快速判断复变函数零点和极点的几种方法
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：=??z k设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。
（1）解：当C为闭合曲线时，=0.∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a∴=b-a,即=b-a.(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则∑1= （）(z k-z k-1)有可设?k=z k，则∑2= （）(z k-z k-1)因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n= (∑1+∑2)==b2-a2∴=b2-a21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：= - vdy + i+ udy再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)=参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=（3+i）t=′=(3+i)3=6+i例题2：沿曲线y=x2计算（）解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)=（）=(1+i)+ 2i]=-+i1.3定义衍生2 重要积分结果：z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)由参数法可得：=dθ=dθ（）=例题1：例题2：解：=0 解=2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：=02.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
函数零点问题——找点的基本技法与技巧
函数零点问题——找点的基本技法与技巧
曾经写过两篇关于函数零点问题的小文章，一篇涉及到初级的找点概念和基本导向，另一篇涉及到一个重要的找点技巧——待定找点。
找点这种事，千万不要去看题目的答案，因为一千个人会找一千个点，松也好紧也好，只要能够通过找到的点说明零点的存在性即可。
但是说句心里话，我极其不喜欢使用max或者min函数（例如2016国I 导数题第一问的标答）来找点，因为在事实上，只要能理顺零点随参数变化的趋向（这应该是基本功！）那么依赖于参数的点就基本能够顺利地找到，用max或者min函数，有些多此一举的感觉。
以下公开这两篇小文章，未经允许谢绝转载。
注意最后一个题目方程左侧的函数，是一个极小值点不可解但是极小值却可求的函数，该函数型可进行推广，生成一簇极小值点不可解但极小值可求的含参函数。
该函数是我在今年4月份发现的。
第二篇文章没有标题，内容涉及上一篇文章的第三个题目。
找点已经可以算是一个研究课题，“根”是阶的估计，只要能够正确的估计阶，加上待定的手段，可以说没有找不到的点。
但是，这类题目，一定要自己动笔做，才会有感悟，自己尝试解一个题目的收获绝对超过看别人解十个题目，而且不要总考虑别人的点是怎么找的，要找出自己的风格和特色。
祝君好运。
极点和零点——精选推荐
极点和零点在信号处理系统中，当输⼊幅度不为零且输⼊频率使系统输出为零时，此输⼊频率值即为零点。
当系统输⼊幅度不为零且输⼊频率使系统输出为⽆穷⼤（系统稳定破坏，发⽣振荡）时，此频率值即为极点。
对于⼀个信号处理系统，其输⼊输出之间存在⼀定的关系，这种关系⽆论在时域还是频域都可以⽤数学表达式来表⽰。
⽽这数学表达式⼜是分⼦分母都是多项式的表达式（称为传递函数），这样满⾜使传递函数的分⼦为零的是零点，满⾜使传递函数分母为零的就是其极点。
（什么是相位裕度？相位裕度就是系统进⼊不稳定状态之前可以增加的相位变化，相位裕度越⼤，系统越稳定，但同时时间响应速度减慢了，因此必须要有⼀个⽐较合适的相位裕度）零点与极点怎么产⽣的：将电阻电容电感器件简单串并联就产⽣了。
其实我很简单的了。
电容接地单极点、电阻接地单零点。
电感电容双极点。
先记住这三⼝诀吧。
然后你再看看低通滤波器，⾼通滤波器吧。
你就了解我了。
在这⾥我先想说⼀下我的另⼀个兄弟转折频率：从转折频率理解零点与极点作⽤吧。
转折频率：例如单极和单零点电路中，此电路都有电容和电阻构成，当输⼊信号频率发⽣变化时，电容阻抗会随着的频率发⽣变化。
当电容阻抗等于电阻阻抗时候。
此是的频率点就是转折频率。
在单极点（低通滤波器中）从0HZ(直流)～转折频率的范围内，增益是⼀条⽔平直，经过转折频率后，增益以-20dB/dec下降。
输出的信号的幅度降为输⼊的⼀半，并输出信号相位相对与输⼊信号是落后了45度，输⼊信号被延迟了。
当电容阻抗远⼤与电阻时，输出信号相位最⼤会被延迟90度，从经验上说这个相位在转折频率正负10倍受到了影响。
在单零点（⾼通滤波器中）它与极点作⽤正好相反，它从0HZ（直流）～转折频率范围内增益响应是⼀条⽔平的直线，过转折频率后+20dB/dec上升，相位在转折频率点超前了45度，当信号频率继续上升⼤于10倍转折频率时候，相位超前了90度。
总结，何为转折，⽆论在单极电，还是单零点，或双极双零点中。
【高中数学】高中数学知识点：函数零点的判定定理
【高中数学】高中数学知识点：函数零点的判定定理函数零点存在性定理：
一般来说，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的像是一条连续曲线，并且有f（a）。
F（b）<o，那么函数y=F（x）在区间（a，b）中有零点，也就是说，有C∈ （a，b），
所以f（c）=O，这是f（x）=0的根。
特别提醒：（1）根据这个定理，可以确定f（x）
在（a，b）中有零点，但零点不一定是唯一的
(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不
能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x)=x
二
-3x+2有f(0)f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
（3）如果[a，b]上的F（x）是连续单调的，则F（a）。
F（b）<0，那么FX）在（a，b）上有唯一的零点
函数零点个数的判断方法:
（1）几何方法：对于不能使用根公式的方程，可以将其与函数y=f（x）的图像连接起来，并利用函数的性质找到零点
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如
方程x
二
-2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x
二
-2x+1在[0，2]上只有一个零点
② 函数的零点是实数，而不是数轴上的点
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．。
探求函数零点取点方法
探求函数零点取点方法函数的零点，也被称为函数的根，是指函数在横坐标轴上与横坐标轴相交的点。
在数学中，求函数的零点是一项基础而重要的工作，因为它可以帮助我们解方程、优化函数以及研究函数的性质等。
本文将详细介绍几种常见的函数零点取点方法。
1.图像法图像法是一种通过观察函数的图像来确定零点的方法。
对于给定的函数，我们可以通过绘制函数的图像并观察图像与横坐标轴的交点来找到零点。
图像法的优点是直观，容易理解，适用于任何函数。
然而，它存在一定的局限性，特别是当函数图像过于复杂或不光滑时，可能很难准确找到零点。
2.试位法试位法是一种通过尝试不同的函数值来逼近零点的方法。
基本思路是在其中一区间内选择两个函数值，判断这两个函数值的符号，如果它们的符号不同，则零点必然存在于这个区间内，然后将这个区间分为更小的区间，重复以上步骤直至确定零点的位置。
试位法的优点是简单易行，适用于任何函数，特别适用于没有解析式的函数。
然而，它可能会产生一定的误差，特别是当函数在一些区间内变化很快时。
3.等间距法等间距法是一种在给定区间内等间距取点的方法。
基本思路是将给定区间等分为若干小区间，然后在每个小区间内选择一个点进行计算，判断该点的函数值是否接近于零。
如果是，则该点可能是零点附近的近似解。
等间距法的优点是简单易行，适用于任何函数。
然而，它可能会错过一些零点，特别是当函数变化较快或存在多个零点时。
4.牛顿法牛顿法是一种通过迭代逼近零点的方法。
基本思路是选择一个初始点，然后通过计算函数在该点处的斜率来确定下一个点的位置，直到找到函数的零点。
牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，特别适用于连续可导的函数。
然而，它需要函数的导数信息，且对初值的选择比较敏感，可能导致收敛到局部极值点而不是全局零点。
5.二分法二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近零点的方法。
基本思路是选择一个初始区间，判断区间的中点与横坐标轴的交点与中点的符号，然后根据符号的不同缩小区间的范围，重复以上步骤直到找到函数的零点。
复变函数零点与极点
2。
判断极点
就是看使分母为零的数，
比如sinz/z这道题0就是他的极点
再比如，sinz/z的4次幂0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶，所以0是分式的3阶极点~~~
当0是分母的三级零点，不是分子的零点时，0是函数的三级极点。
这是极点的定义。
当0是分母的三级零点，而且是分子的一级零点，那么0是函数的二级极点。
这是结合极点与可去齐点的定义而得到的。
判断零点
f(z)=（z-zo)^mΦ(z)/[(z-zo)^nψ(z)](条件m，n>=1,Φ(z),ψ(z)在zo处解析，那么：
①m>n，zo是f(z)的m-n阶零点
②m=n，zo是f(z)的可去奇点
③m<n，zo是f(z)的阶极点
至于证明，可用零点和极点的定义。
字比较多，符号也不好打，希望你翻书查，我这里就不列举了啊。
上面是自的符号说明：zo表示z零，^n表示n次方，上面的结论是正确的，你可以通过做题去验证，这也是除了定义法和极限法外判定极点的一种有效的方法。
零点z的阶数就是使得前k-1阶导数为0，k阶导数不为0的那个k 比如f(z)=z^2+1, f(i)=0, f'(i)=2i，所以1阶导数非0，k=1。
通性通法｜函数“零点问题”最常三招
通性通法｜函数“零点问题”最常三招要说导数中最常见的题型，当然应该就是零点问题了。
有娃说，极值点也是常考的。
但极值点不就是导函数的零点么！也刻意翻了翻近几年的全国卷考题：年份全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷全国Ⅲ卷2020单调性函数不等式单调性函数不等式切线零点范围2019极值点零点个数零点个数切线单调性最值2018单调性极值点对数平均不等式函数不等式零点个数函数不等式极值点2017单调性零点个数极值点函数最值函数最值数列不等式2016零点个数极值点偏移单调性函数最值函数最值函数不等式2015切线零点个数单调性函数最值是不是发现，函数的零点，绝对算是个高频考点了？零点考什么？高考中对于零点的考查，主要还是通过函数零点的这个问题背景，考查考生的逻辑推理和数学运算能力的。
逻辑推理和数学运算，不正是很多同学的弱项的么？所以说，零点问题，对于很多同学来说，还是有一定的难度的。
当然，今天我们主要介绍零点的一般性处理思路，看看能不能达到类似于通性通法的效果。
那么，还是先熟悉一下零点的相关概念吧。
Part 1相关知识点一、函数的零点①函数零点的定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。
函数的零点不是坐标，也不是一个具体的点，而是一个数。
②函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
③零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。
存在性定理，只能判定函数在某个区间内有没有零点，但不能判定零点个数。
零点个数的确定往往需要结合函数的图像去进行判定。
④二分点估算零点第一步：确定区间[a,b],并验证f(a)·f(b)<0,并给出精度ε；第二步：求区间(a,b)的中点x1；第三步：计算f(x1).①若f(x1)＝0，则x1就是零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1，此时零点x0∈(a,x1);③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1，此时零点x0∈(x1,b);④判断x0是否达到精度ε，即|a-b|<ε，则得到零点a或b;若达不到，则重复第②到④步。
零点和极点详解
零点和极点详解一、引言零点和极点是复变函数中非常重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛，包括电路分析、信号处理、控制系统等领域。
本文将详细介绍零点和极点的定义、性质以及在实际应用中的意义。
二、零点的定义与性质1. 零点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果f(z0)=0，则称z0为f(z)的一个零点。
2. 零点的性质（1）零点是函数图像与x轴交点处。
（2）如果f(z)在z0处有一个k阶零点，则f(z)在z0处可以表示为：f(z)=(z-z0)^k g(z)其中g(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。
（3）如果f(z)有无穷多个不同的零点，那么f(z)必须恒等于0。
三、极点的定义与性质1. 极点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果满足以下条件：（1）存在某个正整数k使得g(z)=(z-z0)^kf(z)在z=z0处解析；（2）当z趋近于z0时，|f(z)|趋近于无穷大；则称z0为f(z)的一个k阶极点。
2. 极点的性质（1）极点是函数图像在z0处的奇异点，也就是说，函数在z0处没有定义。
（2）如果f(z)在z0处有一个k阶极点，则可以表示为：f(z)=h(z)/(z-z0)^k其中h(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。
（3）如果f(z)有无穷多个不同的极点，那么f(z)必须恒等于无穷大或者恒等于零。
四、零点与极点之间的关系1. 零点与极点之间的关系如果f(z)在z0处既有零点又有极点，那么它们之间存在以下关系：（1）当k>0时，称z0为可去奇异点。
此时，当我们把这个可去奇异点消去后，就得到了一个新的解析函数g(z)，它在原来的可去奇异点处具有一个正常的值g(z0)=lim_(z→z_0)f(z)，并且g(z)和f(z)在其他地方完全相同。
（2）当k<0时，称z0为本性奇异点。
此时，它是一个真正意义上的奇异点。
如果f(z)在z0的某个邻域内解析，那么称z0为孤立奇异点。
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快速判断复变函数零点和极点的几种方法要快速判断复变函数的零点和极点，可以使用以下几种方法：
1.零点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的表达式置为零，求解方程得到零点。
(2)图形法：将复变函数表达式代入计算机软件绘制图形，找出所有
与x轴相交的点即为零点。
(3)求导法：对复变函数进行求导，零点出现在函数图像的极小值和
极大值处。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模为零的
解即为零点。
2.极点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的分母置为零，求解方程得到极点。
(2)求导法：对复变函数进行求导，极点出现在导函数无定义的点处。
(3)裂项法：将复变函数的表达式进行裂项，对每一个裂项进行求解，求得不可简化的分母即为极点。
(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模趋近于
无穷大的解即为极点。
需要注意的是，以上方法仅仅是初步判断复变函数的零点和极点，并
不能保证找到所有的零点和极点。
对于更复杂的函数表达式，可能需要借
助计算机软件进行辅助计算。
此外，还有一些特殊的复变函数可以直接得到它的零点和极点：
-幂函数：复变函数形如f(z)=z^n，其中n为正整数。
这种函数的零
点就是原点z=0，而没有极点。
-指数函数：复变函数形如f(z)=e^z，其中e为自然对数的底数。
这
种函数的零点不存在，而它的极点在虚轴上的所有点。
总之，判断复变函数的零点和极点需要综合运用方程求解、函数图像、导数和复数的性质等方法，具体情况需要具体分析。