三角形全等模型详细专题初中数学

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中考数学总复习全等三角形的五种模型

全等三角形的五种模型一、手拉手模型已知：△ABE和△ACD为两个的等腰三角形，∠BAE＝∠CAD＝∠α，连接EC，BD交于点O结论：①△ABD ≌△AEC；②∠α＋∠BOC＝180°；③OA平分∠BOC已知：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接CD，BE交于点O结论：①△ACD ≌△ABE；②∠BOC＝90°；③OA平分∠BOC已知：直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形，连接AE，CD，二者交点为H结论：①△ABE≌△DBC；②AE＝DC；③∠DHA＝60°；④△AGB≌△DFB；⑤△EGB≌△CFB；⑥连接GF，GF∥AC；⑦连接HB，HB平分∠AHC模型应用1. (2010·深圳改编)如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D 在AB上．(1)求证：△AOC≌△BOD；(2)判断△CAD是什么形状的三角形，说明理由．2.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，连接CD，BE，CD，BE相交于点O，判断CD 与BE的位置关系，并说明理由半角模型已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△ADF绕点A旋转90°到△ABG，则：①EF＝DF＋BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半已知：正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝45°结论：将△AEB绕点A为旋转90°到△ADE′，则：EF＝DF－BE已知：在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A 作AH⊥EF于点H，BE＝EH结论：①△ABE≌△AHE；②△AHF≌△ADF；③∠EAF＝45°；④EF＝BE＋DF模型应用3. (2015·深圳改编)如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE 折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE＝45°；④DG＝DE.在以上4个结论中，正确的共有()A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF，AE，AF，过A作AH⊥EF于点H.若EF＝BE＋DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH＝FD；③∠EAF ＝45°；④S△EAF＝S△ABE＋S△ADF；⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的个数是() A. 2 B. 3C. 4D. 5第三题第四题倍长中线模型已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，则：①△ADC ≌△EDB ；②AD< 21(AB ＋AC)已知：在△ABC 中，AD 是BC 边中线结论：作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE ，则：①△BDE ≌△CDF ；②BE ∥FC模型应用6. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF.一直线三垂直模型已知：AE＝DE，AE⊥DE，∠B＝∠C＝90结论：①△ABE≌△ECD；②BC＝AB＋CD已知：在正方形ABCD中，∠ABF＝∠C＝90°，AF⊥BE，交于点H结论：①△ABF≌△BCE；②EC＝AB－FC模型应用7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F作FG∠CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S∠FAB∠S四边形CBFG＝1∠2；③∠ABC＝∠ABF.其中正确的结论的个数是()A.1B. 2C. 3D. 08. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM.其中正确的结论有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9. 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE∠AG于点E，BF∠DE，交AG 于点F.给出以下结论：①∠AED∠∠BFA；②DE－BF＝EF；③∠BGF∠∠DAE；④DE－BG＝FG.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. (2018·深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．对角互补模型已知：已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB结论模型应用11.(2012·深圳)如图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形6，则另一直角边BC的长为________．对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝212. (2017·深圳)如图，在Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt∠MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．。

初中数学三角形全等11大解题模型模型总结

三角形全等的相关模型总结【例题详解】①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1图2①2（提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E）类别1：角平分线模型应用模型1：角平分性质模型：辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.模型2：角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF∥射线OB【例题详解】已知：如图2，在中ABC ∆，,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线)(21.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。

而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C 作CE∥AB 交AM 的延长线于点E.例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥模型3：角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ∆≌△OBC.【例题详解】①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。

2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。

可过O 作BC 的平行线。

得△ADO≌△AQO。

专题03 全等三角形的六种模型全梳理(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)目录【模型一平移型模型】 (1)【模型二轴对称型模型】 (3)【模型三四边形中构造全等三角形解题】 (5)【模型四一线三等角模型】 (9)【模型五三垂直模型】 (13)【模型六旋转型模型】 (18)【模型七倍长中线模型】 (24)【模型八截长补短模型】 (30)【模型一平移型模型】例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，A D∠=∠，AB DE∥，=．BE CF求证：AB DE=．【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出△△，注意全等三角形的对应边相等；根据AB DE≌ABC DEF∠=∠，又根据∠A=∠D，BE=CF∥可知B DEF可以判定ABC DEF ≌△△，即可求证AB DE =．【详解】解：∵AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，∵BE CF =，∴BC EF =，∴在ABC 和DEF 中，A DB DEF BCEF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△，∴AB DE =．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ACD 和CEB 中，点A 、B 、C 在一条直线上，D E AD EC AD EC ∠=∠=，∥，．求证：ACD CBE ≌．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A ECB ∠=∠，再根据全等三角形的判定定理ASA 证明ACD CBE ≌．【详解】AD EC ∥ ，A ECB ∴∠=∠，在ACD 和CEB 中，A ECB AD ECDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ACD CBE ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD CF =，AB DE =，BC EF =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若65A ∠=︒，82B ∠=︒，求F ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)33︒【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．（1）先证明AC DF =，然后根据SSS 证明ABC DEF ≌△△即可；（2）根据全等三角形的性质得出F ACB ∠=∠，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：AC AD DC =+∵，DF DC CF =+，且AD CF =，AC DF =∴，在ABC 和DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)ABC DEF ∴△≌△，（2）解：由（1）可知，ABC DEF ≌△△，F ACB ∠=∠∴，65A ∠=︒ ，82B ∠=︒，180()180(6582)33ACB A B ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，33F ACB ∴∠=∠=︒．【模型二轴对称型模型】例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段AC 、BD 相交于点E ，D A ∠=∠，DE AE =，求证：C B ∠=∠．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA 可证ABE ≌DCE △，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：在DEC 和AEB △中D A DE AE DEA AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA DEC AEB ∴△≌△，ABE ∴ ≌()ASA DCE ，C B∴∠=∠【变式训练】1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC =，BD CE =．求证：ACD ABE ≌．【答案】见解析【分析】根据AB AC =，BD CE =推出AD AE =，即可根据SAS 进行求证．【详解】证明：,,,AB AC BD CE AD AB BD AE AC CE ===-=- ，AD AE ∴=．在ABE 和ACD 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD ABE ∴ ≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法有SSS,SAS,AAS,ASA,HL ．2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB AE =，AC AD =，BAD EAC ∠=∠，40C ∠=︒，求D ∠的度数．【答案】40︒【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明BAC EAD ∠=∠，再证明BAC EAD ≌，即可得到40D C ∠=∠=︒．【详解】解：∵BAD EAC ∠=∠，BAD DAC EAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠．在BAC 与EAD 中，,,,AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAC EAD ∴V V ≌．C D ∴∠=∠．∵40C ∠=︒，40C D =∠=︒∴∠．【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．AE ⎧⎪∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：证明：在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ΔΔ()ABD ACD SSS ∴≅，【模型四一线三等角模型】【答案】探究：见解析；应用：61．已知CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：BE CF =；②如图2，若180BCA α∠+∠=︒，探索三条线段EF BE AF ，，的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②EF BE AF =-，见解析(2)不成立，EF BE AF =+，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到ACF CBE ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可；②利用三等角模型及互补证明ACF CBE ∠=∠，得到BCE ≌CAF V 即可；（2）利用互补的性质得到EBC ACF ∠=∠，证明BCE ≌CAF V 即可．【详解】（1）①证明：∵90EE CD AF CD ACB ⊥⊥∠=︒，，，∴90BEC AFC ∠=∠=︒，∴9090BCE ACF CBE BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF =；②解：EF BE AF =-．证明：∵180BEC CFA ACB αα∠=∠=∠∠+∠=︒，，∴180180CBE BCE ACF ACB BCE BCE αα∠=︒-∠-∠∠=∠-∠=︒-∠-∠，，∴ACF CBE ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴BE CF CE AF ==，，∴EF CF CE BE AF =-=-；（2）解：EF BE AF =+．理由：∵BEC CFA BCA αα∠=∠=∠∠=∠，，又∵180180EBC BCE BEC BCE ACF ACB ∠=∠=∠=︒∠+∠+∠=︒，，∴EBC BCE BCE ACF ∠+∠=∠+∠，∴EBC ACF ∠=∠，在BCE 和CAF V 中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ≌CAF V ()AAS ，∴AF CE BE CF ==，，∵EF CE CF =+，∴EF BE AF =+．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．2．（2024上·湖南株洲·八年级校联考期末）（1）如图①，已知∶ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，直线m 经过点,A BD m ⊥于,D CE m ⊥于E ，求证∶ABD CAE △△≌；（2）拓展∶如图②，将（1）中的条件改为∶ABC 中，,AB AC D A E =、、三点都在直线m 上，并且BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，α为任意锐角或钝角，请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用∶如图③，在ABC 中，BAC ∠是钝角，,AB AC BAD CAE =∠>∠，BDA AEC BAC ∠=∠=∠，直线m 与BC 的延长线交于点F ，若2,BC CF ABC = 的面积是12，求ABD △与CEF △的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）6【分析】（1）先证明90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒，DBA CAE ∠=∠，然后根据AAS 即可证明ABD CAE ≌ ；（2）先证明DBA CAE ∠=∠，再证明()AAS ABD CAE ≌，再利用全等三角形的性质可得结论；（3）同（2）可证()AAS ABD CAE ≌，得出ABD CEA S S = ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出ACF S △即可得出结果．【详解】解：（1）∵90BDA AEC BAC ∠=∠=∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，且90DBA BAD ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，在ABD △和CAE V 中，【模型五三垂直模型】例题：（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．【答案】(1)DE ，AE(2)见解析【分析】本题考查一线三直角全等问题，（1）由90CBA AED BAD ∠∠∠===︒，得12290D ∠∠∠∠+=+=︒，则1D ∠∠=，而AB DA =，即可证明ABC DAE ≌，得AC DE =，BC AE =，于是得到问题的答案；（2）作NF l ⊥于点F ，因为BM l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，所以90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒，由（1）得AC DE =，因为90MAN ∠=︒，所以90CAM FAN FNA FAN ∠∠∠∠+=+=︒，则CAM FNA ∠∠=，而AM NA =，即可证明CAM FNA ≌，得AC NF =，所以NF DE =，再证明PFN PED ≌，则NP DP =．【详解】（1））解：BC l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，∴90CBA AED ∠∠==︒，∵90BAD ∠=︒，∴12890D ∠∠∠∠+=+=︒，∴1D ∠∠=，在ABC 和DAE 中，1D BCA AED AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AAS ABC DAE ≌（），∴AC DE =，BC AE =，故答案为：DE ，AE ．（2）证明：如图2，作NF l ⊥于点F ，∵BM l ⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，∴90ACM NFA NFP DEP ∠∠∠∠====︒，由1AC DE=（）得，同理（1）得AC NF =，∴NF DE =，在PFN 和PED 中，MFP DEF FPN EPD MF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AAS PFN PED ≌（），∴NP DP =．【变式训练】1．在△ABC 中，∠BAC =90°，AC=AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，EAB DAC ∠+∠=度；(2)求证：DE=CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE +DE ，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC =90°可直接得到EAB DAC ∠+∠=90°；（2）由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE =EA +AD =DC +BE ．（3）同（2）易证△DCA ≌△EAB ，得到AD =CE ，DC =BE ，由图可知AE =AD +DE ，所以CD =BE +DE ．(1)∵∠BAC =90°∴∠EAB +∠DAC =180°-∠BAC =180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且EA =DC由图可知：DE =EA +AD =DC +BE ．(3)∵CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°∵∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EAB AC AB ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴AD =BE 且AE =CD由图可知：AE =AD +DE∴CD =BE +DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC CEB △△≌；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ADC △和CEB 全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和AC BC =，再由同角的余角相等证明DAC BCE =∠∠即可证明()AAS ADC BEC ≌；②由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（2）根据垂直定义求出BEC ACB ADC ∠=∠=∠，根据等式性质求出ACD CBE ∠=，根据AAS 证出ADC △和CEB 全等，再由全等三角形的对应边相等得到AD CE =，BE CD =，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，90ADC ∠=︒，90BEC ∠=︒∴90ACD DAC ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴DAC BCE =∠∠，在ADC △与BEC 中，90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC BEC ≌；②由①知，ADC BEC △△≌，∴AD CE =，BE CD =，∵DE CE CD =+，∴DE AD BE =+；（2）证明：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC △与BEC 中，90ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌．∴AD CE =，BE CD =，∴DE CE CD AD BE =-=-．（3）解：同（2）理可证()AAS ADC CEB ≌．∴AD CE =，BE CD =，∵CE CD DE=-∴AD BE DE =-，即DE BE AD =-；当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-(或AD BE DE =-，BE AD DE =+)．【模型六旋转型模型】例题：如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB ＝∠DCE ＝∴∠ACD ＝∠BCE ，【模型七倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，BD 是ABC 的中线，10AB =，6BC =，求中线BD 的取值范围．【答案】28BD <<【分析】延长BD 到E ，使DE BD =,证明两边之和大于2BE BD =，两边之差小于2BE BD =，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得28BD <<．【详解】解：如图，延长BD 至E ，使DE BD =，连接CE ，∵D 为AC 中点，∴AD DC =，在ABD △和CED △中，BD DE ADB CDE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD CED ≌△△，∴10EC AB ==，在BCE 中，CE BC BE CE BC -<<+，即106106BE -<<+，∴416BE <<，∴4216BD <<，∴28BD <<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线．延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．(1)求证：ACD EBD △△≌；(2)AC 与BE 的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若90BAC ∠=︒，猜想AD 与BC 的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC BE =，AC BE∥(3)2AD BC =，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS ，即可证得；(2)由ACD EBD △△≌，可得AC BE =，C EBC ∠=∠，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS ，可证得BAC ABE ≌，据此即可解答．【详解】（1）证明：AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ACD △与EBD △中AD ED ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD EBD ∴ ≌；（2）解：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，故答案为：AC BE =，AC BE ∥；（3）解：2AD BC=证明：ACD EBD ≌，AC BE ∴=，C EBC ∠=∠，∴∥AC BE ，90BAC ∠=︒90BAC ABE ∴∠=∠=︒在BAC △和ABE △中，90AB BA BAC ABE AC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS BAC ABE ∴ ≌，2BC AE AD ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若6AB =，4AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，得到BE AD =，在ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，180BAE CAF ∠+∠=︒，试判断线段关系，并加以证明；(3)如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+【答案】(1)15AD <<CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC EDB ≌，∴4BE AC ==，∵在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，即64264AD -<<+，∴15AD <<．故答案为：15AD <<（2）2EF AD =，理由：如图，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，∴2AM AD DM AD =+=，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDM 和CDA 中BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BDM CDA ≌，∴BM AC =，∵AC AF =，∴BM AF =，∵BDM CAD ≌，∴∠=∠MBD ACD ，∴BM AC ∥，∴180ABM BAC ︒∠+∠=，∵180BAE CAF ∠+∠=︒，∴()360360180180BAC FAE BAE CAF ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴ABM FAE ∠=∠，在ABM 和EAF △中AB AE ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM EAF ≌，∴AM EF =，∵2AM AD =，∴2EF AD =；（3）取BC 的中点为M ，连接AM 并延长至N ，使AM MN =，连接BN 、DN ，∵点M 是BC 的中点，∴CM BM =，在ACM △和NBM 中，CM BM AMC NMB AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACM NBM ≌，∴AC NB=∵BD CE =，∴BM BD CM CE -=-，即=DM EM ，在AEM △和NDM 中，EM DM AME NMD AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AEM NDM ≌，∴AE ND =，延长AD 交BN 于F ，+>，则AB BF AD DF+>+，且FN DF DN+++>++，∴AB BF FN DF AD DF DN+>+，∴AB BN AD DN+>+．即AB AC AD AE【模型八截长补短模型】【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【变式训练】(1)求证：CD BC DE =+；(2)若75B ∠=︒，求E ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒∵CA 平分BCD ∠，∴BCA FCA ∠=∠．在BCA V 和FCA △中，⎧⎪∠⎨⎪⎩【答案】（1）①见解析；②14x <<；（2）见解析【分析】（1）①根据三角形的中线得出BD CD =，再由对顶角相等得出②先由ABD ECD ≌，得出5CE =，再由ED AD =，得出可求出答案；（2）先根据SAS 判断出DEF DEH △≌△，得出EH EF =，BD CD ∴=，在ADB 和ECD 中，BD CD ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABD ECD ∴△≌△；②解：由①知，ABD ECD ≌，CE AB ∴=，5AB = ，5CE ∴=，ED AD = ，AD x =，22AE AD x ∴==，在ACE △中，3AC =，根据三角形的三边关系得，53253x -<<+，14x ∴<<，故答案为：14x <<；（2）证明：如图2，延长FD ，截取DH DF =，连接BH ，EH ，DH DF = ，DE DF ⊥，即90EDF EDH ∠=∠=︒，DE DE =，∴()SAS DEF DEH ≌，EH EF ∴=，AD 是中线，BD CD ∴=，DH DF = ，BDH CDF ∠=∠，∴()SAS BDH CDF ≌，CF BH ∴=，∵BE BH EH +>，BE CF EF ∴+>．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ADG ABE △△≌AEF AGF △△≌，可得EF GF =，进而得出EF BE DF =+，即可解题；（2）证明方法同（1）：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明再证明AEF AGF △△≌，可得EF GF =，进而得出EF BE DF =+即可解题；∵90B ADF ∠=∠=︒，∴ADG ADF ∠=∠=∠在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴2BAD EAF ∠∠=，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEF AGF ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，故答案为：正确；（2）解：上题中的结论依然成立；如图2，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵110ADF ∠=︒，70B ∠=︒，∴18011070ADG B ∠=︒-︒=︒=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADF ∠+∠=︒，∴ADG B ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG ≌，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≌，∴EF GF =，∵GF DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．。

12.2 三角形全等的判定初中数学模型

O
B1
A
E
D
C
7
知识点三：”旋转“ 模型
典例分析
AAS
例3：如图,∠A=∠B, AE= BE, 点D在AC边上 ,∠1=∠2,AE,BD
交于点O.求证:∆AEC≌∆BED.
证明：∵ ∠ADE3;∠C
又∵ ∠ ADE= ∠ 1+∠BDE
且∠ 1= ∠ 2
∴ ∠C= ∠BDE 在∆AEC和∆BED中，
△ABD,若∠ABC=25°,∠ADB=110°,
A3
1B
则∠DAC的度数是 90 ° .
D
2、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示
E
的图形.已知∠CEB'=60°,则
B
C
∠AEB′= 60 °.
B′
A
D
6
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
对顶角模型
3、如图，OA=OB,OC=OD,∠O=50°，∠D=35°,则∠AEC的度数为 60 °.
∵ AD⊥CD AE⊥BE ∴ ∠AEB= ∠ADC=90 ° ∠BAE= ∠CAD （已证）在△ABE和△ACD中， ∠AEB= ∠ADC （已证）
AB=AC（已知）
∴△ABE≌△ACD(AAS)
12
AAS
5
知识点二：”翻折对称“ 模型
学以致用
公共边模型
C
1、如图,△ABC沿直线AB向下翻折得到
“平移”模型
A
D
求证:AB∥DE.
证明：∵BE=CF ∴BE+EC=CF+EC（等式性质） B ∴BC=EF
AB=DE（已知）
在△ABC和△DEF中， AC=DF（已知）

三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理

专题02 全等三角形中的六种模型梳理专题02 全等三角形中的六种模型梳理全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，也是平面几何中的基础知识之一。

全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。

在学习全等三角形的过程中，我们可以通过六种模型来更好地理解和应用这一概念。

本文将以深度和广度的要求，全面探讨全等三角形的六种模型，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 回顾全等三角形的概念在深入探讨全等三角形的六种模型之前，我们首先需要回顾一下全等三角形的概念。

在平面几何中，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，我们就称它们为全等三角形。

全等三角形的性质包括边长相等、对应角度相等、周长相等和面积相等。

这些性质是我们理解全等三角形的基础，也是之后探讨六种模型的重要依据。

2. 全等三角形的基本模型我们来看全等三角形的基本模型。

当两个三角形的对应边和对应角均相等时，这两个三角形就是全等的。

这是最基本的全等三角形模型，也是其他五种模型的基础。

通过这个基本模型，我们可以理解全等三角形的定义和性质，为之后的探讨打下基础。

3. 侧边-夹角-侧边模型我们来探讨侧边-夹角-侧边模型。

当两个三角形的一个对应边和夹角以及另一个对应边均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中经常用到，比如通过已知一个角和两边的长短来确定两个三角形是否全等。

这个模型的理解和运用可以帮助我们更好地解决实际问题。

4. 夹角-边-夹角模型接下来，我们继续探讨夹角-边-夹角模型。

当两个三角形的一个夹角和两个对应边的夹角均相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型的理解有助于我们在解题过程中更灵活地运用全等三角形的性质，从而更快地解决问题。

5. 边-边-边模型我们来看一下边-边-边模型。

当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形也是全等的。

这个模型在实际问题中也经常用到，通过边长的关系来判断两个三角形是否全等。

专题全等三角形六种基本模型(学生版)

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

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全等三角形中辅助线的添加主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。

（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。

学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。

学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。

一、知识精讲1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。

（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。

6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。

EDFCBADCB A二、典型例题：考点一倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等条件：△ABC 中AD 是BC 边中线方法一：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE方法三：延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN【例题1】已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.【变式训练】1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。

若点M是BC的中点，求证：BE=CF=21(AB+AC)。

【例题3】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。

【变式训练】1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。

FECABDFEDAB CED CBA2、如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ，求证：CD=2CE 。

【例题4】直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半如图，D 是AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.【例题5】已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．（3）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由MEA B C D图③图②M D B A CE图①MDBACE【变式练习】已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM . （1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.考点二截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

【例题6】如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB=AD+BC ．【变式练习】1.如图，AD ∥BC ，∠1=∠2，∠3=∠4，点D 、E 、C 在同一直线上，证明：AD+BC=AB2.在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

【例题7】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB【变式练习】已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－21∠BDC ，求证：AB=BD ＋DC 。

图aFECBA图bFECBA【例题8】① 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；【变式练习】1.已知四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ο∠=°，P 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且120APD ο∠=，求证：PA PD PC BD ++=2.如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CDPBDCAABCDEO考点三一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

【例题9】已知：如图，点B,C,E在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE证明：△ACB≌△CFE【变式训练】已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.【例题10】⑴如图1，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF⑵如图2，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE 60°60°60°FAB ECEAG EA⑶如图3，已知AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：AG=CF【变式练习】如图①所示在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 点的一条直线，且B 点和C 点在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D 点，CE ⊥AE 于E 点。

（1）求证：BD=DE+CE ；（2）若直线AE 绕点A 旋转到图②所示的位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明；（3）若直线AE 绕点A 旋转到如图③所示位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，BD 与DE 、CE 的关系如何？直接写出结果，不需证明；（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD 、DE 、CE 之间的关系。

G F E C A【例题11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【变式练习】 E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．【练习12】已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF=ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．【变式练习】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．GA B C DEF P FEDCB A【例题13】如图所示，AE ⊥AB ，BC ⊥CD 且AB=AE ，BC=CD ，F 、A 、G 、C 、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？【变式练习】小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1∥l2∥l3 ，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A ，作AD ⊥l2于点D ，作∠DAH=90°，在AH 上截取AE=AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l3于点B ，连接AB ，作∠BAC=90°，交直线l2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l1∥l2∥l3, l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．l 1l 1l 2l 3图1 l 1H C BA D E l 2l 3图2l 1【例题14】已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．如图，当A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，求点B的坐标，并说明理由．【变式练习】1.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.⑴当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；⑵点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。

2.已知：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且∠ACB=90°，AC=BC ． ⑴如图1，当A （0，-2），C （1，0），点B 在第四象限时，先写出点B 的坐标，并说明理由．⑵如图2，当点C 在x 轴正半轴上运动，点A （0，a ）在y 轴正半轴上运动，点B （m ，n ）在第四象限时，作BD ⊥y 轴于点D ，试判断a ，m ，n 之间的关系，请证明你的结论．考点四：角平分线、中垂线法角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）【例题15】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【变式练习】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．【例题16】已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．【变式练习】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=【例题17】如图，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，且AB ＞AC ，求证：BE-AC=AE21ECBA【变式练习】如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：（1）AC-BE=AE；（2）AC=2BD．【例题18】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【变式练习】已知：△ABC中，AD是△ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作MN∥AD，交AC于点N ,求证：AN+AB=NC.【例题19】如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD；【变式练习】在例题19的条件下，当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明。