3 第二章波动光学的基本原理2012

z
P( x, y, z) k r
Q( x0 , y0 , z0 ) y
a1 U ( P) exp(ikr ) r
2 2
o x
2
r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
• 例题： 已知相位分布
( P) lx my nz p
求波的传播方向和波长。
第一节 定态光波与复振幅描述
波动概述：
• 波动：扰动（运动状态）在空间的传播形成波动。
要求波动具有如下基本特征： 1. 具有时间和空间双重周期性。 2. 能量的传输。 不具备这些特征，不是严格意义下的波动。
T
波动分类：
按照对波场的描述，可分为： 标量波：物理状态的扰动，用标量描述。 如温度波、密度波等。 矢量波：物理状态的扰动，用矢量描述。 如电磁波。 一般矢量波可以有三个自由度。 电磁场有两个垂直于传播方向的自由度。是横波。
波线
在波的几何描述中，有如下分类：
球面波 波面
平面波
按照等相面的形状，可分为： 球面波：波面是球面。几何光学中的同心光束。 平面波：波面是平面。几何光学中的平行光束。 波面:等相面。 波线:能量传播的路径。 在各向同性媒质中，波面与波线正交； 在各向异性媒质中，波面与波线一般不正交；
1.2 定态光波的概念
球面简谐波
ik r
e
-it
设
0 0
a1 U (r , t ) cos(t - kr - 0 ) r
a1 ikr -it U (r , t ) e e r
设
0 0
复振幅概念
由于定态光波频率单一的特点，在波函数表达式 - i t 中， e 是独立的。 振幅的空间分布A (P) 和相位的空间分布 ( P ) 是关注的重点。
H ( P, t )
光的标量波理论从如下方式进行简化：
1) 以E矢量作为光矢量. E和H之间有确定的关系； 光频下，介质磁机制几乎不起作用。 2) 以E矢量的一个分量作为代表. 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 0uu0 0 2 2 2 2 x y z t 化矢量波动方程：
傍轴条件
远场条件

zz
1
1 z
可见，当λ< z 时，远场条件更严格。 当λ> z 时，傍轴条件更严格。 在光学中，一般是远场条件蕴含傍轴条件
例题5 设单色点光源发射的光波波长λ~ 0.5um, 横向观测范围的线度ρ~ 1mm，估算傍轴距离和远场距离。
取1/50倍作为<<1 的条件。
（3） 轴上有一个点光源Q，坐标（0,0,-R）,写出 z = 0 面上的球面波波前函数。 x 发散球面波：
a1 U ( P) exp(ikr ) r
2 2
Q
R
U3
2
z
r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
x0 y0 0
z0 R
z0
a1 U 3 ( x, y) exp(ikr ) r
(P): 位相的空间分布
时间项：t [为圆频率]
体现了定态波振幅稳定，频率单一的特点。
波函数的复数表示
为了运算和理论分析上的方便，将简谐波函数的 实数形式变换为复数形式. 两者的对应关系：
U ( P, t ) A( P) cos(t - ( P))
U ( P, t ) A( P)e
例题：波长为 的光波，在（x, y）接收面上的波前函数为
U ( x, y) A exp(-i 2 fx)
分析与该波前函数相 2 f
ky 0
Z=0
U (r ) A exp[i(k x x k y y k z z )] A exp(ik cos x)
r x y R
2 2
2
平面或球面波前函数及其共轭波前
（4）分析与U3共轭的是怎样的一列波?
U4
R
x R O
待求波的波前函数：
* 3
Q
Q’
z
U3 a1 U 4 ( x, y) U ( x, y) exp(ikr ) r
r x y R
2 2
2
光传播的方向总是从左向右，会聚中心： Q’（0，0，R）与Q（0，0，-R）成镜像对称
U ( x, y ) A exp(i
与 x 轴交角：cos
2

fx)
f
x

z
2 2 kx kz k ( )
2 2 2
1 2 2 k z 2 ( ) f
轴上物点的傍轴条件与远场条件
• 物理意义： – 在什么条件下，球面波可以近似为平面波？ 对于轴上物点 O 在 x’ y’ 面上的场点P的复 振幅为：
平面或球面波前函数及其共轭波前 （1）一列平面波，其传播方向平行于（xz）平面，且 与z轴夹角为θ。写出在 z = 0 面上的波前函数。
对于波矢
k1
x k1
k1x k1 sin
k1 y 0
k1z k1 cos

U1
z
U1 ( x, y) A exp(ik1 x sin )
2
2z )]
z (1 / 2 z )
2
exp[ik ( z
a 平面波前 U ( x ', y ') exp(ikz ) z
U ( x ', y ')
a z (1 / 2 z )
2 2
exp[ik ( z
2
2z
)]
傍轴条件：（振幅为常数的条件）
复振幅近似为：
2
z2
平面或球面波前函数及其共轭波前 （2）分析与 U1 共轭的是怎样的一列波。
约定：在作波前分析的场合，光传播的方向 总是从左向右。此时波矢的 z 分量kz总是正的。 x
U2
U1 ( x, y) A exp(ik1 x sin )
* 1
k1
U1

k2
z
U 2 ( x, y) U ( x, y) A exp(ikx sin ) A exp[ikx sin( )]
决定光波在某个平面上（x, y）被接收效果的，是该 面上的光场分布 U ( x, y) 在现代波动光学中，波前指与接收平面直接打交道的 光场分布： U ( x, y) （也称波前函数） 在此概念下，波前不一定就是等相面； 不再关心等相面是何种形貌。
波前分析是现代波动光学的主要内容
波前的描述与识别
波前的叠加与干涉 波前的变换与分解 波前的记录与再现
电磁波能流密度（坡印亭矢量）：
S (r , t ) E (r , t ) H (r , t )
光强I: 光的平均能流密度。
1 T 1 T S | E H |dt EHdt T 0 T 0
1 T 1 1 0 2 S EHdt E0 H 0 E0 T 0 2 2 0
(2) 会聚球面波 复振幅表达式为： a1 U ( P) exp(-ikr ) r
r x2 y 2 z 2
(3) 轴外点源情形
如果有多个点源，只有一个可以被选为坐标原点。 轴外点源是更一般的情况。 对于场点：P( x, y, z ) 设点源坐标为： Q( x0 , y0 , z0 ) 球面波复振幅表达式为：
在光频下，光强I:
n
1 0 2 I S nE0 2 0
在同一种介质中，只关心光的相对分布，写为:
I E0
2
光强与复振幅的关系
光强用振幅表示为：
I ( P) [ A( P)]
2
光强的空间分布用复振幅表示为：
I ( P) U ( P) U *( P)
~* ~ U 是 U
平面波复振幅的特点：
1）振幅为常数，与场点位置无关。 2）相位分布是场点位置的线性函数。（线性相因子）
* 线性相因子系数平面波传播方向
2 kx k y kz k
2 2 2
球面波的复振幅及其特点 (1) 发散球面波 复振幅表达式为：
a1 a1 U ( P) exp(ikr ) exp(ik x 2 y 2 z 2 ) r x2 y 2 z 2
2 E 2 E - 0uu0 0 2 t
为标量波动方程：
2 1 U 2U - 2 0 2 v t
选择简谐波为定态光波的基元成分， 其标量波函数的一般形式为：
U ( P, t ) A( P) cos(t - ( P))
A (P): 振幅的空间分布 与时间无关 与场点坐标无关
的复共轭：
U ( P) A( P)e
*
-i ( P )
• 作业： – 147页 1题、2题、 3 题、4题 – 148页 5题、6题
第二节 波 前
波前概念：
1 波前的传统概念： 跑在最前面的波面称为波前。
y 2 广义波前概念： 在研究定态光波时，波面是否跑在前面不重要。
x
U波
z
U ( x, y)
1
或
z
2
2
a U ( x ', y ') exp(ikr ) z
远场条件：（位相为常数的条件）
1 k 2 z
2
或
z
2
a U ( x ', y ') exp(ikz ) r
a U ( x ', y ') exp(ikz ) z
两者都满足时：
傍轴条件和远场条件，那个更严格？
x
O
(x’,y’,z)P x'
a U ( x ', y ') exp(ikr ) r