第八章 点的合成运动

B D
C
ω
A θ O e ve
ε R vr
θ
va
3）求BCD杆的加速度 A点的相对加速度沿水平方向。 A点的牵连加速度亦即杆BCD的加速度，沿铅垂向下。 因aa = ar + ae 故aax + aay = arx + ary + aex + aey D 故aay = ary + aey = ae 即A点的牵连加速度大小为 A点的绝对加速度沿铅垂方 向的投影。 ae= aancosθ+ aatsinθ aBCD= eω2cosθ+ eεsinθ
A x' z O x y z' M O' B y'
ω
动系的选择要确保动点与之有相对运动且相对运动状 态易判断，故动点和动系不能在同一物体上。
3.三种运动 3.三种运动 •相对运动：动点相对于动系的运动。 相对运动： •牵连运动：动系相对于定系的运动，是刚体的运动。 牵连运动： •绝对运动：动点相对于定系的运动。 绝对运动： 4.两种轨迹 4.两种轨迹 •相对轨迹：动点相对于动系的轨迹。 相对轨迹： •绝对轨迹：动点相对于定系的轨迹。 绝对轨迹： 5.牵连点 5.牵连点 在某瞬时，动系上与动点相重合 的点为动点在该瞬时的牵连点 牵连点。 牵连点 牵连点相对于动系静止不动。
则位移： rM = rO'+ r' 动系上与动点重合的点 （牵连点）记为M'，它 牵连点） 在定系中的矢径为rM' 。 图示瞬时： rM = rM'
二、点的速度 相对速度
~ ~ d r ′ d ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′) = vr = dt dt
M z M' O’ i' O x y
三、相对运动、牵连运动与绝对运动间的关系 相对运动、 在平面运动情况下，设动 点M的相对运动方程为： x'= x' (t), y'= y' (t) 设动系O'x'y'相对于定系 Oxy的牵连运动方程为： xO'= xO' (t), yO' = yO' (t), φ = φ(t)—从x轴正向到x'轴 正向逆时针转的角为正。 设M的绝对运动方程为： x= x (t)， y= y (t) 则相对运动、牵连运动与 绝对运动间的关系为：
第八章 点的合成运动
§ 8-1 § 8-2 § 8-3 相对运动·牵连运动 绝对运动 相对运动 牵连运动·绝对运动 牵连运动 点的速度合成定理 点的加速度合成定理
§ 8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 相对运动·牵连运动·
一、问题的引出 一水平放置的圆板绕过中心 O的铅 直轴以角速度ω旋转，在圆板上有 一光滑直槽AB，槽内放一小球 M。 AB M 1）若以圆板为参考系，小球M将 如何运动? 2）若以地面为参考系，小球M将 如何运动?
ve C θ eθ O vr
BD 杆作水平平动，其速度为C点的牵连速度 vBD = ve = va cosθ =eω cosθ
B
D
ar
a C θ e e O
ω
aa A
3）求BD 杆的加速度 C点绕O点作匀速圆周运动， 其绝对加速度aa= eω2 C点的相对加速度：ar= aa cosθ =eω2 cosθ BD 杆作水平平动，其加速度为C点的牵连加速度 aBD = ae = aa sinθ =eω2 sinθ
B
B va ve vr P C
A
C va
ve vr A O
先选杆AC上的点A为动点，动系建立 于杆O1D上； 绝对运动：沿杆AC的水平直线运动； 相对运动：为沿杆O1D的直线运动； vAe 牵连运动：杆O1D的转动。
vAa
D A vAr vBr C
再选杆OB上的点B为动点， vBa 动系仍建立于杆O1D上； 绝对运动：以O为圆心、 vBe 以OB为半径的圆周运动； 相对运动：沿杆O1D的直线运动； ω 牵连运动：杆O1D的转动。 O
O x y A x' z z' M B O' M' y'
ω
6.三种速度 6.三种速度 •相对速度(vr)：动点相对于动系的速度。 相对速度( •牵连速度(ve)：牵连点相对于定系的速度。 牵连速度( •绝对速度(va)：动点相对于定系的速度。 绝对速度( 7.三种加速度 7.三种加速度 •相对加速度(ar)：动点相对于动系的加速度。 相对加速度( •牵连加速度(ae)：牵连点相对于定系的加速度。 牵连加速度( •绝对加速度(aa)：动点相对于定系的加速度。 绝对加速度(
x z M M' O' i’ O y
动点M的绝对加速度
d r M d (r O′ + r ′) = aa = 2 dt d t2 && = &&O′ + ( x′&&′ + y′&&′ + z ′k ′) i j r + ( &&′i ′ + &&′j ′ + &&′k ′) x y z && &j & & + 2( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′)
B O1
【例8-2】曲柄导杆机构如图示。 已知OA=r，曲杆BCD速度为vD。 求该瞬时杆 OA转动的角速度ω。 【解】1）取滑块A为动点，曲 杆BCD为动系。 绝对运动：以O为圆心r为半 径的圆周运动。 va = rω 相对运动： 水平直线运动。 牵连运动：沿铅垂直线 平动。 ve = vD
va =
2 2
考虑到 & i ′ = ωe × i ′
&′ = ωe × j ′ k ′ = × k ′ & ωe j
ωe
&& &j & & 则2( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′) & & & = 2 ωe × ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′) = 2 ωe × v r
令aC=2ωe×vr—科氏加速度 科氏加速度 科氏加速度是由于动系为 转动时，牵连运动与相对 运动互相影响产生的， 其方向按右手定则确定。
ωe vr θ aC
z
M M'
O' i’ y
O x
aa = ar + ae + ac
点的加速度合成定理： 点的加速度合成定理： 动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的相对加 速度、牵连加速度与科氏 加速度的矢量和。 牵连运动为平动时aC=0。
aC=2ωevrsinθ
【例8-4】 半径为r、偏心距为e的偏心圆凸轮以等角 速度 ω绕定轴O逆时针转动，并带动拨叉A和固接于A 的控制杆 BD沿水平作往复运动，拨叉与凸轮接触表 面铅垂。 D B 用角θ表示杆BD的 速度和加速度。 【解】1）取轮心C为动点， 杆BD为动系。 A ω 2）求BD 杆的速度 C点绕O点作匀速圆周运动， 其绝对速度va= eω C点的相对速度： vr= va sinθ =eω sinθ
动点和动系不能选在同一 物体上，动点与动系之间 要有容易识别的相对运动。 分析三种运动和三种速度。 明确动点的绝对运动和相 对运动、动系的牵连运动。
运用速度合成定理，作出 选取动点、动系和定系。 速度平行四边形。确保绝 所选的参考系应能将动点 对运动速度为平行四边形 的运动分解成相对运动和 的对角线。 牵连运动。动点、动系须 运用速度平行四边形中的 指明，动系可不画出，定 几何关系求解未知数。 系可不用指明也不必画出。
绝对速度
d r M d (r O′ + r ′) = va = dt dt
& & = r O′ + [( x′i ′ + y′&′ + z ′k ′) j & & & & + ( x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′)]

va = ve + v r
点的速度合成定理： 点的速度合成定理： 动点在某瞬时的绝对速度 等于它在该瞬时的牵连速 度与相对速度的矢量和。 三、解题步骤
l O1
ω θ
ve φ vr B
va
A
ω1 φ
O2
绝对运动：以O1为圆心 r为半径的 圆周运动。va = rω 2 ω r2 r ω ⇒ ω1 = 2 2 ve = va sin ϕ ⇒ l 2 + r 2ω1 = 求解： 2 2
l +r
l +r
§ 8-3 点的加速度合成定理
一、动系中单位矢量对时间的导数 设动系绕定系的z轴作定轴 转动，转动角速度矢为ωe。
& & & = x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′
牵连速度 牵连速度是牵连点M'相对 于定系的速度，该点是动 系上的点，它相对于动系 静止不动，故它在动系上 的坐标x'、y'、z'是常量。
d r M ′ d (r O′ + r ′) = 故 ve = dt dt
& & = r O′ + x′i ′ + y′&′ + z ′k ′ j &
ω
M A
B
二、基本概念 1.合成运动： 1.合成运动：物体相对于某一参考体的运动由相对 合成运动 于其他参考体的几个运动组合而成。 2.两个坐标系 2.两个坐标系 •定参考系：习惯上把固定在地球 定参考系： 上的坐标系称为定参考系，简称 定系，以Oxyz坐标系表示。 定系 •动参考系：把固定在相对于地球 动参考系： 运动的参考体上的坐标系称为动 参考系，简称动系 动系，以O'x'y'z'坐 动系 标系表示。