零点、极点和偶极子对系统性能的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1. 综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。
系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性;稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。
在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。
2. 稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。
系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。
稳定性是控制系统最基本的性质。
线性定常系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分(不包括虚轴)。
因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。
若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。
否则，系统就不稳定。
为了用matlab对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义，下面用 ,(t)函数作为扰动来讨论系统的稳定性。
如果当t趋于?时，系统的输出响应c(t) lim()0ct,收敛到原来的零平衡状态，即，该系统就是稳定的。
t,,设系统的闭环传递函数为: s10， ,=2 (1)(22)sss，，，当系统分别增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，1/(s-2)，(s+3)/(s+3.01)，(s-3)/(s-3.01)等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图1.注:matlab源程序见附录1.图1由以上matlab仿真结果可以看出，当增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，(s+3)/(s+3.01)等环节时，c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定。
分析零点,极点,偶极子对系统性能的影响
一． 高阶系统暂态性能分析
1.1.当闭环系统的零极点都位于 s 平面的左半部分时，则闭 环系统是稳定的。但当闭环极点距离虚轴的距离不同时，对系 统的暂态性能影响不同 高阶系统闭环传递函数：
高阶系统单位阶跃响应：
高阶系统单位阶跃响应：
1.2 设闭环传递函数 原闭环传递函数 1.1 φ s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加零点传递函数 1.2 φ1 s = 5(s + 1)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加极点传递函数 1.3 φ2 s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 10）(s + 3) 增加偶极子传递函数 1.4 φ3 s = 5(s + 0.95)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 1）(s + 3) 1.3 系统单位阶跃响应曲线如图 1-1 所示 实线������(������ ) 虚线 -----------------������1(������ ) 点画线 ������2（s ） 1.4 1.3 1.2����� ������������ 主要取决这些极点所对应的分量。
增加较远的零点图 1-2 1.4.2 增加极点 对比图 1-1 中������(������ ) ，������2(������ ) 对应的响应曲线，发现二者十分接近， 其暂态性能指标 ������������ 2 = 2.85������������ 2 = 3.66������������2 = 4.45 与������1(������ ) 的性能指标几乎相等。增加的极点为 s=-10,离虚轴较远，对系 统的暂态性能较小。 增加极点的距离虚轴的距离不同对系统的动态性 能影响也不同。图 1-3 增加的极点为 s=-1,离虚轴较近，对系统的暂态 性能影响较大。其动态性能指标如下
传递函数极点和零点的意义
传递函数极点和零点的意义在探讨传递函数极点和零点的意义前，我们首先需要了解什么是传递函数。
传递函数，又称为系统函数，是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
它是系统理论中的一个重要概念，用于研究信号在系统中的传输规律及其影响。
接下来，我们分别来讨论传递函数中的“极点”和“零点”，并探讨它们在工程上的应用。
一、极点极点，也叫阻尼点或“瞬态谐振点”，指的是传递函数分母中的因式，当其为0时，会使得系统响应变得不稳定或发生异常波动，被称为系统的“瓶颈”。
在控制系统中，极点是非常重要的参数，通过极点的位置，我们可以决定系统的稳定性、调节速度和峰值响应等性能指标。
通常情况下，我们希望系统的极点位于左半s平面内，这样可以保证系统稳定可控，并减小系统响应时的震荡和延迟。
另一方面，如果出现极点位于右半s平面内的情况，则应采取积极措施通过控制参数等手段移动其位置或者消除其影响，以保证系统的稳定性和性能。
二、零点零点，指的是传递函数分子中的因式，当其为0时，输出为0。
也就是说，当输入信号经过传递函数时，处于零点位置的频率分量成分不会引起系统响应。
在控制系统中，零点的位置对系统的动态特性和频率特性有着直接的影响。
比如，在控制系统的设计中，通过精心调节零点的位置，可以有效提高系统对不同频率信号的响应速度和灵敏度，这对于高速、高精度的控制系统是非常重要的。
另外，零点还可以调节系统的截止频率和幅频特性等性能指标，通过有效地调节零点的位置，可以优化系统的控制性能，提高系统的鲁棒性和减小系统的灵敏度。
总之，在掌握传递函数极点和零点的意义之后，我们能更深刻地理解和反映控制系统性能。
在实际工程中，要合理分析和设计传递函数的极点和零点，以实现系统的优化和提高。
零极点对系统的影响
MATLAB各种图形结论1对稳定性影响错误!增加零点不改变系统的稳定性；错误!增加极点改变系统的稳定性，不同的阻尼比下即使增加的是平面左侧的零点系统也有可能不稳定。
2对暂态性能的影响错误!增加的零点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。
分析表1可以发现,增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响,且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。
当a增加到100时,系统的各项暂态参数均接近于原系统的参数。
增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小.同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。
具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。
错误!增加的极点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远,对系统的影响越小。
①增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大,带宽增加。
②增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小,带宽减小.③增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。
3 对稳态性能的影响①当增加的零极点在s的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。
②当增加的零点在s的虚轴上时,系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。
③当增加的极点在s的虚轴上时,系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。
1、绘制G1（s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿１．ｍ)%画G1（s)的根轨迹曲线n=［1,0］; ％分子d=［1，1,2］; %分母figure1 = figure（’Color’，［1 1 1］）；％将图形背景改为白色rlocus(n，d); %画G1（s）根轨迹曲线title（'G1（s)的根轨迹’）； %标题说明2、绘制G1（s）的奈奎斯特曲线(Ｍ２＿２．ｍ）％画G1(s）的奈奎斯特曲线figure1 = figure（’Color'，［1 1 1］); ％将图形背景改为白色for a=1：10 ％a取1,2,3……10，时，画出对应的奈奎斯特曲线G=tf（［1/a，1],[1，1,1］)；nyquist（G）；hold onendtitle('G1（s）的奈奎斯特曲线’)；％标题说明3、绘制G2(s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿３．ｍ)％画G2(s）的根轨迹曲线n=[1,1，1,0］ ; %分子d=［1,1，2] ; %分母figure1 = figure（'Color'，[1 1 1］）；％将图形背景改为白色g2=tf(n,d） %求G2(s）的传递函数rlocus(g2）； %画G2(s）根轨迹曲线title(’G2(s)的根轨迹')； %标题说明4、绘制ξ=0.1，0.3,1，1。
闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响
闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响
稳定性：
如果闭环极点全部位于s左半平⾯。
则系统⼀定稳定；
运动形式：
如果闭环系统⽆零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应⼀定是单调的；如果闭环系统极点均为复数极点，则时间响应⼀般是震荡的。
超调量：
超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零极点接近坐标原点的程度有关。
调节时间：
调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的复数的实部绝对值；如果实数极点距离虚轴最近，并且它没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数的模值。
实数零极点的影响：
零点减⼩系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增⼤；极点增⼤系统阻尼，使峰值之间迟后，超调量减⼩，它们的作⽤，随着它们本⾝接近坐标原点的程度⽽增强。
偶极⼦及其处理：
远离原点的偶极⼦，其影响可忽略；接近原点的偶极⼦其影响必须考虑
主导极点：
在s平⾯上，最靠近虚轴⽽附近有闭环零点的⼀些闭环极点，对系统的影响最⼤。
结合偶极⼦的处理原则，将⾼阶系统简化为⼆、三个主导极点和⼀两个零点，然后估算系统的单位阶跃响应的性能指标。
系统函数零极点分布对系统时域特性的影响
, 极点在实轴上，
h(t) tet u(t), 0, t , h(t) 0
H(s)
(s2
2s
2
)2
,在虚轴上，
h(t) t sintu(t), t , h(t) 增幅振荡
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t ,
ht ，0 这H (表s)明的极点位于左半平面，由此可知，收敛 域包括虚轴， Fs均和存F在( j， )两者可通用，只需 将
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
1
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
零输入响应／零状态响应
s2 3s 2Rs s 3Es sr0 r0 3r0
则
Rzi s
sr0 r0 3r0
s2 3s 2
零输入响应为:
Rzs
s
s 3Es
s2 3s 2
rzi (t) 4et 3e2t t 0
即零状态响应为:
rzs (t) 0.5e 2t 2e t 1.5 (t 0)
即可s 。 j 6
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应
激励： e(t) E(s) u
系统函数：h(t) Hm(s)
(s zl )
(s zj )
E(s) l1 v
H (s) j1 n
(s Pk )
(s Pi )
k 1
响应： r(t) R(s)
u
m
(s zl ) (s zj )
极点对系统的性能影响分析
图17 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=50s，
超调量 =%
当p=10的阶跃响应
当p=10时，对应的闭环传递函数为
Matlab指令：
num=[1];
den=[,,,];
step(num,den);
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
当p=的阶跃响应
当p=时，对应的闭环传递函数为
num=[1];
den=[10,9,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf, 'Type','line');
set(h, 'LineWidth', 3);
不可对消偶极子
取增加的极点p=和零点s=组成一对开环偶极子，那么可以得到的闭环传递函数为：
为了得到新传递函数的性能参数，画出闭环传递函数的阶跃响应曲线。
Matlab指令：
num=[1,];
den=[1,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf,'Type','line');
图11 超调时间与lg（a）的关系
图12调节时间与lg（a）的关系
图13 超调量与lg（a）的关系
结论：
1.增加不同的零点对系统参数有不同的影响；
2.曲线峰值与超调量受到影响后的值与原值没有重合，上升时间，超调时间与调节时间与原值有重合；
增加开环零点、极点、偶极子对系统性能的影响
案例三 增加开环零点、极点对系统性能影响以典型二阶系统为例，利用自动控制理论实验箱搭建模拟电路，研究增加开环零点、极点以及偶极子对系统性能的影响。
一、原始二阶系统典型二阶系统的开环传递函数为：)12.0(1.01s +=s s G ）（其结构图如图1所示。
-10.1(0.21)s s +图1 二级系统结构图根据上述结构图和传递函数，利用自动控制理论试验箱中的运放、电阻、电容等建立二阶环节的模拟电路。
传递函数对应的二阶系统模拟电路图如图2所示。
UiUo1μF1μF-100K100K200K200K100K100K+++---图2 二阶系统模拟电路图在自动控制理论试验系统中测量得到该系统的阶跃响应曲线如图3所示，记录超调量等动态性能指标。
此时二阶系统阶跃响应的超调量为%46.30%=δ，峰值时间为t p =0.481s ，调节时间为t s =2.71s 。
图3 典型二阶系统阶跃响应曲线二、增加开环零点增加开环零点即增加一个一阶微分环节，其的传递函数为：11.0+=s s G ）（一阶微分环节的模拟电路如图4所示。
-+1.0K100K100K1uF图4 一阶微分环节的模拟电路增加以上开环零点后，系统的结构图如图5所示。
0.1s+1-10.1(0.21)s s +图5 增加开环零点后系统结构图根据图4和图5，利用自动控制理论实验箱单搭建增加开环零点后的二阶系统的模拟电路，并测量该系统的阶跃响应曲线，记录是与响应性能指标。
阶跃响应曲线如图6所示。
图6 增加开环零点后系统的阶跃响应曲线此时，系统阶跃响应的超调量为%29.6%=δ，峰值时间为t p =0.424s, 调节时间为t s =1.12s 。
与原系统的是与性能指标相比较，可以明显的看到系统超调量减小，峰值时间减少，系统响应速度加快，相对稳定性得到改善。
由此可以得出结论：增加开环零点可以改善系统的动态性能。
其原因在于微分环节表现出超前特性，增加微分环节会使系统阻尼系数增加，超调提前，稳定裕量增加。
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零点、极点和偶极子对系统性能的影响
我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。
但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。
为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。
这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。
（在分析的时候选择稳定的原始系统）
在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为：
通过matlab 编程和绘图我们可以得到()s G
的单位阶跃响应曲线如下图：
现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！
一、零点
为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
()
1s G 和()s G
的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t
减小； （3）系统的超调时间p
t 减小； （4）系统的超调量
%
p 变长；
（5）系统的调节时间
s t 变长；
但是在某些情况下，我们增加零点，会带来某些我们所不希望带来的结
线和原始闭环函数的响应曲线的异同点。
通过matlab绘制的响应曲线如下：
可以看出如果添加的零点正好与原点重合的时候，系统虽然最后还是稳态系统，但是系统最后的稳态值为0，这显然不合实际的要求。
所以在实际应用中，我们添加不能零点的时候一定要注意，添加的零点不能原点重合。
二、极点
为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
()
2s G 和()s G
的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=20;
d2=[4,21,9,20]; y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t
变长； （3）系统的超调时间p
t 变长； （4）系统的超调量
%
p 减小；
（5）系统的调节时间
s t 减小；
通过以上分析，我们不难发现：在系统中增加零点和极点的作用是相反
的。
三、偶极子
偶极子还可以根据距离虚轴的距离分为两种情况：距离虚轴远的和距离虚轴近的。
所以分两种情况进行分析。
1）在方程之中添加一对离虚轴较远的偶极子，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
()
3s G 和()s G
的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[4,32];
d2=[4,33.04,12.01,32.04]; y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
局部放大效果图见下图局部放大的效果图：
在添加距离远点较远的偶极子的时候，我们可以发现：添加偶极子后的系统与原来的系统一样，都是稳定的系统。
并且添加偶极子以后的系统的闭环传递函数的响应曲线与原始的闭环传递函数的响应曲线几乎是重合的,差别非常小。
通过局部放大以后，更是证明了我们的想法。
在t=3.765s 的这一时刻，二者的差距不到0.2%，几乎是相等的。
所以我们有理由认为，在添加距离虚轴较远的偶极子后的系统与对于原始系统的上升时间r t
，超调时间
p
t ，超调量
%
p ，调节时间
s t 没有影响。
2）在方程之中添加一对离虚轴较近的偶极子，我们将系统的闭环传递函数变为:
我们可以通过matlab 编程，绘出
()
3s G 和()s G
的响应曲线，通过分析相应的
响应曲线，我们就可以得出相应的结论！
matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1);
n1=[4,0.4];
d2=[4,1.44,4.11,0.44];
y2=step(n1,d2,t1);
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)');
title('单位阶跃响应')
两者的响应曲线为：
在添加距离远点较近的偶极子的时候，我们可以发现：添加偶极子后的系统与原来的系统虽然都是稳定的系统。
但是在添加距离虚轴较近的偶极子后的系统相对于原来的系统的系统的上升时间r t 我们可以通过放大局部图形的方法发现，两者的上升时间只是相差0.008s ，几乎没有任何差别。
超调时间p t 也可以用相同的方法，发现也几乎是相同的。
超调量
%p 减小了，调节时间s t 增大
了。
这也说明了偶极子在位置上的区别而对系统的影响有所区别。
将所有系统的单位阶跃响应曲线画到一张图纸上可以更加清楚地看到他们
之间的关系：
用matlab编程的程序为：
n=4;d=[4,1,4];
t1=0:0.1:15;
y1=step(n,d,t1);% 原始系统
n1=[3,4];
y2=step(n1,d,t1); %加了非原点的零点的系统
n2=20;
d2=[4,21,9,20];
y3=step(n2,d2,t1); %加了原点的系统
n3=[4,32];
d3=[4,33.04,12.01,32.04];
y4=step(n3,d3,t1); %离虚轴远的偶极子
n4=[4,0.4];
d3=[4,1.44,4.11,0.44];
y5=step(n4,d3,t1); %离虚轴近的偶极子
n6=[4,0];
y6=step(n6,d,t1); %加了原点的系统
plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g',t1,y3,t1,y4,'b',t1,y5,t1,y6),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)');
title('单位阶跃响应')
所有的响应曲线之间相互对比：
局部放大效果图见下图
局部放大效果见下图局部放大效果图：。