2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
《2.1.2 椭圆的简单几何性质》教案
《椭圆的简单几何性质》教案
教学目标
1.知识与技能：（1）、能根据椭圆方程，利用图像得出椭圆的简单几何性质，并能熟练运用。
（2）、会利用椭圆的几何性质求椭圆方程。
2.过程与方法：通过复习回顾椭圆的两种标准方程与图形总结出椭圆简单几何性质，培养学生的观察能力和归纳能力；通过椭圆简单几何性质应用的两种类型培养学生学以致用，举一反三的能力。
3.情感态度与价值观：通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性，获取学习数学的成就感。
教学重点：
椭圆的简单几何性质
教学难点：
椭圆几何性质的灵活应用
教学过程：
一、复习回顾
认真复习课本，完成知识梳理：
二、学以致用
（一）、由椭圆方程求椭圆的几何性质
例1、求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
变式训练：求椭圆252522=+y x 的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（二）、利用椭圆的几何性质求标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1） 经过点P （-3,0），Q （0，-2） （2）焦点在x 轴上，长轴长是12，离心率是3
2；
变式训练：已知椭圆的长轴长是20，离心率是35
，求椭圆的标准方程。
三、拓展提升
已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两焦点的连线互相垂直，则此椭圆的离心率e=_______.
变式训练：若椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成正三角形, 则此椭圆的离心率e=_______.
课堂小结
（1）、知识收获：
（2）、数学思想：
课后作业。
《2.1.2椭圆的简单几何性质》教学案2
《椭圆的简单几何性质》教学案学习目标：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质； 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系； 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.学习重点：椭圆的几何性质.学习难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质.学习过程：一、自主学习：1．椭圆定义：___________________________________________. 2．标准方程：___________________________________________. 3．问题：(1)椭圆曲线的几何意义是什么？(2)“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？(3)标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？(4)椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？(5)椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？(6)画椭圆草图的方法是怎样的？ 4.由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )研究椭圆的性质.(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)(1)范围:从标准方程得出122≤a x ，122≤by ，即有a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称.原点叫椭圆的________，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距.(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点 令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的_______，21B B 叫椭圆的_______．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的_______和_______.椭圆的_______即为椭圆与对称轴的交点.至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称性， 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：____________________________. 定义式：____________________________. 范围：____________________________. 考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例二、合作探究：例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：(1)1162522=+y x (2)192522=+y x例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：(1)14922=+y x (2)1364922=+y x三、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率2．如图，求椭圆12222=+by a x ，(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积五、课堂小结我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法.。
教学设计2：2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）
2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【教学目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题.2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力.3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想. 【教学重点】椭圆的简单几何性质. 【教学难点】椭圆的简单几何性质的应用. 【教学方法】尝试教学法 【教具准备】多媒体电脑课件 【教学过程】一、思考并回答下列问题： 1．椭圆的定义在平面内，到两定点F 1、F 2的距离之和为常数（大于|F 1F 2 |）的动点的轨迹叫做椭圆.2．椭圆的标准方程当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时3．椭圆中a,b,c 的关系： 22c b a +=4．平面解析几何研究的两个主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y（2）通过方程，研究平面曲线的性质. 二、椭圆的简单几何性质（以 )0(12222>>=+b a b y a x 为例） 1．椭圆的范围：由12222=+b y a x-a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b 知椭圆落在x =±a , y = ± b 组成的矩形巩固练习题1．椭圆14922=+y x 的范围是22,33≤≤-≤≤-y x 巩固练习题2． 椭圆)0,0(12222>>=+n m y n x m 的范围是ny n m x m 11,11≤≤-≤≤- 2．椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称. 从方程上看：（1）以-x 代x 方程不变，椭圆关于y 轴对称； （2）以-y 代y 方程不变，椭圆关于x 轴对称；（3）以-x 代x ，同时以-y 代y 方程不变，椭圆关于原点成中心对称.坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 巩固练习题3．若方程)0(2≠++=a c bx ax y 所表示的曲线关于y 轴对称，则=b 0 巩固练习题4．在下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是( D )A.x 2＝yB.x 2＋2xy ＋y ＝0C.x 2－4y 2＝5xD.9x 2＋y 2＝4 3．椭圆的顶点：xy 112222≤≤⇒by a x 和在 12222=+by a x （)0(>>b a 中令 x =0，得 y =？，说明椭圆与 y 轴的交点？ 令 y =0，得 x =？，说明椭圆与 x 轴的交点？顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点.长轴、短轴：线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为a 2和b 2， a 、b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.巩固练习题5． 椭圆的一个顶点为)0,2(A ，其长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为1422=+y x 141622=+x y 或 巩固练习题6．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( C )A. 21B.2C.41D.44．椭圆的离心率e (刻画椭圆扁平程度的量) 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：ace = 叫做椭圆的离心率. [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0＜e ＜1 [2]离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近 1，c 就越接近 a ，从而 b 就越小，椭圆就越扁. 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b 就越大，椭圆就越圆.3）特例：e =0，则 a = b ，则 c =0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）[3]e 与a ,b 的关系:巩固练习题7．椭圆122=+my x 的离心率为23，则m 的值为( C ) A. 2或21 B. 2 C. 41或4 D. 41222221ab a b a ac e -=-==巩固练习题8．求适合下列条例的椭圆方程： （1）经过点P （-3，0），Q （0，-2） （2）长轴长等于20，离心率等于53三、目标检测1． 椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于 （ A ） A.5或3 B.5 C.8 D.162．椭圆的一个顶点和一个焦点在直线360x y +-=上，则此椭圆的标准方程是（ D ）A.221404x y +=B.2213640x y +=C.22221140363640x y x y +=+=或D.2222114043640x y x y +=+=或3.下列椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）1922=+y x （2）1121622=+y x 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在x 轴上，6=a ，31=e ； (2) 焦点在y 轴上，3=c ，53=e . 四、课堂小结1．椭圆的简单几何性质2. 椭圆中的有四个基本量a，b，c，e，可以知二求二.3．椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.五、课下作业。
教学设计3：2.1.2椭圆的简单几何性质
2.1.2椭圆的简单几何性质教学目标1.知识与技能掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题．2．过程与方法通过椭圆的方程研究其几何性质及其应用过程，培养学生观察、分析问题的能力，利用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．重点难点重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解及求法．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好：①让学生自主探索新知；②重难点之处进行反复分析；③及时巩固．椭圆的简单几何性质问题导思1．观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的形状，图2－2－2你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？【答案】椭圆上的点都在如题图中的矩形框内部，椭圆关于坐标轴对称．椭圆与坐标轴的四个交点比较特殊．2．如何由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)求出椭圆与x、y轴的交点坐标？【答案】只要令x＝0或y＝0求解即可．椭圆的离心率问题导思1．观察不同的椭圆，我们会发现，椭圆的扁平程度不一．对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，若令a不变，b怎样变化时椭圆形状越圆(扁)？此时c的情况如何？【答案】当a值不变，b越大，即c越小时，椭圆形状越圆；b越小即c越大时，椭圆形状越扁．2．若用ca来描述椭圆的扁平情况会是怎样的？【答案】ca越小椭圆形状越圆；ca越大椭圆形状越扁．(注意：0＜ca＜1)1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．例题解析例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把已知方程化成标准方程2222154x y +=，于是5,4, 3.a b c ====椭圆的长轴长和短轴长分别是210,28,a b == 离心率35c e a ==， 两个焦点坐标分别为12(3,0)(3,0)F F -，，四个顶点坐标分别为1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4).A A B B --1212121122().,,.,.,|| 2.8 ,|| 4.5 .,.0.1 BAC F F F F BC F F F B cm F F cm BAC cm ⊥==例如图，一种电影放映灯泡的反射镜是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分灯丝位于椭圆的一个焦点上片门位于另一个焦点上由椭圆一个焦点发出的光线经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知试建立适当的坐标系求截口所在的椭圆方程（精确到）解：题图标设椭圆为2222建立如干所示的直角坐系,所求方程x y +=1.a b122在Rt ΔBF F 中,|F B|= 椭圆质12由的性知, |F B|+|F B|=2a,所以(1211a =(|F B |+|F B |)= 2.8 4.1;22≈3.4.b ==≈2222x y 所以,所求的椭圆方程为+=1.4.1 3.425 (,)(4,0):44.5M x y F l x M =例3点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹25:44 ,5l x MF P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设d 是点M 到直线的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得221.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴, 短轴长分别为10, 6的椭圆.例4 已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?【解析】作出直线l 及椭圆（如图）.观察图形,可以发现,利用平行于 直线l 且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解:由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交（为什么?）.设直线m 平行于直线l ,则直线m 的方程可以写成224501259,,x y k x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程 222582250-y x kx k ++=消去，得，令方程②的根的判别式△=0，得22644252250().k k -⨯-=解方程③，得122525,.k k ==-或由图可知，当k =25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x -5y +25=0直线m 与直线l 间的距离d ==max d ==根据椭圆的方程研究其几何性质 当堂训练1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A ．81B ．9C ．18D ．45 【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆6x 2＋y 2＝6的离心率为( )A.56B.306C.16D.66【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，∴a 2＝6，b 2＝1，∴c 2＝5，∴e ＝c a ＝56＝306.【答案】 B3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 【解析】 方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2×2，∴m ＝14. 【答案】 C4．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)，焦点在x 轴上；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ， ∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，∴{ a ＝23，c ＝3，从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
《椭圆的简单几何性质》教学设计精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《椭圆的简单几何性质》教课一.教材分析1.教材的地位和作用本节课是一般高中课程标准实验教科书数学选修1-1 第二章 2.1.2 第 1 课时：椭圆的简单几何性质。
在此以前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这不过纯真地经过曲线成立方程的研究。
而这节课是联合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程商讨椭圆的几何性质,是数与形的完满结合，让学生在认识如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充足认识到“由数到形，由形到数”的转变，领会了数与形的辨证一致，也从中体验了学数学的乐趣，遇到了数学文化熏陶，为后继研究分析几何中其余曲线的几何性质确立了重要基础。
2.教材的内容安排和办理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在分析几何中，利用曲线的方程议论曲线的几何性质对学生来说是第一次，所以可依据学生本质状况及认知特色，改变了教材中原有研究次序，指引学生先从察看课前预习所作的详细图形下手，依照经过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，顺序渐近进行研究。
在教课中不单要侧重对椭圆几何性质的理解和运用，并且更应重视对学生进行这类研究方法的思想浸透，经过教师合理的情境创建，师生的共同议论研究，学生的亲身实践体验，使学生真实意义上理解在分析几何中，如何用代数方法研究曲线的性质，稳固数形联合思想的应用，达到确实地用数学分析解决问题的能力。
3. 要点、难点：教课要点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其研究方法研究问题, 领会数形联合思想方法在数学中的应用教课难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二.学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多半学生的数学基础较为单薄, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 可是他们的思想活跃，参加意识激烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，所以依照以上特色,在教课设计方面，我打算借助多媒体手段，创建问题情境，联合图形启迪指引，组织学生合作研究等形式，都切合我班学生的认知特色，为他们创建了一个自然和睦的讲堂气氛。
高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题 图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论． 有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
高二数学教案：《椭圆的简单几何性质》(人教A版选修)
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。
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2.1.2《椭圆的简单几何性质》
第一课时
科目：高二数学
********
********
完成时间：2022年4月25日
课型：新授课
教学工具：多媒体设备
◆知识与技能目标
通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称
性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.
◆过程与方法目标
能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，
研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负
实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点
P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39
圆的扁平程度量椭圆的离心率．
◆情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探
究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界
观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的
准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的
范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两
个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信
息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．
◆能力目标
（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题
和解决问题的能力．
（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为
几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生
的辩证思维能力．
（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决
问题的一般的思想、方法和途径．
教学过程设计
教学
步骤
教师活动学生活动设计意图
（一）导入
一、情景导入：
1.国家大剧院的半椭圆正视图；
1. 2.椭圆的标准方程.
在解析几何
里，是利用
曲线的方程
来研究曲线
的几何性质
的，我们现
在利用焦点
在x轴上的
椭圆的标准
方程来研究
其几何性质.
通过提出问
题、分析问
题、解决问题
激发学生的
学习兴趣,在
掌握新知识
的同时培养
能力.
（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸
板制作成一个最大的椭圆呢？
1.范围
由椭圆的标准方程可知，椭
圆上点的坐标(x,y)都适合不等式
2
2
a
x
≤1,
2
2
b
y
≤1
即x2≤a2,
y2≤b2
所以|x|≤a，|y|≤b
即－a≤x≤a, －b≤y≤b
这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
2.对称性
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；
点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；
（1）在曲线的方程里，如果以－y代y
方程不变，那么当点P(x,y)在曲
线上时，它关于x的轴对称点
P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线
关于x轴对称。
（2）如果以－x代x方程方程不变，
通过提出问
题、分析问
题、解决问
题激发学生
的学习兴趣,
在掌握新知
识的同时培
养能力.
复习关于x
轴，y轴，原
点对称的点
的坐标之间
的关系
研究椭圆
在直角坐标
系中的范围，
就是研究椭
圆在哪个区
域里，只要讨
论方程中x，
y的范围就知
道了.
归纳提问：从
上面三种情
况看出，椭圆
具有怎样的
对称性.
那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。
]
（3）如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。
]
椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。
这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]
椭圆的对称中心是什么？[原点]
椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
3.顶点
在椭圆的标准方程里，
令x=0,得y=±b。
这说明了B1(0,
－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。
令y=0,得x=±a。
这说明了A1(－
a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
在R t△OB2F2中，由勾股定理有
|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2
这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。
发现在椭
圆的标准方
程中①以－
y代y②以－
x代x③同时
以－x代x、
以－y代y.
求曲线与x
轴、y轴的交
点.
观察
图形，由椭
圆的对称性
可知，椭圆
短轴的端点
到两个焦点
的距离相
等，且等于
长半轴长.
归纳出：从上
面三种情况
看出，椭圆具
有怎样的对
称性.
研究曲线的
上的某些特
殊点的位置，
可以确定曲
线的位置。
要
确定曲线在
坐标系中的
位置，常常需
要求出曲线
与x轴，y轴
的交点坐标.
（三）椭圆的形状思考2:对于椭圆
36
9:2
2
1
=
+y
x
C
与椭圆
1
12
16
:
2
2
2
=
+
y
x
C
更接近圆的是？
4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝
a
c
，叫做椭圆的离心率。
因为a>c>0,所以0<e<1.
得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭
圆越扁；
(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，
这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的
中心，图形变成圆。
当e＝1时，图形变成了一条线段。
观察图形,说
明当离心率
e变化时,椭
圆形状是怎
样随之变化
的.
为什么？留
给学生课后
思考.
调用几何画
板，演示离心
率变化(分越
接近1和越
接近0两种
情况讨论)对
椭圆形状的
影响]
三、例题
例1求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，该方程中的a ＝？b ＝？c ＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]
解：把已知方程化为标准方程14
522
22=+y x , 这里a ＝5，b ＝4，所以c ＝1625-＝3
因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a ＝10，2b ＝8
离心率e ＝a c ＝5
3
两个焦点分别是F 1(－3,0),F 2(3,0)，
四个顶点分别是A 1(－5,0) A 1(5,0) A 1(0,－4) F 1(0,4). 根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：
(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
例3：椭圆的一个顶点为A(2.0) ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
焦点在x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.
五、布置作业
课本习题2.1 (A)组第4、5题。