中考数学专题训练-(圆)(含解析)
专题训练
(圆)
(120分钟120分)
一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)
1.半径为5的圆的一条弦长不可能是( )
A.3
B.5
C.10
D.12
【解析】选D.因为圆中最长的弦为直径,所以弦长l≤10.
2.有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.
其中错误说法的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①圆确定的条件是确定圆心与半径,①是假命题,故此说法错误;
②直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确;
③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误;
④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,所以不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误的说法是①③.
3.(2017·兰州中考)如图,在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=
( )
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
【解析】选B.因为在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,所以∠AOB=
2∠CDB=50°.
4.(2016·无锡中考)如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若
∠C=70°,则∠AOD的度数为( )
A.70°
B.35°
C.20°
D.40°
【解析】选D.∵AC是圆O的切线,AB是圆O的直径,
∴AB⊥AC.∴∠CAB=90°.
又∵∠C=70°,∴∠CBA=20°.∴∠AOD=40°.
5.(2017·自贡中考)AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C;连接BC,若∠P=40°,则∠B等于( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
【解析】选B.因为PA切☉O于点A,所以∠PAB=90°,因为∠P=40°,所以
∠POA=90°-40°=50°,因为OC=OB,所以∠CBO=∠BCO=25°.
6.温州是著名水乡,河流遍布整个城市.某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图).
已知桥拱半径OC为5 m,水面宽AB为4m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为
( )
A.4m
B.7m
C.5+m
D.6m
【解析】选D.连接OA,如图,
∵CD⊥AB,∴AD=BD=AB=·4=2(m),
在Rt△OAD中,OA=5m,
OD===1(m),
∴CD=OC+OD=5+1=6(m).
7.(2017·济宁金乡模拟)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于( )
A.160°
B.150°
C.140°
D.120°
【解析】选C.因为线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,
所以=,因为∠CAB=20°,所以∠BOD=40°,
所以∠AOD=140°.
8.(2017·东平县一模)如图,已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径
长为6,圆锥的高与母线的夹角为α,则( )
A.圆锥的底面半径为3
B.tanα=
C.圆锥的表面积为12π
D.该圆锥的主视图的面积为8
【解析】选D.设圆锥的底面半径为r,高为h.由题意:2πr=,解得r=2,h==4,
所以tanα==,圆锥的主视图的面积=×4×4=8,表面积=4π+π×2×6=16π.所以选项A,B,C错误,D正确.
9.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
【解析】选A.第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.
10.(2017·东平县一模)如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O 于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )
A.2
B.8
C.2
D.2
【解析】选D.因为☉O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,所以AC=AB=4,设☉O的半径为r,则OC=r-2,在Rt△AOC中,因为AC=4,OC=r-2,所以OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5,所以AE=2r=10,连接BE,因为AE是☉O的直径,
所以∠ABE=90°,在Rt△ABE中,因为AE=10,AB=8,
所以BE===6,
在Rt△BCE中,因为BE=6,BC=4,
所以CE===2.
11.如图,线段AB是☉O的直径,点C,D为☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB 的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
【解析】选A.连接OC,
∵CE是☉O的切线,
∴∠OCE=90°,
∵∠E=50°,
∴∠COE=90°-50°=40°,
∴∠CDB=∠COE=20°.
12.(2017·胶州市一模)如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切于点A,连接OC交☉O于点D,作DE∥AB交☉O于点E,连接AE,若∠C=40°,则∠E等于( )
A.40°
B.50°
C.20°
D.25°
【解析】选D.因为AC与圆O相切,所以AC⊥AB,在Rt△AOC中,∠C=40°,所以∠
AOC=50°,因为∠AOC与∠AED都对,所以∠E=∠AOC=25°.
13.如图,AB是☉O的弦,半径OC经过AB的中点D,CE∥AB,点F在☉O上,连接CF,BF,下列结论中,不正确的是( )
A.∠F=∠AOC
B.AB⊥BF
C.CE是☉O的切线
D.=
【解析】选B.A,∵半径OC经过AB的中点D,
∴=,
∴∠F=∠AOC,故此结论正确,此选项不合题意;
B,由于F点不确定,无法得出AB⊥BF,故此选项不正确;
C,∵半径OC经过AB的中点D,
∴CO⊥AB,
∵CE∥AB,
∴∠OCE=90°,
∴CE是☉O的切线,故此结论正确,不合题意;
D,由选项A得,=,故此结论正确,此选项不合题意.
14.圆I是三角形ABC的内切圆,D,E,F为3个切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为( )
A.68°
B.52°
C.76°
D.38°
【解析】选C.∵圆I是三角形ABC的内切圆,
∴ID⊥AB,IF⊥AC,
∴∠IDA=∠IFA=90°,
∴∠A+∠DIF=180°,
∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°,
∴∠A=180°-104°=76°.
15.(2016·吉林中考)如图,阴影部分是两个半径为1的扇形.若α=120°,β= 60°,则大扇形与小扇形的面积之差为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.-=.
16.如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是( )
A.R2-r2=a2
B.a=2Rsin 36°
C.a=2rtan 36°
D.r=Rcos 36°
【解析】选A.∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆,
∴∠BOC=×360°=72°,
∴∠1=∠BOC=×72°=36°,
R2-r2==a2,
a=Rsin 36°,
a=2Rsin 36°;
a=rtan 36°,
a=2rtan 36°,
cos 36°=,
r=Rcos 36°,
所以,关系式错误的是R2-r2=a2.
17.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为( )
A. B. C.4 D.2+
【解析】选B.如题图:BC=AB=AC=1,
∠BCB′=120°,
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×
=2×=π.
18.如图,已知点P是半径为1的☉A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作?ABCD,若AB=,则?ABCD面积的最大值为( )
A.2
B.
C.2
D.3
【解析】选C.由☉A半径为1可知AP=1,因为PC=AP,所以AC=2,以AC为对角线作?ABCD,?ABCD面积是△ABC面积的2倍,求?ABCD面积的最大值即求△ABC面积的最大值,AB=,所以当AB⊥AC时,△ABC面积最大.
△ABC面积=,∴?ABCD面积=2.
19.(2017·重庆中考A卷)如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是( )
A.2-
B.-
C.2-
D.-
【解析】选B.因为矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC,所以∠AEB=∠CBE=45°,
所以AB=AE=1,BE=,因为点E是AD的中点,所以AE=ED=1,
所以图中阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形EBF=1×2-×1×
1-=-.
20.如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于☉O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.连接AC,EO,AC与EF交于点Q,由四边形ABCD是内接于☉O的正方形得∠ACB=45°,∠B=90°,AC过圆心O,又正三角形AEF内接于☉O,AC是直
径,故∠OAE=30°,AC⊥EF.设半径为r,则AE=r,OQ=,又OC =r,所以CQ=,HG=r,==.
二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
21.(2017·曹县二模)如图,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是☉O上一点,则tan∠OBC为________.
【解析】作直径CD,在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,则OD==4,
tan∠CDO==,由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,则tan∠OBC=.
答案:
22.(2017·天桥区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,若以点D为圆心,AD为半径的圆与BC相切,则☉D的半径为________.
【解析】过点D作DE⊥BC于点E,因为∠C=90°,所以DE∥AC,
所以△BDE∽△BAC,所以=,设☉D的半径为r,
因为AC=6,BC=8,所以AB=10,即=,解得r=.
答案:
23.如图,在平行四边形ABCD中,以对角线AC为直径的☉O分别交BC,CD于点M,N.若AB=13,BC=14,CM=9,则MN的长度为________.
【解析】连接AM,AN,
∵AC是☉O的直径,
∴∠AMC=90°,∠ANC=90°,
∵AB=13,BM=BC-CM=5,
∴AM==12,
∵CM=9,
∴AC==15,
∵∠MCA=∠MNA,
∠MCA=∠CAD,
∴∠MNA=∠CAD,
∵∠AMN=∠ACN,
∴△NMA∽△ACD,
∴AM∶MN=DC∶CA,
∴12∶MN=13∶15,
∴MN=.
答案:
24.(2016·河南中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作交于点C,若OA=2,则阴影部分的面积为________.
【解析】连接OC,AC,由题意得,OA=OC=AC=2,
∴△AOC为等边三角形,∠BOC=30°,
∴扇形COB的面积为:=π,
△AOC的面积为:×2×=,
扇形AOC的面积为:=,
则阴影部分的面积为:π+-=-π.
答案:-π
三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
25.(8分)已知:如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果∠BAD=
30°,且BE=2,求弦CD的长.
【解析】连接OD,设☉O的半径为r,则OE=r-2,
∵∠BAD=30°,
∴∠DOE=60°,
∵CD⊥AB,
∴CD=2DE,∠ODE=30°,
∴OD=2OE,即r=2(r-2),解得r=4;
∴OE=4-2=2,
∴DE===2,
∴CD=2DE=4.
26.(8分)(2017·曹县二模)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,PC切☉O于点C,AE⊥PC交PC的延长线于点E,AE交☉O于点D,PC与AB的延长线相交于点P,连接AC,BC.
(1)求证:AC平分∠BAD.
(2)若PB∶PC=1∶2,PB=4,求AB的长.
【解析】(1)如图所示:连接OC.
因为PC是☉O的切线,所以OC⊥EP.
又因为AE⊥PC,所以AE∥OC,所以∠EAC=∠ACO.
又因为∠ACO=∠OAC,所以∠EAC=∠OAC.
所以AC平分∠BAD.
(2)因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,
所以∠BAC+∠ABC=90°.
因为OB=OC,所以∠OCB=∠ABC.
因为∠PCB+∠OCB=90°,所以∠PCB=∠PAC.
因为∠P=∠P,所以△PCA∽△PBC,
所以=,所以PA==16.
所以AB=PA-PB=16-4=12.
27.(10分)(2017·威海模拟)如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:EF是☉O的切线.
(2)求证:AC2=AD·AB.
(3)若☉O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC,
因为OA=OC,所以∠BAC=∠OCA,
因为∠DAC=∠BAC,所以∠OCA=∠DAC,所以OC∥AD,
因为AD⊥EF,所以OC⊥EF,
因为OC为半径,所以EF是☉O的切线.
(2)连接BC,
因为AB为☉O直径,AD⊥EF,所以∠BCA=∠ADC=90°,
因为∠DAC=∠BAC,所以△ACB∽△ADC,所以=,
所以AC2=AD·AB.
(3)因为∠ACD=30°,∠ADC=90°,
所以∠CAD=∠OCA=60°,所以△AOC为等边三角形,
所以AC=OC=OA=2,在Rt△ACD中,∠ACD=30°,
所以AD=AC=1,根据勾股定理得:CD=.
所以S阴影=S△ACD-(S扇形AOC-S△AOC)=×1×
-=-.
28.(10分)(2016·江西中考)如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP.
(2)若∠CAB=30°,当F是的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.
【解析】(1)如图1
连接OC,∵CD是☉O的切线,
∴OC⊥CD, ∴∠OCD=90°,
∴∠DCA=90°-∠OCA .
又PE⊥AB,点D在EP的延长线上,
∴∠DEA=90°,
∴∠DPC=∠APE=90°-∠OAC.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∴∠DCA=∠DPC,
∴DC=DP.
(2)如图2,四边形AOCF是菱形.
连接CF,AF,
∵F是的中点,
∴=,
∴AF=FC.
∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,
又∵AB是☉O的直径,=
∴∠AOC=120°,
∠ACF=∠FAC=30°,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC=30°.
∴△OAC≌△FAC(ASA).
∴AF=OA.
∴AF=FC=OC=OA,
∴四边形AOCF是菱形.
29.(12分)如图,已知AB为☉O的直径,F为☉O上一点,AC平分∠BAF且交☉O于点C,过点C作CD⊥AF于点D,延长AB,DC交于点E,连接BC,CF.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若AD=6,DE=8,求BE的长.
(3)求证:AF+2DF=AB.
【解析】(1)连接OC,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵CD⊥AF,∴∠D=90°,
∴∠ACB=∠D,
∵AC平分∠BAF,∴∠BAC=∠CAD,
∴△ABC∽△ACD,∴∠ABC=∠ACD,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠ACD,
∴∠ACO+∠ACD=∠OCB+∠ACO=90°, ∴∠OCD=90°,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵AD=6,DE=8,
∴AE==10,
∵∠OCE=∠ADE,∠E=∠E,
∴△OCE∽△ADE,
∴=,
设☉O的半径为r.