2019年中考数学专题训练之最短路径问题(含答案)系统复习用

CD B CD A L 中考专题复习——最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。

四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

第2题张村 李庄ABB 第1题第3题图(2)图(3)2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。

第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。

7、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD = 2CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

9、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长 。

11、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 12、在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．C第11题 第14题 第15题 13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于 ．14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则⌒ ⌒ ⌒PE+PF 的最小值为___________.15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置，并写出他们的坐标：B ′ 、C ′ ； 归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为 ； 运用与拓广：（3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标． 18、几何模型： 条件：如图，A 、B 是直线L 同旁的两个定点．问题：在直线L 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．OAB PRQ 图3A B EC B图1OABC图2PAB A 'Pl19、问题探究（1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120。

，得到线段OB. （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。

.在Rt △OBD 中，∠ODB=90。

，∠OBD=30。

.∴OD=1，∴点B 的坐标是（1.（2）设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由已知可得： 0420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得：0.a b c === ∴所求抛物线解析式为2.33y x x =+ （3）存在. 由2y x x =+配方后得：)21y x =+ A DB C ADB C E P∴抛物线的对称轴为x =－1. （也写用顶点坐标公式求出）∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小. ∵点O 与点A 关于直线x =－1对称，有CO=CA. △ BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小.设直线AB的解析式为,:20k b y kx b k b ⎧+=⎪=+⎨-+=⎪⎩则有解得：k b == ∴直线AB的解析式为y x =+ 当x =－1时，3y =∴所求点C 的坐标为（－1，3）. 21、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P的坐标为13⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y轴于点(0C -，． （1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ． 判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知解得a =b =分 （列出方程组给1分，解出给2分） ∴抛物线的解析式为2y x x =分 （2）设点A （1x ，0），B （2x ，0）20x x =， 解得1213x x =-=， -------------5分∴∣OA ∣＝1，∣OB ∣＝3．又∵tan ∠OCB＝||||OB OC =∴∠OCB ＝60°，同理可求∠OCA ＝30°．∴∠ACB ＝90° ----------6分 由旋转性质可知AC ＝BD ，BC ＝AD∴四边形ADBC 是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB ＝90°．∴四边形ADBC 是矩形 --------------------------8分 （3）延长BC 至N ，使CN CB =．假设存在一点F ，使△FBD 的周长最小．即FD FB DB ++最小．∵DB 固定长．∴只要FD +FB 最小．又∵CA ⊥BN ∴FD +FB ＝FD +FN ．∴当N 、F 、D 在一条直线上时，FD +FB 最小 ．---------------------10分又∵C 为BN 的中点， ∴12FC AC =（即F 为AC 的中点）．又∵A （－1，0），C （0，－3） ∴ 点F 的坐标为F （12-，2-∴ 存在这样的点F （12-，2-），使得△FBD 的周长最小．---12分22. 已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标． 答案：（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++得 1102c b c =⎧⎪⎨=++⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解折式为213122y x x =-+． 3分 （2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+，则E （m ，213122m m -+）．又∵点E 在直线112y x =+上，∴21311122m m m -+=+．解得10m =（舍去），24m =．∴E 的坐标为（4，3）．过E 作EF x ⊥轴于F ，设P(b,0)．由90OPA FPE ∠+∠=°，得OPA FEP ∠=∠．Rt Rt AOP PFE △∽△． 由AO OP PF EF =得143b b =-． 解得11b =，23b =．∴此时的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）． 6分（3）抛物线的对称轴为32x =． ∵B 、C 关于x =23对称，∴MC MB =．要使||AM MC -最大，即是使||AM MB -最大． 8分由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大． 易知直线AB 的解折式为1y x =-+．∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴M （23，－21）． 10分。