离散数学推理证明
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
数学推理和证明方法
数学推理和证明方法数学是一门基础学科，同时也是应用广泛的领域。
它通过逻辑思考和证明方法，研究物理世界的模式和规律。
在数学研究过程中，推理和证明是必不可少的技能。
因此，对数学推理和证明方法的掌握是数学学生的必修技能。
本文将会探究数学推理和证明方法的相关内容。
一、数学推理方法数学推理是指从已知条件出发，依照数学规则和逻辑关系，得出未知结论的过程。
在数学中，常用的推理方法有归纳法、递推法和反证法等。
归纳法是一种从特例到一般的推理方法。
当验证某一结论很困难的时候，可以通过先验证几个特殊情况，然后归纳出通用规律来验证结论。
归纳法强调从部分到整体的推理思想，适用于验证一般性或单调性比较强的结论。
递推法是一种从初始点开始，逐步按照规律推出后续结论的方法。
它主要应用于离散数学中，用于描述递归和递推的算法问题。
递推方法强调从前往后逐步推进的思想，适用于递推性质比较显然的问题。
反证法也称间接证明法，是一种用反其道而行之的推理方法。
在证明一个命题时，先假设它不成立，通过一系列推理、分析证明结果和前提相矛盾，从而推得反命题成立。
反证法注重用对立面推出结论，适用于不能用直接证明方法证明的问题。
以上推理方法在实际应用中常常组合使用，以获得更高的证明效果。
二、数学证明方法在数学中，证明是指通过有力的逻辑根据，充分证明一定的结论是不容置疑的。
在证明过程中，适用的方法不同，根据需要来选择最适合的方法。
数学证明方法常见的有直接证明法、间接证明法和归纳证明法等。
直接证明法是一种基本的证明方法，其思路是由已知条件和数学定理，用简洁、清晰的步骤，推出定理的结论。
这种证明方法重要的是寻找适当的前提，合理推导然后得出正确的结论。
直接证明法是证明一个结论最常见的方式，在实际问题中使用也比较频繁。
间接证明法也称作反证法，采用否推的方法，假设所要证明的结论不成立，从而推出一些矛盾的结果。
通过此种方式间接地证明原来所要证明的结论成立。
这种证明方法常用于研究某些极端情况、常见误解等。
离散数学命题符号
离散数学命题符号一、离散数学命题符号的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，可以判断为真或为假。
为了准确地表示命题，在离散数学中引入了命题符号。
命题符号主要用于表示命题的逻辑关系，以及对命题的运算。
1. 命题变量和命题符号离散数学中，命题变量被表示为字母，常用的命题变量包括p、q、r等。
命题符号则用来表示对命题变量的操作和运算关系。
常用的命题符号包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、非（¬）等。
2. 逻辑连接词离散数学中，逻辑连接词用于将多个命题连接起来，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有：- 逻辑与（∧）：表示两个命题都为真时，复合命题为真；否则为假。
- 逻辑或（∨）：表示两个命题至少一个为真时，复合命题为真；否则为假。
- 非（¬）：表示对命题的否定。
3. 命题符号的优先级为了保证命题的运算顺序和结果的准确性，在离散数学中，命题符号有一定的优先级。
常见的命题符号优先级从高到低依次为：- ¬（非）- ∧（逻辑与）- ∨（逻辑或）二、离散数学命题符号的应用1. 命题的合取和析取在离散数学中，逻辑与（∧）和逻辑或（∨）的运算被广泛应用于命题的合取和析取。
- 合取：当多个命题同时为真时，可以使用合取运算符（∧）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，合取命题p∧q表示“今天同时下雨并且天气阴沉”。
- 析取：当多个命题至少一个为真时，可以使用析取运算符（∨）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，析取命题p∨q表示“今天下雨或者天气阴沉”。
2. 命题的否定在离散数学中，非（¬）运算符常用于对命题的否定。
如果p为真，则¬p为假；如果p为假，则¬p为真。
例如，若p表示“今天下雨”，则¬p表示“今天不下雨”。
3. 命题的复合运算通过组合使用逻辑连接词和命题符号，可以对多个命题进行复合运算。
离散数学
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基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德· 摩根律 (AB)AB (AB)AB
11. 余补律
12. 双重否定律 13. 补交转换律
=E,
A=A
E=
A-B= AB
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基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
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空集与全集
空集: 不含任何元素的集合 例如, {x | x2<0xR}= 定理1.1 空集是任何集合的子集 证 用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得 ⊈ A, 即存在x, x且xA, 矛盾. 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且21，因此1=2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集. 相对性
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谓词与量词
个体域:被研究对象的全体, 如自然数集, 人类等. 个体词:个体域中的一个元素. 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等. 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等. 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
例如, 谓词P(x)表示x具有性质P x P(x) 表示个体域中所有的x具有性质P x P(x) 表示个体域中存在x具有性质P
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p ¬ q的真值为 0
¬ p ¬ q的真值为 1
离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章 一阶逻辑等值演算与推理
注意：对，对无分配律
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量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
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实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
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实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
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前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
离散数学-数理逻辑
表示所有个体都满足某个条件的量词，例如“所有的苹果都是水果”。
04
范式理论
范式的定义与分类
范式（Paradigm）是指某一学科领 域中，被广泛接受和认可的观念、理 论、方法或标准。在数理逻辑中，范 式主要指逻辑公式的一种标准形式， 用于简化逻辑推理过程和提高推理的 可靠性。
VS
范式主要分为两类：自然范式和人工 范式。自然范式是指直接从语言和直 观中得出的逻辑形式，如命题逻辑中 的重写规则；人工范式则需要通过特 定的人工构造来获得，如集合论中的 形式化表述。
离散数学-数理逻辑
目录
• 引言 • 命题逻辑 • 谓词逻辑 • 范式理论 • 集合论基础 • 数理逻辑的实际应用
01
引言
数理逻辑的定义
01
数理逻辑是研究推理的数学分支 ，主要关注命题和推理的形式化 、符号化及其演绎关系。
02
它使用数学方法对推理过程进行 精确描述和证明，为计算机科学 、人工智能等领域提供理论基础 。
数理逻辑在其他领域的应用
法律
法律逻辑学运用数理逻辑的方法来分析法律推理 和法律论证。
经济学
数理逻辑用于经济学的决策理论、博弈论和信息 经济学等领域。
心理学
认知心理学中的思维过程和认知模型研究运用了 数理逻辑的概念和方法。
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范式在逻辑推理中的应用
范式在逻辑推理中具有重要的应用价值。通过使用范式，逻辑推理过程可以更加规范、准确和高效。例如，在人工智能领域 中，范式被广泛应用于知识表示、推理和问题求解等方面。通过将知识表示为范式形式，可以方便地进行逻辑推理和知识推 理，从而提高智能系统的性能和可靠性。
此外，范式还为逻辑推理提供了一种通用的语言和工具，促进了不同学科领域之间的交流和合作。通过学习和掌握范式理论 ，人们可以更好地理解和应用数理逻辑的基本原理和方法，从而更好地解决实际问题和开展科学研究。
一阶逻辑推理--离散数学
(5) (P(a)) (6) P(a)
(3); (4); 假言三段论 (5); 双重否定律
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例6
符号化下述命题,并推证其结论。
“所有有理数是实数，某些有理数是整 数，因此某些实数是整数。” 解 先将命题符号化 令Q(x):x是有理数；R(x):x是实数;I(x);x是整数. x(Q( x) R( x)), x(Q( x) I ( x)) x( R( x) I ( x)) 证明 (1) x(Q( x) I ( x)) 前提 (2) x(Q( x) R( x)) 前提 (3 ) Q(c) I (c) (1); ES (4) Q(c) R(c) (2);US (5) Q(c) (3); 化简 (6) R(c) (4), (5); 假言推理 (7) I (c) (3); 化简 (8) R(c) I (c) (6), (7); 合取引入 (9) x( R( x) I ( x)) (8); EG 16
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（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
x( P( x) Q( x)) P(c) P (c ) Q (c ) Q (c) xQ(x)
xP( x) xQ( x)
xP( x) xQ( x)
例5 用构造推理过程的方法证明
(1) x( P( x) Q( a)) xP( x) Q( a)
因为 xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) 所以 原题可转化为证明
x( P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
证法二 （1）xP(x)
（2）
xP(x)
附加前提 （1）；量词否定等值式 前提 （2）；ES （3）；US （4）（5）；析取三段论 （6）；EG （1）（7）；CP （8）；蕴含等值式，德摩根
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离散数学推理证明
1、在自然推理系统F中，构造下面推理的证明
不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数。
因此，有理数都不是无理数。
个体域为实数集合。
令F ( x ) : x F(x):xF(x):x是无理数G ( x ) : x G(x):xG(x):x是有理数H ( x ) : x H(x):xH(x):x能表示成分数
命题符号化：
不存在能表示成分数的无理数：¬ ∃x ( H ( x ) ∧F ( x ) ) \lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))¬∃x(H(x)∧F(x))
有理数都能表示成分数：∀x ( G ( x ) →H ( x ) ) \forall x(G(x)\rightarrow H(x))∀x(G(x)→H(x))
有理数都不是无理数：∀x ( G ( x ) →¬ F ( x ) ) \forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))∀x(G(x)→¬F(x))
证明：
（1）¬ ∃x ( H ( x ) ∧F ( x ) ) \lnot \exist x (H(x) \wedge F(x))¬∃x(H(x)∧F(x))
（2）∀x ( ¬ H ( x ) ∨¬ F ( x ) ) \forall x (\lnot H(x) \vee \lnot F(x))∀x(¬H(x)∨¬F(x)) 量词转换、摩根律
（3）¬ H ( a ) ∨¬ F ( a ) \lnot H(a) \vee \lnot F(a)¬H(a)∨¬F(a) 去掉全称量词
（4）H ( a ) →¬ F ( a ) H(a) \rightarrow \lnot F(a)H(a)→¬F(a)
（5）∀x ( G ( x ) →H ( x ) ) \forall x(G(x)\rightarrow H(x))∀x(G(x)→H(x))
（6）G ( a ) →H ( a ) ) G(a)\rightarrow H(a))G(a)→H(a)) 去掉全称量词
（7）G ( a ) →¬ F ( a ) G(a) \rightarrow \lnot F(a)G(a)→¬F(a) (4)与(6)
（8）∀x ( G ( x ) →¬ F ( x ) ) \forall x(G(x) \rightarrow \lnot F(x))∀x(G(x)→¬F(x)) 添加全称量词
2、在自然推理系统中，构造下面推理的证明
任何自然数都是整数；存在着自然数。
所以存在着整数。
令：F ( x ) : x F(x):xF(x):x是自然数G ( x ) : x G(x):xG(x):x是整数
前提：∀x ( F ( x ) →G ( x ) ) \forall x(F(x)\rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x))，∃x ( F ( x ) ) \exists x (F(x))∃x(F(x))
结论：∃x G ( x ) \exist x G(x)∃xG(x)
证明：
(1) ∃x ( F ( x ) ) \exists x (F(x))∃x(F(x)) 前提引入
(2) F ( a ) F(a)F(a) 去存在量词
(3) ∀x ( F ( x ) →G ( x ) ) \forall x(F(x)\rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x)) 前提引入
(4) F ( a ) →G ( a ) F(a)\rightarrow G(a)F(a)→G(a) 去全称量词
(5) G ( a ) G(a)G(a) (2)(4)假言推理
(6) ∃x G ( x ) \exist x G(x)∃xG(x) 添加全称量词。