
gG1, akerf, f(gag-1) = f(g)f(a)f(g-1)= f(g)f(g-1) = f(e1)=e2 （2）f(a)=f(b) f(a)–1f(b)=e2 f(a-1b)=e2 a-1bkerf akerf=bkerf
2020/6/16
自同态与自同构
EndG：G 的自同态的集合 AutG：G 的自同构的集合 InnG：G 的内自同构的集合
(3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,G1 到 G2 的满同态
f:ZZn, f(x)=(x)modn 说明：将群看成代数系统<G, o,-1,e>，则同态 f 满足：
2020/6/16
f(e1)=e2 ，f(x-1)=f(x)-1
同态映射的性质
同态保持元素的性质 f(e1)=e2，f(x-1)=f(x)-1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下，|f(a)| = |a|
归纳步骤. 假设 m<n 为真，证明对于 n 为真. 设|G|=n, 取 aG, ae, 寻找 p 阶元.
① p 整除|a|, 则 a|a|/ p 为 p 阶元. ② p 不整除 |a|, 令 H=<a>, 构造 G/H, |G/H|=m, p 整除 m.
G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p=H bpH bp=at
同态保持子代数的性质
H G1 f(H) G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2 同态核的性质, kerf = {x | xG, f(x)=e2} kerf={e1} f 为单同态 kerf⊴G1，a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf 同态基本定理 （1）H 为 G 的正规子群，则 G/H 是 G 的同态像 （2）若 G’为 G 的同态像（f(G)=G’），则 G/kerf G’.
f:G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y)
实例:
(1) 整数加群<Z,+>的自同态：
fc(x)=cx，c 为给定整数
(2) 模 n 加群<Zn,>的自同态：
fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n-1
2020/6/16
同态性质的证明
证明 （1）kerf⊴ G1 （2）a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf
证： （1）显然 kerf 非空. a,bkerf,
f(ab-1) = f(a)f(b)-1 = e2e2-1=e2 ab-1kerf kerf 为 G1 的子群，下面证明正规性.
第六节 正规子群与商群
正规子群及判定 定义 判别定理 判别法
商群 定义及其实例 性质
2020/6/16
商群的性质
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子 保持群 G 的性质：交换性，循环性等.
例 1 G 为有限 Abel 群，|G|=n, p | n, 则 G 中有 p 阶元. 证明思路：归纳法——商群满足条件推出原来群中性质.
fx：GG, fx(a)=xax-1
关系： EndG 为独异点 AutG 为群 InnG 为 AutG 的正规子群 IG=fe 属于 InnG
2020/6/16
gG1, akerf, f(gag-1) = f(g)f(a)f(g-1)= f(g)f(g-1) = f(e1)=e2 （2）f(a)=f(b) f(a)–1f(b)=e2 f(a-1b)=e2 a-1bkerf akerf=bkerf
2020/6/16
自同态与自同构
EndG：G 的自同态的集合 AutG：G 的自同构的集合 InnG：G 的内自同构的集合
(3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,G1 到 G2 的满同态
f:ZZn, f(x)=(x)modn 说明：将群看成代数系统<G, o,-1,e>，则同态 f 满足：
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f(e1)=e2 ，f(x-1)=f(x)-1
同态映射的性质
同态保持元素的性质 f(e1)=e2，f(x-1)=f(x)-1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下，|f(a)| = |a|
归纳步骤. 假设 m<n 为真，证明对于 n 为真. 设|G|=n, 取 aG, ae, 寻找 p 阶元.
① p 整除|a|, 则 a|a|/ p 为 p 阶元. ② p 不整除 |a|, 令 H=<a>, 构造 G/H, |G/H|=m, p 整除 m.
G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系 (Hb)p=H bpH bp=at
同态保持子代数的性质
H G1 f(H) G2 H⊴G1, f 为满同态，f(H)⊴G2 同态核的性质, kerf = {x | xG, f(x)=e2} kerf={e1} f 为单同态 kerf⊴G1，a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf 同态基本定理 （1）H 为 G 的正规子群，则 G/H 是 G 的同态像 （2）若 G’为 G 的同态像（f(G)=G’），则 G/kerf G’.