2018年6月中考数学最短路径问题(经典)
（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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（完整版）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移” “⽴体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题” “⽴体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB h 最⼩。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短.■解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩.作点A关于直线“街道”的对称点A '，然后连接A ' B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓/ MON内部任意⼀点，在/ MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C,组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A 关于0M , ON 的对称点AAOM , ON 于点B 、点C ,则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B 两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到 E ,2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN // EM 且 BN=EM, MN=CD, BD // CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在⼛ACE 中AC+CE >AE,⼆ AC+CE+MN >AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
【中考专题】2018年 中考数学专题 最短路程问题 (含答案)
2018年中考数学专题最短路程问题一、选择题：1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( )A．50°B．60°C．70°D．80°2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．63.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A．2 B．C．D．4.在平面直角坐标系中，已知A(﹣1，﹣1)、B(2，3)，若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，则点P的坐标为( )A．(0，0) B．(﹣2.5，0) C．(﹣1，0) D．(﹣0.25，0)5.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．46.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为（3,4）,D是OA的中点，点E在AB上,当△CDE 的周长最小时,点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）二、填空题:7.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．9.在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．10.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为______．11.如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是______．13.已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM+BM最小时，点M的坐标为．14.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．15.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．参考答案1.答案为：D；2.答案为：C.3.答案为：B.4.答案为：D.5.答案为：C6.答案为：D.7.答案为：．8.答案为：69.案为：8．10.答案为：．11.答案为：1012.答案为：（﹣1，0）．13.答案为：（，0）．14.答案为：30°．15.答案为：4．。
初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON 于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。
解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。
中考数学蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114 粒2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB= 22 12 5 ．AB 即为最短路线．B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C．6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，1所以MC= BC=1，2在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行，所走最短路程是cm 。
故选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2，=3MD1= MD 2 DD1232 22139．如图所示一棱长为 3cm 的正方体， 把所有的面均分成 3×3个小正方形． 其边长都为 1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线．（ 1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得 AB==5cm ；所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5 秒．10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 。
微课.最短路径-2018黄冈中考13题
D P M N B
B
).
A
C
B. 1
C.
2
D. 2
2.(2018 泸州)如图,等腰 三角形ABC的底边BC=20,面积为120.点F在边BC上, 且BF=3FC,EG是边AC的垂直平分线.若点D在EG上运动,则三角形CDF周长的 最小值为 18 .
B E
A G D F C
谢
谢
观ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
看!
A B
作点B关于直线l 的对称点 B ,连接AB 交直线l
于点P,则PA+PB最小.PA+PB最小值为AB .
P
B
l
2018年黄冈中考数学13题 如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短距离为 cm.(杯壁厚度不计)
2018年黄冈中考数学13题
利用轴对称解决最短路径问题
黄冈 叶学林
知识与方法
“将军饮马”问题主要利用构造轴对称图形解决两条线段和差、三角形周长、 四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等 图形结合,在中考中经常出现,而且大多以压轴题出现. 当两定点A、B在直线l 的同侧时,在直线l上确定点P,使得PA+PB最小.
A B
A
D
P
M
E
A C
G
B
N
F
本题考查了平面展开-最短路径问题．将图形展开，利用轴对称
的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.
2018年中考数学最短路径问题举例
1. (2018 新疆建设兵团) 如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一 个动点,点MN分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是(
中考数学《最短路径问题2》专题复习
中考压轴题（5）最短路径问题2【典型例题】1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．2．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在Rt ABC中，90ACB∠︒＝，6AC=，8BC=，AD平分CAB∠交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值．4．如图，在锐角ABC中，7AC cm=，221ABCS cm=，AD平分BAC∠，M N、分别是AD和AB 上的动点，求BM MN+的最小值并说明理由.5．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．（1）若∠C=70°，则∠A的大小为；（2）若AE=BC，求∠A的度数；（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ⊥，30BAO ∠=︒．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB ∠=︒，求ACE ∠的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO ∠交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．7．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点()11,A x y ，()22,B x y 之间的位置关系有以下三种情形； ①如果ABx 轴，则12y y =，12AB x x =-②如果AB y ∥轴，则12x x =，12AB y y =-③如果AB 与x 轴、y 轴均不平行，如图，过点A 作与x 轴的平行线与过点B 作与y 轴的平行线相交于点C ，则点C 坐标为()21,x y ，由①得12AC x x =-；由②得12BC y y =-；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式()()221212AB x x y y =-+-． （1）若点A 坐标为(4,6)，点B 坐标为(1,2)则AB =________； （2）若点A 坐标为(3,3)，点B 坐标为(6,6)，点P 是x 轴上的动点，直接写出AP PB +最小值=_______；（3）已知22(6)16(3)4M x x =-++-+，22(6)16(3)4N x x =-+--+根据数形结合，求出M的最小值？N 的最大值？。
2018年中考数学专题复习 最短路径专题 PDF含答案
是 Rt
‸ 斜边
的中点．
重合时， ‴ 与 ′ 的位置关系是
上一动点（不与 ， 重合），分别过 ， 向直线 ‸ 作垂线， ， ‴ 与 ′ 的数量关系
（2）如图 ，当点 明；
在线段
上不与点
重合时，试判断 ‴ 与 ′ 的数量关系，并给予证
（3）如图 ，当点
在线段
（或
）的延长线上时，此时（ ）中的结论是否成立?请画出
cm，底面直径 周 cm，在圆柱下底面的
点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上
8. 如图 ，是一个长方体盒子，长
h 周，宽 ‸ h ，高 ‸ h ．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 9. 如图， ‸ 中， h ‸， ‴
沿盒子表面爬到点 ，求它所行走的最短路线的长． ‸ 于点 ‴ ， ‴ ‸ 于点 ‴ ， ‴ h 周 ， ‴ 与 ‴ 交于
cm．蜘蛛沿圆柱爬到
点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的
h
cm，在
6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点 路线有几条?
处，一只蚊子在正方体的顶点
处，如图所示，假设蚊子不动，
现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短
7. 如图，圆柱的高为 与 点相对的
点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米? π
16. 已知圆锥的底面半径为
（2）若 ‴ h ，′ 为 ‴ 的中点，求 发．在侧面上爬行一周又回到
（1）求证：‸′ 与
相切； 的长． h 高 cm ，现在有一只蚂蚁从底边上一点 出 h 高 cm ，高
点，求蚂蚁爬行的最短距离．
17. 已知，点
（1）如图 ，当点 是 ；
垂足分别为 ‴，′， 为斜边 与点
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【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】。