线段中点与角平分线的类比学习(学生版)

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线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(学生版)--初中数学

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。

数学人教版七年级上册角平分线

《角的比较与运算2--角平分线》教学设计【教材】人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算【课时安排】第2课时【教学对象】初一学生【授课教师】东莞长安实验中学郑健微【教材分析】本节课是人教版数学七年级上册 4.3.2 角的比较与运算的第二课时，在本节课学习之前，学生已经认识了角，并学会角的表示方法以及角的和差，这为本节课的教学做了知识和思维上的准备，本节课不仅是对角基本概念的进一步研究，更是解决以后有关的几何问题的基础，鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

【学情分析】七年级学生逻辑思维正迅速发展，但同时，又好动，注意力易分散，爱发表见解，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生上台发表见解，发挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在小学的时候已经认识了角，对角的计算已经有了初步的认识，但是，由于初中要求学生能够运用文字语言、图形语言和几何语言对问题进行综合描述，而几何语言表达具有一定的抽象性，学生写起来较为吃力，为了化解本难点，让学生有充足的时间掌握几何语言的表达，本节课大胆将教材中角的和差放在第一课时上，对教材进行加工。

【教学目标】✧知识与技能（1）认识角平分线，理解角平分线的几何意义及其数量关系，（2）学会用文字语言、图形语言和符号语言进行综合描述。

✧过程与方法（1）经历类比线段中点来学习角平分线的过程，体会类比思想；（2）经历探究角平分线运用的过程，学会结合图形分析数量关系，体会数形结合思想。

✧情感态度价值观（1）通过对角平分线性质的探究应用，引导学生在独立思考的基础上积极参与课堂，培养学生的口头表达能力与小组合作意识。

（2）通过学习几何语言的表达，体会数学的合理性和严谨性【教学重点】角平分线性质的探究应用【教学难点】学会用几何语言书写几何证明过程【教学方法】引导探究、小组合作讨论交流。

《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》教案教学反思-2023-2024学年数学人教版八年级上册

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形高的作法、中线的性质和角平分线的判定。对于难点部分，我会通过具体图形和例题来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形高、中线、角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用直尺和圆规作出三角形的高、中线、角平分线。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形的高、中线、角平分线的基本概念。三角形的高是从一个顶点到对边的垂线段，中线是连接顶点和对边中点的线段，角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。它们在解决三角形相关问题中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示三角形的高、中线、角平分线在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，个别同学过于依赖他人，缺乏独立思考。为了提高学生的自主学习能力，我计划在接下来的教学中，加强对学生讨论过程的引导，鼓励他们提出自己的观点和想法。
此外，学生在进行实验操作时，对于三角形高、中线、角平分线的作图方法掌握程度不一。针对这一问题，我将在下一节课中增加示范和指导，让学生在实践中掌握正确的作图方法。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对三角形的高、中线、角平分线这一部分内容表现出较大的兴趣。他们在课堂上积极参与，尤其是在实践活动和小组讨论环节，大家热情高涨，这让我感到很欣慰。
然而，我也注意到，在理论讲解环节，部分学生对三角形高、中线、角平分线的定义和性质掌握不够扎实。在后续的教学中，我需要更加关注这一点，通过增加典型例题和练习，帮助学生巩固基础知识。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：01 双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(学生版)

专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。

这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .．．A ．20ACB ．DC 例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）1例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k ，则AC __________；若3AC BC ，则k例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．模型2.双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB .A ．70 B ．100例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线,BOC OF 平分AOB ，以下四个结论：③AOD BOC ；④EOF例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，22OA OB 、分别是1AOM 和MOB 分别是1n A OM 和1n MOB 的平分线，则例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ．当∠BOC ＝30°时，∠EOD 的度数为B ．当∠BOC ＝α°时，∠EOD 的度数为例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：别平分AOB 、AOC ，求 °<180n m ，OD 、OE 分别平分例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在AOB 的内部画射线OC ，射线OC 把AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB 的“3等分线”．(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则AOC 的度数为__________．(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线OP ．若,,OA OP OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（180AOP ）．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC = ，直接写出∠DPE 的度数（用含的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．A ．①②③B ．③④C ．①②④A ．20225102 B ．20235102 C ．20225102 D ．20235102A ．30B ．25 7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在别为AOC 和BOC ，若AOC 60AOB ，射线OC 为AOB①在图1的情况下，在DBC 内作DBF ②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点713．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）D 、E 分别为线段AB BC 、中点，直线14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段QD16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数MP 时，NP ；(1)若点P在线段AB上运动，当7AB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点(1)根据题意，小明求得MN ______于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图325．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）为何值时，26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有3个角：AOB 、AOC 、BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若MPN a ，且射线PQ 是MPN 的“定分线”，则MPQ ________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若MPN =48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN 的“定分线”时，求t 的值．。

数学人教版七年级上册角平分线

A
C
O
B
【剖析定义】
角平分线的定义中，我们需要注意哪些地方？
（1）一条射线（2）射线的端点是角的顶点（3）把角分成两个相等的角
【三种语言】
线段
角
特殊
特殊
线段中点类比角平分线
定义表示方法
定义表示方法
【小组合作探索】
请你回顾线段中点的表示方法，小组探索，归纳出角平分线的表示方法.
【表示方法】 A
C
O
B
若OC是∠AOB的平分线
则：(1) ∠AOC=∠BOC
【表示方法】 A
C
O
B
若OC是∠AOB的平分线
则：(2) AOC 1AOB
2
或
BOC 1AOB 2
【表示方法】 A
C
O
B
若OC是∠AOB的平分线
则：(3) AO 2 A BOC 或 AO 2 B BOC
【提炼方法】
类线段中点比角平分线
定义表示方法
定义表示方法
三、巩固应用
1、如图，OC为∠AOB的平分线
(1) 若∠1= 60° 则∠2=______
A
分析：∠1=∠2C12OB
三、巩固应用
1、如图，OC为∠AOB的平分线
(2) 若∠AOB=120°
则∠1=_____
A
C
分析1： 1AOB 2
1
2
O
B
义务教育教科书数学七年级上册
第四章几何图形初步
4.3.2 角平分线
学习目标
1、理解角平分线的概念，能用文字语言、图形语言、符号语言进行描述. 2、经过类比线段中点学习角平分线的相关知识的过程，体会类比思想. 3、初步培养简单的说理能力.

角平分线与线段垂直平分线(学生版)

第二节：角平分线与垂直平分线二、题型分析题型一：等距离转化问题例1．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OB的距离是（）A．4 B．C．2 D．1例2．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（）A．5 B．6 C．8 D．7例3．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（）A．15 B．12 C．7.5 D．6例4．如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE＝CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．例5．△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，求AB的长．针对练习：1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于E，且AC＝8cm，则△ADE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．不能确定2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP 长的最小值为（）A．1 B．6 C．3 D．123．如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．48 B．24 C．16 D．124．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③5．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．426．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为cm．8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AC于F，AD于E，则线段AE的长为（）A．3 B． C．1.8 D．410．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．题型二:角平分线判定与角度数计算问题例1．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°例2．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积求证：OP平分∠AOD．针对练习：1．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上．2．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求S△AOB．3．在平面直角坐标系中，OA＝OB，P A⊥PB．（1）如图1，当P在第一象限时，求证：OP平分∠BP A．（2）如图2，当P在第四象限时，直接写出∠OP A的度数．4．如图，△ABC中，∠C＝Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求D到AB的距离．题型三：三角形的角平分线及三角形内心例1．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（）A．1B．2C．3D．4例2．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12B．15C．16D．18针对练习：1．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于D，过D作DE⊥AB于E，若CD＝b，BD ＝a，那么AB的长度是（）A．a+b B．a+2b C．2a+b D．2a+2b2．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，连接AO，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F，AB＝5，AC＝4（1）求△AEF的周长；（2）若点O到BC距离为4，且三角形ABC的周长比三角形OBC周长多4，求△OAB的面积．3．在△ABC中，AD是它的角平分线．（1）如图1，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD＝3，BE＝CD＝2，AE＝2CD，求证：△BED是等腰三角形；（3）在图1中，若3∠BAC＝2∠C，∠ADB＞∠B＞∠BAD，直接写出∠BAC的取值范围．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．5．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点E作EF⊥BD交BD于点G，交BC于点F．（1）若BE＝4，求AD的长；（2）求证：FC＝2AD．7．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．题型四：角平分线几种模型例1．（1）如图（a）所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图（b）所示，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，DE与△ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与△ABC 三边又有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．例2．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．针对练习：1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF ⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知：如图，在△ODC中，∠D＝90°，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E作EF⊥OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明．3．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD作垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD＝2CE．题型四：线段垂直平线与线段例1．如图，DE是△ABC中AB边的垂直平分线，若BC＝6，AC＝8，则△BCE的周长为（）A．10B．12C．14D．16例2．如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（）A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PC D．PB＝2PC例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．例4．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为．例5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AE＝5，CE＝3，线段CB的长为．例6．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．针对练习：1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边上的中垂线分别交BC、AB于点D、E，若BC＝7cm，AC＝4cm，△ADC的周长为cm．2．如图所示，DE、FG分别是△ABC两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG 的周长是．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若CE＝3，则AC＝．4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D是线段CE的中点，AD⊥BC于点D．若∠B＝36°，BC＝8，则AB的长为．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE 垂直平分CD．7．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BE：AB＝3：4，则BD：DC＝．8．如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交BC于点E，交AC于点D，连接BD，AB＝AD，∠CED＝45°+∠BAC，△ABD的面积为54，则线段BD的长为．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．题型五：线段垂直平分线与角度问题例1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC＝124°，则∠DAE的度数为（）A．68°B．62°C．66°D．56°例2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．80°例3．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．例4.如图，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线的交点D恰好落在BC边上．（1）判断△ABC的形状；（2）若点A在线段DC的垂直平分线上，求的值．例5．已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连结PB交线段AF相交于点M．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．针对练习：1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°2．如图，已知△ABC中，DE、FG分别是AB，AC边上的垂直平分线，∠BAC＝100°，AB＞AC，则∠EAG的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC为（）A．30°B．20°C．25°D．35°4．如图，AD垂直平分BC，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接CO并延长交AB于E，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝°．5．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF ＝48°，则∠ABC的度数为＝．6．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于E、F，垂足分别为点M、N，若∠BAC+∠EAF＝144°，则∠BAC的度数为．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝25°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．9．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．（1）求边BC的长；（2）求出∠BAC的度数．10．如图，△ABC中，CE、AD分别垂直平分AB、BC，求△ABC各内角的大小．11．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．题型六：尺规作图例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．在CB上找一点E，使EB＝EA（利用尺规作图，保留作图痕迹），并求出此时CE的长．例2．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）针对练习1．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．2．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．3．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．4．已知∠AOB及射线OA边上的点M（如图），请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹．5．如图，∠MON内有定点P．（1）在射线OM上找点A，使点A到点P和点O的距离相等（保留作图痕迹）；（2）在射线ON上找点B，使△ABP周长最短（保留作图痕迹）．6．如图，已知△ABC，请用直尺和圆规依次完成下列操作．（1）在线段AC上找一点M，使点M到AB和BC的距离相等；（2）在射线BM上找一点N，使NB＝NC．7．如图，已知△ABC．（1）画AC边上的高线（不限工具）；（2）尺规作图：①∠BAC的平分线；②在∠BAC的平分线上作一点P，使PB＝PC．11．如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．。

角平分线教学案例

《角平分线》教学案例学生在学习《角平分线》之前，已经学习过线段中点的定义及性质，而角平分线的定义和表示方法与线段中点的定义、表示方法是相似的，我的想法是采用类比的教学方法，引导学生将角平分线和线段中点进行对比来学习，培养学生类比迁移的学习方法，运用所学的线段中点知识类比学习角平分线的知识。

在课堂的开始，我直接运用类比的方法进行引入，首先回顾线段中点的定义：一个点把线段平均分成两条相等的线段，这个点叫做线段的中点。

接着我对学生提出问题：“仿照线段中点的定义，你能用自己的话描述一下角平分线的定义吗？”学生能够类比线段中点的定义大致说出角平分线的定义，但是仍然停留在理论阶段，学生对角平分线没有一个形象的画法，而且角平分线相对于线段中点而言，有很多需要注意的地方，是需要进行具体的画图来给出角平分线的定义，在这个环节中，我的概念引入对于初一学生来讲过于抽象，学生还比较适应具体的东西，因此，在课堂开始，我应该带领学生复习线段中点的定义及线段中点的取法，并在黑板上做出线段中点的图，接着画∠AOB，带领学生用量角器量出角的度数，进而通过提出问题，一步一步引导学生得出并理解角平分线的概念：1.如何把∠AOB分成两个相等的角？2.点可以吗？（不可以）。

3.线可以吗？（可以）。

4.什么样的线？（过顶点的线）5.用尺子比着，能否分成两个相等的角？（不能）6.那怎样才能分成两个相等的角呢？（先量出∠AOB的度数，再取∠AOB度数的一半）这样一步一步引导学生进行思考，进而总结角平分线的概念，并剖析概念。

本环节虽然以类比的方法总结出角平分线的概念，但是考虑到学生的认知水平和目前所处的年龄段，概念的给出不宜太过抽象，因此，在这个环节中，提问并且追问是必不可少的，提问可以引发学生思考，使学生朝着正确的方向思考。

画角平分线时，将∠AOB对折，取折线，给学生渗透对称的思想。

在讲完概念之后，我和学生一起通过一个简单的题目对角平分线的概念进行了辨析，使学生对角平分线的概念和相关知识有更加深刻的理解。

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课题：线段中点与角平分线的类比学习(学案)
【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾
线段中点：把一条线段分成__________ 的两部分
的点叫线段的中点.
射线，把这个角分成________ 的两个角，则这
条射线叫做这个角的角平分线。

结合图形写出它的符号语言
(1 )•••__________________________
••AC=BC= ______ 或2AC= _______ =AB
反之••• ___________________________
反之•▲OB = Z ______ =___ 或Z AOC =2 /
AOB =2 / _____ )
(1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表
示方法：________________ .
(2)若已知AC=3，求AB，则用哪一种表
示方法：________________ .
(3)若已知AB=6，求AC,则用哪一种表
示
方法：________________
(1 )若已知 / BOC=35 °，求 / AOB，则
用哪一种表示方法：_________________ .
(2)若已知 / BOC=35 °，求 / AOC，则
用哪一种表示方法：_________________ .
(3)若已知 / AOB=70 °，求 / BOC，则
用哪一种表示方法：_________________ .
角平分线：从一个角的_________ 引出的一条
A
结合图形写出它的符号语言
(1) '-OB是ZAOC的平分线
自我总结:
【环节二】图形语言与符号语言的规范复习
1•中点过程训练
•••点N是线段BP的中点如图所示，已知线段AB=80cm，M为AB 的中点，P
在MB上，N为PB中点，
NB=14cm，求MP 的长.
I I I 丨I A MP N B
解：如图，
•••点M是线段AB的中点••NB=14
••PB=2 X 14=28
= 40-28
=12
即MP的长为12 cm .
••AB=80
2.角平分线过程训练
.如图，已知/ AOB=90 ，/AOC=40
OM平分/AOB，求Z MOC的度数. 解：如图，
••OM 平分Z AOB
二4 亍-
40°
=5°
即Z MOC的度数为5 °
【环节三】知识探究：探究一：
1.如果点C在线段AB上，则下列等
式:①AC=CB;②AC AB :③AB-AC=BC;
2
④AB=2AC,能说明点C是线段AB中点的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
1
①BAD BAC
2
②—亠—；
^BAC = -ABAC +
ABAD
③一
④—匚.
能说明射线AD是Z BAC平分线的有(
)
A.①
B.①②③
C.①③
D.①②③④
类比迁移：2.若点D为Z BAC内的一点，则下列等式：
自我总结：______________________________________________________________________________ .
探究二：
3.已知线段AB=20cm,在直线AB上有一点C,且BC=10cm,M 是线段AC的中点，求线段
AM 的长.
思维拓展：已知线段AB=6cm ，BC=5cm ，则AC 的长度如何判定？
变式练习1 :已知线段AB=6cm,点C在直线AB上,BC=4cm,M,N 分别为线段AB,BC的中
点,则MN 的长为__________________ .
类比迁移：已知 / AOB=30 ° , / BOC=20 °，则/ AOC= ___________________ 变式练习2 :已知/
AOB=50 °, / AOB: / BOC=5:3,OM 平分/ AOB,ON 平分/ BOC,则
Z MOC的度数为______________________
自我总结：_________________________________________________________________________________
探究三：
4.如图，B，C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，
则AD的长是()
[ [ 11 ________ | ______ I
k M B C N D
A.2a-b
B.a-b
C.a+b
D.2(a-b)
类比迁移：5.如图所示，OB、OC是/AOD的任意两条射线，0M平分/ AOB , ON平分
/ COD。

若 / MON= a,/ BOC= 3，则表示/ AOD的代数式是
A.2 a - 3
B. a - 3
C. a + 3
D.2( a - 3 )
自我总结：_________________________________________________________________________________ .
能力提升：
6.如图:⑴角AOB=90度，角BOC=30度，OM平分角AOC , ON平分角BOC ,求角MON
的度数
(2如果(1 )中Z AOB= a,其他条件不变，求/ MOC的度数，
(3) 如果(1 )中Z BOC= 3,其他条件不变，求/ MOC的度数，
(4) 从(1) (2)⑶的结果中你能得出什么规律？
(5) 线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间的解法可以互相借鉴，请你模仿(1 ) —(4),设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来。

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