武汉大学应用密码学RSA加密解密大作业

1 对RSA算法的理解

RSA加密算法是一种非对称加密算法，它基于一个非常简单的数论思想：“将两个素数乘起来是很容易的，但是分解该乘积是非常困难的”。

1.1加解密步骤

(1)生成公钥和私钥

a)随机生成两个不相等的大素数p和q，计算N=p*q;

b)根据欧拉函数，求出φ=(p-1)*(q-1);

c)选择一个小于r的整数e，求e关于r的模反元素d使得e*d mod φ

=1

得到公钥，私钥

(2)加密

给定明文m，公钥，计算密文c = m e(N)。

(3)解密

给定密文c，私钥，计算明文m’ = c d(N)。

1.2素性检验

RSA算法的实现难点之一是生成大素数，这就需要生成一个大数并对其进行素性检验。素性检验有很多种方法。其中包括确定性方法和随机方法。确定性方法有试除法(埃拉托斯特尼筛法)，卢卡斯-莱默检验法和AKS素数测试。常见的随机方法有费马素性检验，米勒-拉宾检验和欧拉-雅科比测试。本次作业采用就是米勒-拉宾检验方法。

米勒-拉宾(Miller Rabin) 算法原理：

要测试N 是否为素数，首先将N-1 分解为2s d。在每次测试开始时，先随机选一个介于[1, N-1]的整数a，之后如果对所有的r∈[0, s-1]，若a d mod N ≠ 1 且a2^rd mod N ≠1，则N 是合数。否则，N 有3/4 的概率为素数。

1.3安全问题

（1）公共模数攻击。每个人具有相同的r，但有不同的指数e和d，这是不安全的。

（2）低加密指数攻击。如果选择了较低的e值，虽然可以加快计算速度，但存在不安全性。

（3）低解密指数攻击。如果选择了较低的d值，也是不安全的。

（4）选择密文攻击。如A想让T对一个T不愿意签名的消息m’签名，A首先选择一个任意值x，计算y=x e（mod r），然后要求T对m=ym’签名，A最后计算(m d mod r)x-1 mod r =( ym’) d x-1mod r= m’d mod r。

还有一些不是直接对RSA的算法本身进行的攻击，如中间人攻击、时间攻击、边信道攻击等。

2.具体实现

2.1函数说明

void ProducePrime(JTextField prime)：使用JA V A的Biginteger生成512位的

大数，再用Miller Robin算法检验是否是素数。参数prime即为生成的大素数。

boolean MillerRobin(BigInteger n)：用Miller Robin检验判断大数n是否是素数。

BigInteger modex(BigInteger a, BigInteger b, BigInteger n)：模幂运算，计算a b mod n

BigInteger inverse(BigInteger a, BigInteger b)：求逆运算，计算a-1 ( b )

String Encode(String Plaintext, BigInteger n, int nLen, int m, JTextField e)：加密，用公钥（n，e）对明文Plaintext加密。

String Decode(String Ciphertext, BigInteger n, int m, JTextField d)：解密，用私钥d对密文Ciphertext解密。

2.2JA V A代码

import java.math.BigInteger;

import java.util.Random;

import java.util.Scanner;

import javax.swing.JTextField;

public class RSA {

public static void main(String[] args) {

String s;

JTextField p = new JTextField(35);

JTextField q = new JTextField(35);

JTextField e = new JTextField(35);

JTextField d = new JTextField(35);

ProducePrime(p);

ProducePrime(q);

BigInteger pp = new BigInteger(p.getText());

BigInteger qq = new BigInteger(q.getText());

BigInteger oo = (pp.subtract(new BigInteger("1"))).multiply(qq

.subtract(new BigInteger("1")));

BigInteger ee;

do {

ee = new BigInteger(100, new Random()).mod(oo);

} while (MillerRobin(ee) == false);

e.setText(ee.toString());

d.setText(inverse(ee, oo).toString());

BigInteger n = pp.multiply(qq);

int nLen = n.bitLength();

int m = (int) (Math.ceil((double) (nLen) / 16.0));

nLen = (nLen - 1) / 16;

String Ciphertext = new String();

String Plaintext = new String();

System.out.println("P：" + p.getText());

System.out.println("Q：" + q.getText());

System.out.println("公钥：" + e.getText());

System.out.println("私钥：" + d.getText());

Scanner scanner = new Scanner(System.in);

System.out.println("输入要加密字符串：");

s = scanner.nextLine();

Ciphertext = Encode(s, n, nLen, m, e);

System.out.println("加密结果：" + Ciphertext);

Plaintext = Decode(Ciphertext, n, m, d);

System.out.println("解密结果：" + Plaintext);

}

//产生大素数

public static void ProducePrime(JTextField prime) {

BigInteger n = new BigInteger("0");

Random r = new Random();

do {

n = new BigInteger(512, 5, r);

prime.setText(n.toString());

} while (MillerRobin(n) == false);

}

//Miller Robin素性检验

public static boolean MillerRobin(BigInteger n) {

int time = 1000;

BigInteger m = n.mod(new BigInteger("2"));

if (m.equals(new BigInteger("0"))) {

return false;

}

int s = 0;

int k = 0;

BigInteger t = n.subtract(new BigInteger("1"));

while (t.mod(new BigInteger("2")).equals("0")) {

t.divide(new BigInteger("2"));

++s;

}

for (int i = 0; i < time; ++i) {

BigInteger a = new BigInteger(100, new Random()).mod(

n.subtract(new BigInteger("3"))).add(new BigInteger("2"));

BigInteger b = modex(a, t, n);

if (b.equals(new BigInteger("1")) == false

&& b.equals(n.subtract(new BigInteger("1"))) == false) {

k = 1;

while (k == s

&& b.equals(n.subtract(new BigInteger("1"))) == false) {

b = b.multiply(b).mod(n);

if (b.equals(new BigInteger("1"))) {

return false;

}

++k;

}

if (b.equals(n.subtract(new BigInteger("1"))) == false) {

return false;

}

}

}

return true;

}

//模幂运算

public static BigInteger modex(BigInteger a, BigInteger b, BigInteger n) {

BigInteger m = new BigInteger("1");

while (b.equals(new BigInteger("0")) == false) {

if (b.mod(new BigInteger("2")).equals(new BigInteger("1"))) {

m = m.multiply(a).mod(n);

}

a = a.multiply(a).mod(n);

b = b.divide(new BigInteger("2"));

}

return m;

}

//求逆运算

public static BigInteger inverse(BigInteger a, BigInteger b) {

BigInteger n1 , n2 , n3, m, t, b1;

n1 = new BigInteger("1");

n2 = new BigInteger("0");

b1 = b;

while (b.equals(new BigInteger("0")) == false) {

m = a.divide(b);

n3 = n1.subtract(m.multiply(n2));

if (https://www.360docs.net/doc/303389943.html,pareTo(new BigInteger("0")) != -1) {

n3 = n3.mod(b1);

} else {

n3 = b1.subtract(n3.multiply(new BigInteger("-1")).mod(b1));

}

n1 = n2;

n2 = n3;

t = b;

b = a.mod(b);

a = t;

}

if (a.equals(new BigInteger("1"))) {

return n1;

} else {

return new BigInteger("0");

}

}

//加密

public static String Encode(String Plaintext, BigInteger n, int nLen, int m, JTextField e) {

BigInteger r = new BigInteger("0");

StringBuffer outBuf = new StringBuffer();

int i, j, k;

for (i = 0; i < Plaintext.length(); i = j) {

BigInteger t = new BigInteger("0");

for (j = i; j < i + nLen && j < Plaintext.length(); j++) {

t = t.shiftLeft(16);

long num = Plaintext.charAt(j);

t = t.add(BigInteger.valueOf(num));

}

r = modex(t, new BigInteger(e.getText()), n);

String buf = new String();

for (k = 0; k < m; ++k) {

long num = (r.and(BigInteger.valueOf(65535))).longValue();

r = r.shiftRight(16);

buf = (char) (num) + buf;

}

outBuf = outBuf.append(buf);

}

return outBuf.toString();

}

//解密

public static String Decode(String Ciphertext, BigInteger n, int m, JTextField d) {

StringBuffer outBuf = new StringBuffer();

BigInteger r = new BigInteger("0");

int i, j;

for (i = 0; i < Ciphertext.length(); i += j) {

BigInteger t = new BigInteger("0");

for (j = 0; j < m && j + i < Ciphertext.length(); j++) {

t = t.shiftLeft(16);

long num = (long) (Ciphertext.charAt(j + i));

t = t.add(BigInteger.valueOf(num));

}

r = modex(t, new BigInteger(d.getText()), n);

String buf = new String();

while (https://www.360docs.net/doc/303389943.html,pareTo(new BigInteger("0")) > 0) {

long num = (r.and(BigInteger.valueOf(65535))).longValue();

buf = (char) (num) + buf;

r = r.shiftRight(16);

}

outBuf = outBuf.append(buf);

}

return outBuf.toString();

}

}

2.3测试结果：

P：129036805470851517375614397900032888596537198498489613936254861169557 280794177755476583936161903531948987784914983448340462980850402666689 13843973354103033

Q：965485259575386626661798155084845386764376902206479716964206598369971

506074458894922536120328881558956967066309443036648783409751809379053 0180407555360339

公钥：1133142713903219484415537969751

私钥：289229897767689634195491655141643249544903709281685759316055760288297 329286785308503278756568252277106589199437078007305924525623679341478 908797523966221390308041636992564515935685594854485373424597837714855 144013790195492262743427356815741901651405003362999246563628660918125 34177904849175286307833237971415

输入要加密字符串：

密码学算法RSA

加密结果：偮钘?兄埅????烄証箕???霑痘????啛猝市????鎈????釤?????????????筕???酪? ??霧?羳???鑮だ

解密结果：密码学算法RSA