闭环极点数和开环零点数关系
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
闭环系统的极点和零点p课件
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
G(s)H1(s)
C(s) 1/H1(s)
H0(s)H1(s)
H0(s)
【例 2】设系统 G(s)
Kg
, H (s) (s 1)(s 3) , 求闭环系统的极零点
s(s 1)(s 2)
方法一: 直接使用1/H(s)，变换
GH Kg(s 3) s(s 2)
R(s)
G(s)
C(s)
R(s)
G(s)H(s)
H(s)
C(s) 1/H(s)
变换后有: {闭环极点}＝{GH回路闭环极点}＋{H的零点} {闭环零点}＝{GH的零点}＋{H的极点}
说明: G(s)极点与H(s)零点相消, 所消去的因子对应了闭环系统一个极点。 G(s)零点与H(s)极点相消, 所消去的因子对应了闭环系统一个零点。
1/ H (s 1)(s 3)
系统为4阶的，闭环系统的极点包括: GH的两条根轨迹，－1，－3 闭环系统的零点包括－3
方法二: H0 (s 3) H1 (s 1)
GH1
Kg s(s 2)
1/
H1
(s
1 1)
8
（四）多回路系统的闭环零点
方法二:
H0 (s 3)
H1 (s 1)
9
4
（二） 闭环极点的求解
第二步，由ξ求Kg及闭环极点
由ξ求β
cos1 60
作等阻尼线，如果在坐标纸上绘制根轨迹可直接读出等阻尼线和根轨迹的交点， 即满足阻尼条件的系统闭环极点。其实质是求解方程组:
s jw
w
3
Kg
28 27
1.037
1/ 3 0.333
s3 3s2 2s Kg 8 3 6 2 2 Kg (6 3 2 2 3 ) j 0 w 3 / 3 0.577
根轨迹方程
证明：根轨迹方程
m
∏ (s − zi )
i =1
=−
1
n
∏ (s − pi )
K*
∏ i =1
n
s − pi
模值方程
K * = i=1 m ∏ s − zi
i =1
根轨迹起点： K*= 0(K = 0)
要使模值方程成立，则 s = p i 所以pi是根轨迹起点。
(i = 1, , n )
根轨迹终点 K* = ∞(K = ∞)
= −1
i =1
∏ ⎧
⎪
K
* G
m
s − zi
⎪
i =1
∏ ⎪⎪
⎨
n
s − pi
=1
⎪ i=1
⎪m
n
∑ ∑ ⎪
⎪⎩ i =1
∠(s −
zi ) −
i =1
∠(s −
p i ) = (2 k + 1)π
k = 0,±1,±2
模方程 相方程
（1）相方程是决定闭环根轨迹的充要条件；
（2）由模方程决定根轨迹上各点相应的 K * 值。
−
pi )
=
−K
*
d ds
m
(s − z j )
j =1
将式（1）除式（ 2）得
（2）
d ds
n
d
(s − pi ) ds
i =1
=
m
(s − z j )
j =1
n
m
(s − pi )
(s − z j )
i =1
j =1
n
m
d ln
( s − p i ) d ln
(s − z j )
开环的零点开环的极点
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4
三、根轨迹的概念
设系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg N (s) D(s)
k g为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N (s) (s z j ),
n
D(s) (s pj )
j 1
j 1
可得到系统的闭环特征方程式为:
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。
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规则二 根轨迹的终点
m
由根轨迹的幅值条件可知：
s zj
j1
n
s pi
1 kg
i 1
当 kg 时，必有 s z j ( j 1, 2, , m)
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规则四 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分
别为： N z , N p
m
n
则: i j Nz N p (1 2k)
i 1
j1
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我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
注：因为K g从0 变化，因此不论什么s值,总有一个 Kg 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的K g值。
当 k g由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。
极点对系统性能的影响闭环零
• 全部零点仅影响幅度和相位，对波形无影响； • 若有重根，则时间函数可能具有t,t2,……与 指数相乘的形式，同样满足上述结论
第四章 线性系统的根轨迹法
13
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
相距很近的一对闭环零、极点可以相消， 不会影响系统的动态性能
本节内容：
闭环零、极点对系统性能的影响 闭环零、极点分布求动态响应 开环零、极点对根轨迹图的影响
11
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
闭环极点的类型确定了系统的动态响应 的类型
闭环实极点指数型动态过程 闭环复极点指数型振荡动态过程
第四章 线性系统的根轨迹法
12
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
(k 0,1,, n m 1)
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
第四章 线性系统的根轨迹法
7
3 零度根轨迹…
零度根轨迹绘制法则(续)
实轴上某一区域,若其右方开环实数
4 根轨迹在实轴的分布 零极点个数之和为偶数,则该区域必 是根轨迹
根轨迹的分离点 5 与分离角
L条根轨迹分支相遇,分离点坐标满足
j 1
i1
( ji)
第四章 线性系统的根轨迹法
8
3 零度根轨迹…
零度根轨迹绘制法则(续)
7 根轨迹于虚轴的交点 8 根之和
根轨迹与虚轴交点的K*值和 值,
可用劳思判据确定.
n
n
si pi
i 1
i 1
第四章 线性系统的根轨迹法
9
3 零度根轨迹…
闭环极点等于开环极点的条件
在自动控制领域，闭环极点等于开环极点的条件通常涉及到系统的稳定性和动态性能。
开环极点是系统开环传递函数中分母多项式方程的根，而闭环极点是系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。
要使闭环极点等于开环极点，需要满足一定的条件。
首先，开环系统的传递函数必须是稳定的，这意味着开环极点必须位于复平面的左半部分或无穷远处。
其次，闭环系统的传递函数也必须是稳定的，这意味着闭环极点必须位于复平面的左半部分或无穷远处。
此外，为了使闭环极点等于开环极点，开环系统的传递函数和闭环系统的传递函数必须具有相同的分母多项式方程。
这意味着开环系统和闭环系统的零点和极点必须相同，除了零点和极点在复平面上的位置外，它们的阶数也必须相同。
综上所述，要使闭环极点等于开环极点，系统必须是稳定的，并且开环系统和闭环系统的零点和极点必须相同。
这些条件保证了闭环系统能够继承开环系统的稳定性和动态性能，并且具有相同的系统型别和动态性能。
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1
n
z
k
i 1
pi
m
zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2
0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2
Kg
0
Kg
6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
闭环传递函数和开环传递函数的关系
闭环传递函数和开环传递函数的关系闭环系统是指系统的输出值作为系统的输入值的一个反馈，从而形成一个环路，通过不断调整输入值来使得系统的输出值尽可能接近期望值的一种控制方式。
闭环系统通常包括传感器、控制器和执行机构等组成部分。
开环系统是指系统的输出值不会影响系统的输入值，即系统的输入值不受任何反馈调整的一种控制方式。
开环系统通常包括一个或多个输入信号和一个输出信号。
开环传递函数是指在开环系统中，输出信号与输入信号之间的数学关系。
开环传递函数是系统的振幅特性、相位特性等性能指标的数学表达式。
1.闭环传递函数可以通过开环传递函数和反馈传递函数相乘得出。
反馈传递函数是指闭环系统的输出值与期望值之间的差异的函数关系。
2.开环传递函数是闭环传递函数在不考虑反馈传递函数的情况下的简化形式。
当反馈传递函数为1时，闭环传递函数等于开环传递函数，即闭环系统的输出值与输入值之间的数学关系可以由开环传递函数表示。
3.闭环传递函数的稳定性受开环传递函数的影响。
开环传递函数的稳定性可以通过判断开环传递函数的极点位置来确定。
如果开环传递函数的极点位于左半平面，即实部小于零，则闭环传递函数的极点也位于左半平面，系统是稳定的。
4.闭环系统的稳定性可以通过开环系统的稳态误差来判断。
稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差异。
开环系统的稳态误差决定了反馈控制系统的能力，闭环传递函数会通过反馈传递函数来补偿稳态误差，从而提高系统的性能。
总结起来，闭环传递函数和开环传递函数是控制系统中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
闭环传递函数可以通过开环传递函数和反馈传递函数相乘得出，反馈传递函数用来补偿系统的稳态误差。
开环传递函数的稳定性决定了闭环系统的稳定性。
通过分析开环传递函数和反馈传递函数，可以设计出稳定性良好、性能优越的闭环控制系统。
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闭环极点数和开环零点数之间存在一种重要的关系，这是由控制系统的基本性质所决定的。
在控制系统中，闭环极点数和开环零点数之间的关系可以用以下公式表示：
闭环极点数= 开环零点数- 开环极点数
其中，闭环极点数表示控制系统的闭环传递函数中的极点数量，开环零点数表示控制系统的开环传递函数中的零点数量，开环极点数表示控制系统的开环传递函数中的极点数量。
这个公式表明，通过在控制系统中引入足够的零点，可以减少闭环极点的数量，从而改善系统的稳定性和动态响应。
这是因为开环零点对闭环系统的极点位置产生补偿作用，可以抵消掉一部分开环极点的影响。
总结来说，闭环极点数和开环零点数之间的关系表明，在设计控制系统时，增加开环零点的数量有助于提高系统的性能和稳定性。
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