量子力学周世勋习题解答第五章范文
量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋量子力学习题答案(七章全)
−
h2 2μ
d2 ψ dx2
(x)
+ U (x)ψ
(x)
=
Eψ
6.62559 ×10−34 × 2.997925 ×108 1.380546 ×10−23
= 2.898 ×10−3 m ⋅ k
[注]
ρν
根据
=
8πhν 3 c3
1
hν
e kT − 1
可求能量密度最大值的频率：
x = hν
令
kT
ρν
=
Ax3
1 ex −1
（
A
=
8πk 3T c3h2
3
）
dρν dν
球面波。
2.3 一粒子在一维势场
⎧∞ U (x) = ⎪⎨0
⎪⎩∞
x<0 0≤ x≤a x>a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
[解]：由于势函数U (x) 不随时间变化
体系的状态波函数满足定态 Schrödinger 方程
0
a
− h2 ∇2ψ (x) + U (x)ψ (x) = Eψ (x) 2m
vj = ih [ψ (rv)∇ψ *(rv) −ψ *(rv)∇ψ (rv)] 则有： 2μ 即 vj 仅是空间坐标 (x, y, z) 的函数，与时间无关。
2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
ψ1
=
1 r
eikr
ψ
（2）
2
=
1 e−ikr r
从所得结果说明ψ1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。
m
= 2.43 ×10−12 m = 2.43 ×10−2 A°
量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》周世勋课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程(第三版)周世勋课后答案详解
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
*
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《量子力学教程》 习题解答
单击此处添加副标题
《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
量子力学教程习题答案周世勋
习题解答
1
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
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（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
精品PPT
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
2m
i
[
( r )e
i
Et
（
( r )e
i
量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
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第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取ε的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为θεεcos ˆ212ˆˆ22D L ID I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H-='=，则 H H H'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，又把H'ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。
)0(ˆH 的本征值为2(()))1(21+=IE 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =)0(ˆH的基态能量为000=）（E ，为非简并情况。
根据定态非简并微扰论可知 ∑-''= )0()0(02)2(0H E E E ⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m sin )cos (ˆ00*)0(0)0*(0 ⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθππεd d Y Y D m sin 413410*⎰-=ϕθθd d Y Y sin 310*013δεD -=I D ID E E E 22221222')0()0(02')2(031)1(32 Hεδε-=+⋅-=-'=∑∑ #5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得nnn H E '=)1( ∑-'=mmn mnnE E H E )0()0(2')2(得 b H E b H E ='=='=22)1(0211)1(01 0201200121')2(01E E a E E H Emmm -=-'=∑0102200221')2(02E E a E E H Emmm-=-'=∑∴ 能量的二级修正值为02012011E E a b E E -++=01022022E E a b E E -++=#5.4设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。
设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε，ε及 ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。
求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。
解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为241min min 2s e E E hv μω=-==∞he v s 24min 2 μ=34191062.6106.16.13--⨯⨯⨯=Hz 15103.3⨯=②0=t 时，氢原子处于基态，其波函数为0/301a r k e a -=πφ 在t 时刻， rp i m e⋅=2/3)21(πφ 微扰 )(2sin )(ˆ t i ti e e ir e t r e t Hωωεωε--⋅=⋅=')(ˆ t i t i e e Fωω--= 其中ir e F 2ˆ ⋅=ε 在t 时刻跃迁到电离态的几率为2)(t a W m m k =→⎰''='tt i mk m t d e H i t a mk 01)(ω ⎰'-='-'+t t i t i mk t d e e i F mk mk 0)()()(ωωωω]11[)()(ωωωωωωωω---+--=-+mk t i mk t i mk mk mk e e F对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，ωωωω--=-mk t i mk m mk e F t a 1)()(2)()(222)()1)(1()(ωωωωωω---==--→mk t i t i mk m m k mk mk e e F t a W 222122)()(sin 4ωωωω--=mk mk mk tF其中⎰⎰-==ππτφφead F F i k mmk 32/3*1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z 方向，取ε 、p所在平面为xoz 面，则有 z y x r z y x εεεε++=⋅cos )(cos ()cos sin )(sin (αεϕθαεr r += θαεϕθαεcos cos cos sin sin r r +=⎰--+=τθαεϕθαεππθd e r r e i e a F a r r p imk 0/cos 302/3)cos cos cos sin sin (21)21(⎰⎰⎰∞--+=0202/cos 302/3 sin )cos cos cos sin sin ( 21)21(0ππθϕθθθαεϕθαεππd drd r e r r ei e a F a r r p imk⎰⎰⎰∞--=0020/3cos 302/3 )sin cos cos (21)21(0ππθϕθθθαεππd drd e r e i e a a r r p i⎰⎰-∞-=πθθθθπαεππ0cos 0/3302/3 sin cos [22cos 1)21(d e dr e r i e a r p ia r⎰∞----++-=222/33)]()([22cos 0dr e e rp e e ipr er a i e r p ir p i r p i r p i a rπαε 32220030)1(11622cos p a ia p a i e +=παε322202/70)(8)(cos 16 +-=p a a pe παε∴ 222122)()(sin 4ωωωω--=→mk mk mk m k tF W22126222025702222)()(sin )(cos 128ωωωωπαε--+=mk mk t p a a e p #5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即⎩⎨⎧≥≤=-)(0,0,0/0为大于零的参数当当τεετt e t t求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。
解：对于2p 态，1= ，m 可取1 ,0±三值，其相应的状态为 121211210 -ψψψ氢原子处在2p 态的几率也就是从100ψ跃迁到121211210 -ψψψ、、的几率之和。
由 ⎰''='tt i mkm t d e H i t a mk 01)(ω⎰'='τψψd H H 100*210100,210ˆ )cos )(ˆ(θεr t e H =' ⎰=τθεd Y R r t e Y R 0010*1021 cos )( (取ε 方向为Z 轴方向)⎰∞=ππϕθθθε200*10010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t eft e d d Y Y f t e )(31 sin 31)(2010*10εϕθθεππ==⎰⎰00310*21681256)()(a dr r r R r R f ==⎰∞⎰∞-⋅=02342/3002/300)1(32)21(dr e r a a a r a0505540681256324161a a a =⨯⋅=！ f t e d H H )(31ˆ100*210100,210ετψψ='='⎰ 00)(24321286812563)(a t e a t e εε==⎰∞='0100*211100,211cos )(τθψψεd r t e H⎰⎰⎰∞=ππϕθθθε20000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e ⎰⎰⎰∞=ππϕθθε20010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0⎰'='--τψψd H H 100*121100,121ˆ ⎰⎰⎰-∞=ππϕθθθε02000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e⎰⎰⎰-∞=ππϕθθε02010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0由上述结果可知，0211100=→W ， 0121100=-→W ∴ 12110021110021010021-→→→→++=W W W W p s 2100,2102210100211⎰''=='→tt i t d eH W ω2/2002221)()243128(2⎰'='-'tt t i t d eeea τωε22212202022211)243128(221τωετω+-=-tt i ea e当∞→t 时，222120202222111)243128(2τωεω+=→a e p s其中02343412218 38 3)411(2 )(1a e e e E E s s s==-=-=μμω #5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。