差分方程基本知识
差分方程(1)-基础知识
6B1 = 12,
3B0 + 5B1 = 0,
解出
10 B0 , B1 2, 3
10 y x C1 C 2 (2) x 2 x 2 . 3
x
故所求通解为
(2) f (x) = Cqx
设特解的待定式为
x y x Bq
(q不是特征根);
y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根).
则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
5 k 2
x 1
1 5 5 k , 2 2 2
x
x
解出
1 k . 2
则所求通解为
15 1 yx . 2 2 2
x
x
四、二阶常系数线性差分方程 形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
例8 求差分方程 yx+2 7yx+1 + 6yx = 0的通解.
解 特征方程为
2 7 + 6 = 0.
方程的根为 原方程的通解为
1 = 1, 2 = 6.
yx = C1 + C26x.
例9 求差分方程 yx+2 4yx+1 + 16yx = 0满足条件y0=0,
y1=1的特解.
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方 * 是 (3) 的一个特解 , 则 y y y x 是方 程(4)的通解, yx x x
程(3)的通解. 下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程简介
差分方程简介
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
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解 特征方程为
2 1 0,
从而特征根为
1 . 2
于是原方程的通解为
1 t yt C ( ) , 2
其中C为任意常数.
考虑差分方程
yt 1 ayt f ( t )
的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.
( 一) f ( t ) c (c为任意常数),
则差分方程为
(5)
3 ( yt ) ( 2 yt ) (2) 2 2 0.
例2 设 yt a (0 a 1), 求 ( yt ).
t
解
( yt ) a
t 1
a a t (a 1).
t
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方
程就称为差分方程.
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt 1 yt 2 3t 2.
如果将原方程的左边写为
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为
2 yt 3 t .
又如： 可化为
yt 2 2 yt 1 yt 3t ,
(三) f (t ) ct n (c为常数)， 则差分方程为
yt 1 ayt ct n
设差分方程(7) 具有形如
(7)
yt* t s ( B0 B1t Bn t n )
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. ) 的特解.
将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为
初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分
方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差
分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt 1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt 1 yt 2的通解，
yt 2 yt 1 yt 2 3t 2 ,
2 yt 2 yt 3t .
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt 1 yt 2的解，
其中A为任意常数.
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，
例1 求 (t 2 ), 2 (t 2 ), 3 (t 2 ).
2 y t ,则 解 设 t
yt ( t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1, 2 ( yt ) 2 ( t 2 ) ( yt ) (2t 1)
2( t 1) 1 (2t 1) 2,
差分方程
一、差分方程的基本概念
二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f ( t ),
t 0, 1, 2,
, n,
.
我们称
yt yt 1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
例5
求差分方程 yt 1 3 yt 2 的通解.
解 对应齐次差分方程的通解为
Y A3 ,
t
由于 a 3 1 ,
* y 故可设其特解为： t k ,
代入方程，解得： k 1 ,
故原差分方程通解为：
yt Y
* yt
A3 1 .
t
(二) f (t ) cbt
3
4
(ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
( yt zt ) zt 1yt yt zt yt 1zt zt yt ;
yt zt yt yt zt zt 1yt yt 1zt . 5 zt zt 1 zt zt 1 zt
a t 1 .
a t y0 c 1 a a 2
a 1, y0 ct , t yt 1 a t y a 0 c 1 a , a 1.
2)一般法求解：设差分方程 具有形如 yt* kt s
yt 1 ayt c
(5)
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. )
的特解.
* 令 y (1) 当 a 1 时， t k 代入方程 (5) , 得：
k ak c 即
c y k ; 1 a
* t
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k (t 1) akt c 即 k c .
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个
线性无关的特解．若
y1 ( t ), y2 ( t ),
, yn ( t )
是方程
yt n a1 yt n1 an1 yt 1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1 (t ) C2 y2 (t )
n a n1 y1 a y0 ,
一般地，
yt a t y0 (t 0,1,2, ).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
称
2 yt ( yt ) yt 1 yt
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称
3 yt ( 2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
其中 C1 , C2 ,, Cn 为任意常数．
C n yn (t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程
yt n a1 yt n1
它对应的齐次方程
an1 yt 1 an yt f (t )
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0
t
t
解 对应齐次差分方程的通解为
1 5 由于 a , b , a b, 2 2
故可设其特解为： yt* kbt .
c 1 , 代入方程，解得： k ba 2
故原差分方程通解为：
1 1 5 yt Y y A . 2 2 2
* t t t
yt 1 ayt c，
1) 采用迭代法求解： 给定初值 y0， 有迭代公式
yt ayt 1 c a ayt 2 c c
2 a a yt 2 c 1 a ayt 3 c c 1 a
2
a 3 yt 3 c 1 a a 2
B C D 2B 0
yt* B Ct Dt 2
在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f (t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数.
当 f ( t ) 0 时，称方程
(3)
yt 1 ayt 0
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程.
若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt 1 ayt 0 (4)
通常有如下两种解法.
则 (1) 迭代法求解： 设 y0 已知，
yn ayn1 a(ayn 2 ) a 2 yn 2
t 1
akb cb
t
t
即 k (b a ) c ,
c y bt . ba
* t
(2) 当 b a 时，令 yt* ktbt 代入方程 (6) , 得：
k (t 1)bt 1 aktbt cbt
即 k ( t 1)b akt c ,
c 解得 k . a
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于
ห้องสมุดไป่ตู้
Y C1 y1 ( t ) C2 y2 (t )
C n yn (t ) y ( t ),
*
* 其中 y ( t ) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常
重要的基础知识．
确定系数 B0 , B1 , Bn .
例7
求差分方程 yt 1 2 yt 3t
2
的通解。
解 对应齐次差分方程的通解为 Y A2t . 由于 a 2 1 , 故可设其特解为 代入方程，得
B C (t 1) D(t 1)2 2B 2Ct 2Dt 2 3t 2 ,
当 f ( t ) 0时，差分方程(1)称为齐次的， 否则称为非齐次的. 当 f ( t ) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1 ( t ), y2 ( t ),
, yk ( t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
yt n a1 yt n1
an1 yt 1 an yt 0
(2)
的k个特解，则线性组合
y( t ) C1 y1 ( t ) C2 y2 ( t ) C k yk ( t )