数学思想及解题策略分类讨论思想方法

分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝qB. p<qC. p>qD.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q3.函数y＝sin|sin|xx＋cos|cos|xx＋tgxtgx||＋||ctgxctgx的值域是_________。

4.若θ∈(0, π2)，则limn→∞cos sincos sinn nn nθθθ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－15.函数y＝x＋1x的值域是_____。

A. [2,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,+∞)D. [-2,2]6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A. 893 B.493 C.293 D.493或8937.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x －2y ＝0B. x ＋y －5＝0C. 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D.不能确定【简解】1小题：对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；2小题：对底数a 分a>1、0<a<1两种情况讨论，选C ；3小题：分x 在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；4小题：分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2三种情况，选D ； 5小题：分x>0、x<0两种情况，选B ；6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D ；7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。

Ⅱ、示范性题组：例1. 设0<x<1，a>0且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。

【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论。

【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1① 当0<a<1时，log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)]＝log a (1－x 2)>0; ② 当a>1时，log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x) －log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)>0；由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|。

【注】本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0<a<1时其是减函数。

去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。

例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。

【分析】 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。

并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。

另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。

例 3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和。

①. 证明： lg lg S S n n ++22<lgS n +1； ②.是否存在常数c>0，使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立？并证明结论。

(95年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况。

【解】 设{a n }的公比q ，则a 1>0，q>0①．当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n S n +2－S n +12＝na 1(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 12＝－a 12<0；当q ≠1时，S n ＝a q qn 111()--，从而 S n S n +2－S n +12＝a q q q n n 1222111()()()---+－a q q n 1212211()()--+＝－a 12q n <0； 由上可得S n S n +2<S n +12，所以lg(S n S n +2)<lg(S n +12)，即lg lg S S n n ++22<lgS n +1。

②. 要使lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立，则必有(S n －c)(S n +2－c)＝(S n +1－c)2,分两种情况讨论如下：当q ＝1时，S n ＝na 1，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝(na 1－c)[(n ＋2)a 1－c]－[(n ＋1)a 1－c]2＝－a 12<0 当q ≠1时，S n ＝a q q n 111()--，则(S n －c)(S n +2－c)－(S n +1－c)2＝[a q qn 111()--－c][ a q q n 1211()--+－c]－[a q qn 1111()--+－c]2＝－a 1q n [a 1－c(1－q)] ∵ a 1q n ≠0 ∴ a 1－c(1－q)＝0即c ＝a q11-而S n －c ＝S n －a q 11-＝－a q qn11-<0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c>0, 使得lg()lg()S c S c n n -+-+22＝lg （S n +1－c ）成立。

【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。

该题文科考生改问题为：证明log log ..050522S S n n ++>log 05.S n +1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。

例4. 设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，求实数a 的取值范围。

【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。

【解】当a>0时，f(x)＝a （x －1a ）2＋2－1a∴ 111220a f a ≤＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪或1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝ 或14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪∴ a ≥1或12<a<1或φ 即 a>12； 当a<0时，f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩，解得φ； 当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意由上而得，实数a 的取值范围是a>12。

【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a 分a>0、a<0、a ＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。

本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用。

例5. 解不等式()()x a x aa+-+4621>0 (a为常数，a≠－12)【分析】含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－12<a<0、a<－12分别加以讨论。

【解】 2a＋1>0时，a>－12；－4a<6a时，a>0 。

所以分以下四种情况讨论：当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；当a＝0时，x2>0，解得：x≠0；当－12<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；当a>－12时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。