2020-2021学年河北省永年二中高二下学期期中考试文科数学试卷

【最新】河北省永年二中高二下学期期中考试文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．．在复平面内，复数1i i +＋（1）2对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．如果复数1z ai =+，满足条件2z <,那么实数a 的取值范围是（ ）A．(- B ．（-2，2）C ．（-1，1） D．(3．有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（ ）A ．性别与喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生不喜欢理科的比为60%5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度6．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可推出空间下列结论（ ） ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）． A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 8．极坐标系中，以（9，3π）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为（ ）A ．）（θπρ-3cos 18=B ．）（θπρ-3cos 18-=C ．）（θπρ-3sin 18=D ．）（θπρ-3cos 9=9．设点P 在曲线上,点Q 在曲线1cos {sin x y θθ=+=（θ为参数）上,求||的最小值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[)3,+∞C ．[]3,3-D ．[)(,3]3,-∞-+∞ 11．下面的四个不等式：①222a b c ab bc ca ++≥++；②()114a a -≤；③2a b b a +≥ ；④()()()22222a bc d ac bd +⋅+≥+．其中不等式成立的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．对于任意的两个实数对（a,b ）和（c,d ）,规定（a,b ）＝（c,d ）当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p ，则=⊕),()2,1(q p （ ）A ．)2,0(B ． )0,2(C ．)0,4(D ．)4,0(-二、填空题13．若不等式()11x y a x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x ,y 恒成立，则实数a 的最大值为____．14．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是___ __．15．有4人各拿一只水杯去接水，设水龙头注满每个人的水杯分别需要9s ，7s ，6s ，8s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间（所有人的等候时间的和）最短为： ． 16．用数学归纳法证明等式211*123222()n n n n N --++++=+∈，第二步，“假设当(1)n k k =≥时等式成立，则当1n k =+时有11232k +++++=1232()k f k +++++=”，其中()f k = ．（请填化简后的结果）三、解答题 17．（满分12分）复数()2132z i a a i =--++（a R ∈）， （Ⅰ）若z z =，求||z ；（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围．18．学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：()1求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？()2请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？()n a b c d =+++参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．（本题满分12分）观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74， （Ⅰ）由此猜想一个一般性的结论，（Ⅱ）请证明你的结论。

20．（满分12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（Ⅰ）画出散点图；（Ⅱ）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：b ̂=∑x i y i −nx̅y ̅ni=1∑x i 2−nx̅2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x̅ 21．（满分12分）已知曲线C 的极坐标方程 是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）。

（Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的的最小值；22．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞3x+2的解集；（2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．参考答案1．B【详解】试题分析：利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对应的点，据点坐标的符号判断所在象限．解：∵2(1)1i i++=(1)(13)(1)(1)i i i i -++-+-=3122i ⎛-++ ⎝∴复数对应的点为（﹣31,22+） ∴该点在第二象限故选项为B2．D【解析】试题分析：214(a a +<∴∈,故选D ．考点：复数模的运算．3．A【解析】试题分析：根据线面平行的性质直线平行于平面，则过该直线与平面的交线与已知直线平行知，大前提错误,故选A ．考点：线面平行的性质与演绎推理．4．C【解析】试题分析：根据等高条形图看出女生喜欢理科的百分比是0．2，而男生则是0．6，故选C ． 考点：等高条形图．5．B【解析】试题分析：至少有一个的对立面是一个也没有，故至少有一个不大于的反面就是都大于的意思，故选B ．考点：反证法．6．B【解析】试题分析：根据类比推理，平面中的直线类比到空间就是平面，平行的结论从平面到空间不会变,所以（2）（3）都符合选B ．考点：类比推理．7．B【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为23-，选B 考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．8．A【解析】试题分析：由直径所对的圆周角为2π，延长极点与圆心的半径得圆的直径OA ，任取圆上一点P,在直角三角形PAO 中，由三角函数知识得）（θπρ-3cos 18=，故选A ．考点：极坐标的意义与圆的性质．9．A【详解】试题分析：首先把两曲线化为直角坐标方程：222,(1)1y x y =-+=，数形结合知过x=1的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是的最小值1． 考点：直线与圆的位置关系．10．D【解析】 试题分析：12a x x ≥++-存在实数解的实质就是求min (12)a x x >++-，由几何意义知12x x ++-表示数轴上到-1与到2的距离之和，故最小值是3，解3a >得答案D ． 考点：恒有解问题与解绝对值不等式．【详解】①恒成立，()()()()2222222221122222a b c a b b c a c ab bc ac ab bc ac ⎡⎤++=+++++≥++=++⎣⎦，当且仅当a b c ==时取''''=；②恒成立，()221111244a a a a a ⎛⎫-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭； ③不恒成立，当,a b同号时，2b a a b +≥=；当,a b异号时2b a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2b a a b +≤-； ④恒成立，()()()()()222222222222222222a b c d a c b d a d b c a c b d adbc ac bd ++=+++≥++=+综上可得恒成立的共3个，故选：C ．12．B【解析】试题分析：根据新定义得25,201,2p q p q p q -=+=∴==-,=⊕),()2,1(q p （2,0）选B ． 考点：新定义的运算．13．4【解析】试题分析：11()()224,(0,0)y x x y x y x y x y++=++≥+=>>,x=y 取等号，故a 的最大值是4．考点:利用基本不等式求最值．14．231【解析】试题分析：输入3得到3462⨯=，输入6得到67212⨯=，输入21得到21222312⨯=，故考点：循环结构．15．70【解析】试题分析：此题只需要让注满水的时间按由短到长的顺序等候，为此最短的等候时间是6+（6+7）+（6+7+8）+（6+7+8+9）=70考点：函数的综合应用．16．211322k k --⨯+【解析】试题分析：按照数学归纳法的原理，当n=k+1时，等式右边增加的量()f k =211322k k --⨯+． 考点：数学归纳法的原理与步骤．类比推理．17．（1）当1a =时，Z 0=；当1a =-时，6Z =．（2）11a -<<【解析】 试题分析：本题第一问利用z z =求得a 的值，再利用复数模的定义求解就可,第二问借助点在第一象限得到2232010a a a ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩解不等式组得到答案．试题解析：（1）()22321z a a a i =-++-， 2分 由z z =知，210a -=，故1a =±． 4分当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =． 6分（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即2232010a a a ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩， 8分即2111a a a ><⎧⎨-<<⎩或， 11分 所以11a -<<． 12分考点：复数模的概念，共轭复数的概念，解二元一次不等式组．18．（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是25%和15%．初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．（2）有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．【详解】分析：()1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是50100%200⨯，30100%.200⨯由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．()2根据对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作的列联表，求出2K的观测值k的值为7.486 6.635>，再根据临界值表，可进行判断详解：()1学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是50100%25%200⨯=，30100%15%200⨯=．由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．()3根据表格：假设0H：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则2K应该很小．根据题中的列联表得22400(5017030150)6.25 5.02480320200200K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．点睛：本题主要考查读图表、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题．19．（Ⅰ）1+122+132+⋯+1n2<2n−1n;（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：本题第一问属于不完全归纳法，要求考生能从特殊的个别的不等式找到其公共具有的属性进一步推广到一般的情况,第二问的证明利用不等式进行放缩∵n∈N∗且n≥2,1n<1(n−1)n=1n−1−1n从而把问题转化为可裂项再求和的数列问题,本题证明也可以采用数学归纳法按照三个步骤给予证明． 试题解析：一般性结论：1+122+132+⋯+1n 2<2n−1n证法一：∵n ∈N ∗且n ≥2,1n 2<1(n−1)n =1n−1−1n∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1−1n =2−1n =2n −1n证法二：数学归纳法：当n=k+1时,∴1+122+132+⋯+1k 2+1(k +1)2<2k −1k +1(k +1)2=(2k −1)(k +1)2+k k(k +1)2=2k 3+3k 2+k −1k(k +1)2<2k 3+3k 2+kk(k +1)2=k(k +1)(2k +1)k(k +1)2=2k +1k +1 当n=k+1时,成立。