离散数学-耿素云PPT(第5版)8.3
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离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
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函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch6
AB = AB = A
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )} 广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
注意 和 是不同层次的问题
4
空集、全集和幂集
1．定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 实例： { x | xR x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2. 定义6.5 幂集：P(A)={ x | x A } 实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n. 3. 定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集
数学离散数学PPT课件
(b) 对公式 A: F(x, y)∧M→F(u, x)中的 F, 欲代以 B: G(x1)∨H(x2, s)→H(t, x2), 则只需x , y , u不是B内的约 束变元, 而且s , t不是A内的约束变元。 代入结果为 (G(x)∨H(y, s)→H(t, y))∧M→(G(u)∨H(x, s)→H(t, x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
离散数学引言ppt课件
离散数学
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云，离散数学，高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科，离散数学，北京理工大学出版
社 – 离散数学，王孝喜等译，电子工业出版
社
– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
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总学时: 56 理论学时:50
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绪论内容目录
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• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Pnm
24
1 5 7 8
2
3
4
6
7
求解递推方程
W ( n) 2W ( 2 k 1 ) 2 k 1 2[2W ( 2 k 2 ) 2 k 1 1] 2 k 1 22W (2k 2 ) 2k 2 2k 1 2 2 [2W ( 2 k 3 ) 2 k 2 1] 2 k 2 2 k 1 2 W (2
12
平均时间复杂度
T(n)为对数组的各种输入平均做的比较次数 将输入按照A[p]在排好序后的位置分别为1, 2, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, n进行分类. 假设每类输入出现的概率相等
A[p]处位置1，划分后子问题规模分别为0和n-1 … A[p]处位置n，划分后子问题规模分别为n-1和0
n 种输入的平均复杂度为
1 T ( n) [(T (0) T ( n 1)) (T (1) T ( n 2)) ... n 2 n 1 (T ( n 1) T (0))] O( n) T ( i ) O( n) n i 1
2 n 1 T ( n) T ( i ) O( n), n 2 n i 1 T (1) 0
求解方法：迭代法
5
二分归并排序算法
算法Mergesort(A,s,t) //*排序数组A[s..t] 1. m(t-s)/2 2. AMergesort(A,s,m) //*排序前半数组 3. BMergesort(A,s+1,t) //*排序后半数组 4. Merge(A,B) //*将排好序的A,B归并
8.3 递推方程的求解与应用
Hanoi 塔问题 递推方程的定义 二分归并排序算法的分析 快速排序算法的分析 递归树 分治算法分析的一般公式
1
Hanoi塔问题
Hanoi塔问题： 从A柱将这些圆盘移到C柱上去. 如果把一个圆盘从
一个柱子移到另一个柱子称作 1 次移动，在移动和放置
13
递推方程求解
2 n 1 T ( n) T ( i ) O( n), n 2 n i 1 T (1) 0
差消法化简
nT ( n) 2 T ( i ) cn2
i 1 n 2 i 1 n 1
c为 某 个 常 数
( n 1)T ( n 1) 2 T ( i ) c( n 1)2
4
递推方程的定义
定义10.5 设序列a0, a1, …, an, …, 简记为{an}, 一 个把an与某些个ai（i<n）联系起来的等式叫做关 于序列{an}的递推方程.
实例： Fibonacci数列： fn=fn-1+fn-2, 初值 f0=1, f1=1 阶乘数列{an}，an=n!：an=nan-1, a1=1
19
迭代
T ( n) a 2T ( n / b 2 ) ad( n / b) d ( n) ... a kT ( n / b k ) a k 1d ( n / b k 1 ) a k 2 ( n / b k 2 ) ... ad( n / b) d ( n) a k a i d (n / bi )
22
例题：关系计数
设A为n元集，A上可定义个不同的二元关系，其中有 (1) 多少个自反的二元关系? (2) 多少个对称的二元关系? (3) 多少个反对称的二元关系?
(1) 二元关系个数： 2 (2) 自反关系个数： 2
2n
2
n2
n2 n
n( n 1) 2
(3) 对称关系个数： 2 (4) 反对称关系个数：
2n 3
n ( n 1 ) 2
例题：函数计数
设A、B分别为m元集和n元集，m和n为正整数，则从A到B有多 少个函数？ (1) 当m与n满足什么条件时存在单射函数？有多少个? (2) 当m与n满足什么条件时存在双射函数？有多少个? 有nm个从A到B的函数，其中 Pnm 个 (1) 当mn时存在单射函数. 单射函数有 (2) 当m=n时存在双射函数. 双射函数有n!个.
i 0 k 1
a k a logb n nlogb a
Case1 d(n)=c
k ak 1 a c O(a k ) O( nlogb a ) a 1 T ( n) a 1 a k kc O(logn) a 1
20
Case2 d(n)=cn
时允许使用B柱，但不允许大圆盘放到小圆盘的上面. 问 把所有的圆盘的从A移到C总计需要多少次移动？
2
算法设计与分析
算法 Hanoi (A,C,n) //*把n个盘子从A移到C 1. Hanoi (A,B,n-1) 2. move (A,C) //*把1个盘子从A移到C 3. Hanoi (B,C,n-1)
输入：数组A[p..r] 输出：排好序的数组A 1. if p < r 2. then qPartition(A, p, r) //*以A[p]为准划分A 3. A[p]A[q] //*A[p]与A[q]交换 4. Quicksort(A,p,q-1) //*对子数组递归排序 5. Quicksort(A,q+1,r)
W(n) n1 n/2-1 W(n/2) W(n/2) W(n/4) …. n1 n/2-1 W(n/4)
17
n-1
n/2-1 n/4-1 n/4-1
1 1 1 1 1
n-1
n/2-1 n/4-1 n/4-1
1 1 1 1 1
k 1
n-2 n-4
……..
…………
n-2k1
)
( n 1) ( n 2) ... ( n 2 nk (1 2 ... 2 k 1 )
3 k 3
) 2 2 2 2 2 1
k 2 k k k k 1
... 2 W (1) k 2 ( 2
k
2
k 2
... 2 1)
k 2k 2k 1 n logn n 1
8
归纳法验证解
n=1代入上述公式得
W(1)=1 log11+1=0，
移动n个盘子的总次数为T(n) ，得到递推方程 T(n) = 2T(n1) +1. T(1)=1. 可以求得 T(n)=2n 1 1秒钟移动1次，64个盘子大约需要5000亿年
3
T ( n) 2T ( n 1) 1 2[2T ( n 2) 1] 1 (T ( n 1)被 含T ( n 2)的 项 替 换 ) 2 2 T ( n 2) 2 1 2 2 [2T ( n 3) 1] 2 1 (T ( n 2)被 含T ( n 3)的 项 替 换 ) 2 3 T ( n 3) 2 2 2 1 ... 2 n1 T (1) 2 n 2 2 n 3 ... 2 1 2 n1 2 n 2 2 n 3 ... 2 1 (代 入 初 值 ) 2n 1 （等比级数求和）
21
应用实例
二分归并
W ( n) 2W ( n/2 ) n 1 , n 2k W (1) 0
a=2，b=2，d(n)=O(n) T(n)=O(nlogn)
二分查找
W ( n) W ( n/2 ) 1 , n 2k W (1) 0
a=1，b=2，d(n)=O(1) T(n)=O(logn)
15
用积分近似
1 1 1 ... n1 n 3
n1
2
1 dx ln x n1 2 x
ln(n 1) ln 2 O(logn)
.
T (n) O(n logn)
16
递归树
W ( n) 2W ( n/2 ) n 1 , n 2k W (1) 0
nT (n) (n 1)T (n 1) 2T (n 1) O(n)
nT (n) (n 1)T (n 1) O(n)
14
迭代
T ( n) T ( n 1) c c为 某 个 常 数 n1 n n1 T ( n 2) c c n1 n n1 1 1 1 T (1) c[ ... ] n1 n 3 2 1 1 1 c ... 3 n 1 n
10
划分过程
Partition(A,p,r) 1. x A[p] 2. i p 3. j r+1 4. while true do 5. repeat j j 1 6. until A[ j ]<x //*右边第1个比A[p]小的A[j] 7. repeat i i +1 8. until A[ i ]>x //*左边第1个比A[p]大的A[i] 9. if i < j 10. then A[ i ] A[ j ] //*交换A[j]与A[i] 11. else return j
k
nk ( 2 1) n logn n 1
18
分治算法的常用递推公式
T ( n) aT( n / b) d ( n) T (1) 1 n bk
其中a为子问题个数，n/b为子问题规模，d(n)为分解成 子问题或组合解的代价 方程的解为：
O( n logb a ) d ( n) c : T ( n) O(logn) O ( n) d ( n) cn : T ( n) O( n logn) O( nlogb a ) a 1 a 1 ab ab ab
假设n=2k，比较次数至多为W(n) W(n)=2W(n/2)+n1 归并两个n/2大小数组的比较次数为n1
24
1 5 7 8
2
3
4
6
7
求解递推方程
W ( n) 2W ( 2 k 1 ) 2 k 1 2[2W ( 2 k 2 ) 2 k 1 1] 2 k 1 22W (2k 2 ) 2k 2 2k 1 2 2 [2W ( 2 k 3 ) 2 k 2 1] 2 k 2 2 k 1 2 W (2
12
平均时间复杂度
T(n)为对数组的各种输入平均做的比较次数 将输入按照A[p]在排好序后的位置分别为1, 2, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, n进行分类. 假设每类输入出现的概率相等
A[p]处位置1，划分后子问题规模分别为0和n-1 … A[p]处位置n，划分后子问题规模分别为n-1和0
n 种输入的平均复杂度为
1 T ( n) [(T (0) T ( n 1)) (T (1) T ( n 2)) ... n 2 n 1 (T ( n 1) T (0))] O( n) T ( i ) O( n) n i 1
2 n 1 T ( n) T ( i ) O( n), n 2 n i 1 T (1) 0
求解方法：迭代法
5
二分归并排序算法
算法Mergesort(A,s,t) //*排序数组A[s..t] 1. m(t-s)/2 2. AMergesort(A,s,m) //*排序前半数组 3. BMergesort(A,s+1,t) //*排序后半数组 4. Merge(A,B) //*将排好序的A,B归并
8.3 递推方程的求解与应用
Hanoi 塔问题 递推方程的定义 二分归并排序算法的分析 快速排序算法的分析 递归树 分治算法分析的一般公式
1
Hanoi塔问题
Hanoi塔问题： 从A柱将这些圆盘移到C柱上去. 如果把一个圆盘从
一个柱子移到另一个柱子称作 1 次移动，在移动和放置
13
递推方程求解
2 n 1 T ( n) T ( i ) O( n), n 2 n i 1 T (1) 0
差消法化简
nT ( n) 2 T ( i ) cn2
i 1 n 2 i 1 n 1
c为 某 个 常 数
( n 1)T ( n 1) 2 T ( i ) c( n 1)2
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递推方程的定义
定义10.5 设序列a0, a1, …, an, …, 简记为{an}, 一 个把an与某些个ai（i<n）联系起来的等式叫做关 于序列{an}的递推方程.
实例： Fibonacci数列： fn=fn-1+fn-2, 初值 f0=1, f1=1 阶乘数列{an}，an=n!：an=nan-1, a1=1
19
迭代
T ( n) a 2T ( n / b 2 ) ad( n / b) d ( n) ... a kT ( n / b k ) a k 1d ( n / b k 1 ) a k 2 ( n / b k 2 ) ... ad( n / b) d ( n) a k a i d (n / bi )
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例题：关系计数
设A为n元集，A上可定义个不同的二元关系，其中有 (1) 多少个自反的二元关系? (2) 多少个对称的二元关系? (3) 多少个反对称的二元关系?
(1) 二元关系个数： 2 (2) 自反关系个数： 2
2n
2
n2
n2 n
n( n 1) 2
(3) 对称关系个数： 2 (4) 反对称关系个数：
2n 3
n ( n 1 ) 2
例题：函数计数
设A、B分别为m元集和n元集，m和n为正整数，则从A到B有多 少个函数？ (1) 当m与n满足什么条件时存在单射函数？有多少个? (2) 当m与n满足什么条件时存在双射函数？有多少个? 有nm个从A到B的函数，其中 Pnm 个 (1) 当mn时存在单射函数. 单射函数有 (2) 当m=n时存在双射函数. 双射函数有n!个.
i 0 k 1
a k a logb n nlogb a
Case1 d(n)=c
k ak 1 a c O(a k ) O( nlogb a ) a 1 T ( n) a 1 a k kc O(logn) a 1
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Case2 d(n)=cn
时允许使用B柱，但不允许大圆盘放到小圆盘的上面. 问 把所有的圆盘的从A移到C总计需要多少次移动？
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算法设计与分析
算法 Hanoi (A,C,n) //*把n个盘子从A移到C 1. Hanoi (A,B,n-1) 2. move (A,C) //*把1个盘子从A移到C 3. Hanoi (B,C,n-1)
输入：数组A[p..r] 输出：排好序的数组A 1. if p < r 2. then qPartition(A, p, r) //*以A[p]为准划分A 3. A[p]A[q] //*A[p]与A[q]交换 4. Quicksort(A,p,q-1) //*对子数组递归排序 5. Quicksort(A,q+1,r)
W(n) n1 n/2-1 W(n/2) W(n/2) W(n/4) …. n1 n/2-1 W(n/4)
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n-1
n/2-1 n/4-1 n/4-1
1 1 1 1 1
n-1
n/2-1 n/4-1 n/4-1
1 1 1 1 1
k 1
n-2 n-4
……..
…………
n-2k1
)
( n 1) ( n 2) ... ( n 2 nk (1 2 ... 2 k 1 )
3 k 3
) 2 2 2 2 2 1
k 2 k k k k 1
... 2 W (1) k 2 ( 2
k
2
k 2
... 2 1)
k 2k 2k 1 n logn n 1
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归纳法验证解
n=1代入上述公式得
W(1)=1 log11+1=0，
移动n个盘子的总次数为T(n) ，得到递推方程 T(n) = 2T(n1) +1. T(1)=1. 可以求得 T(n)=2n 1 1秒钟移动1次，64个盘子大约需要5000亿年
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T ( n) 2T ( n 1) 1 2[2T ( n 2) 1] 1 (T ( n 1)被 含T ( n 2)的 项 替 换 ) 2 2 T ( n 2) 2 1 2 2 [2T ( n 3) 1] 2 1 (T ( n 2)被 含T ( n 3)的 项 替 换 ) 2 3 T ( n 3) 2 2 2 1 ... 2 n1 T (1) 2 n 2 2 n 3 ... 2 1 2 n1 2 n 2 2 n 3 ... 2 1 (代 入 初 值 ) 2n 1 （等比级数求和）
21
应用实例
二分归并
W ( n) 2W ( n/2 ) n 1 , n 2k W (1) 0
a=2，b=2，d(n)=O(n) T(n)=O(nlogn)
二分查找
W ( n) W ( n/2 ) 1 , n 2k W (1) 0
a=1，b=2，d(n)=O(1) T(n)=O(logn)
15
用积分近似
1 1 1 ... n1 n 3
n1
2
1 dx ln x n1 2 x
ln(n 1) ln 2 O(logn)
.
T (n) O(n logn)
16
递归树
W ( n) 2W ( n/2 ) n 1 , n 2k W (1) 0
nT (n) (n 1)T (n 1) 2T (n 1) O(n)
nT (n) (n 1)T (n 1) O(n)
14
迭代
T ( n) T ( n 1) c c为 某 个 常 数 n1 n n1 T ( n 2) c c n1 n n1 1 1 1 T (1) c[ ... ] n1 n 3 2 1 1 1 c ... 3 n 1 n
10
划分过程
Partition(A,p,r) 1. x A[p] 2. i p 3. j r+1 4. while true do 5. repeat j j 1 6. until A[ j ]<x //*右边第1个比A[p]小的A[j] 7. repeat i i +1 8. until A[ i ]>x //*左边第1个比A[p]大的A[i] 9. if i < j 10. then A[ i ] A[ j ] //*交换A[j]与A[i] 11. else return j
k
nk ( 2 1) n logn n 1
18
分治算法的常用递推公式
T ( n) aT( n / b) d ( n) T (1) 1 n bk
其中a为子问题个数，n/b为子问题规模，d(n)为分解成 子问题或组合解的代价 方程的解为：
O( n logb a ) d ( n) c : T ( n) O(logn) O ( n) d ( n) cn : T ( n) O( n logn) O( nlogb a ) a 1 a 1 ab ab ab
假设n=2k，比较次数至多为W(n) W(n)=2W(n/2)+n1 归并两个n/2大小数组的比较次数为n1