第二章命题推理(离散数学)详解
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离散数学 课件 命题逻辑
联结词与复合命题(续)
定义2.5 设p, q为命题, 复合命题 “p当且仅当q”称作p与q 的
等价式, 记作pq, 称作等价联结词. 并规定pq为真当 且仅当 p与q同时为真或同时为假.
pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件
例如 这件事张三能做好, 且只有张三能做好
设p:张三做这件事, q:这件事做好了
26
(v∧w)∨(v∧w) 又可形式化为 v∨w
12
联结词与复合命题(续)
定义2.4 设 p,q为二命题, 复合命题 “如果p,则q” 称作p与q 的蕴涵式, 记作pq, 并称p是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的 后件. 称作蕴涵联结词, 并规定, pq为假当且仅当 p为 真且q为假.
例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游 设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 形式化为 pq
说明: (1) 赋值记作=12…n, i=0或1, 诸i之间不加标
点符号 (2) 通常赋值与命题变项之间按下标或字母顺序对应, 即
当A的全部命题变项为p1, p2, … , pn时, 给A赋值12…n 是指p1=1,p2=2,…,pn=n; 当A的全部命题变项为p,q,r,… 时, 给A赋值123…是指p=1, q=2, r=3, …
是指p1= 1,p2= 2,…,pn= n; 当A的全部命题变项为p,q,r,…
例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数,
0 0 1 1 1
联结词(¬, , , , )
1
1
(2) ( p q) q
0 1 1 例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服，
(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)
p的否定式, 记作p, 符号称作否定联结词, 并规定p 为真当且仅当 p为假 例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真
离散数学第二章 命题演算的推理理论-假设推理系统
则称A是由 A1，A2，…，An实施规则R而得。 设Γ=A1，A2，…，An，则上述规则R可以记为 Γ├ A
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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第二章命题推理(离散数学)
(3) PP
公理1
(4) (PQ)(PQ)
(5) P((PQ)Q)
代入
分离(2)(4)
26/66
例1
已知公理：
A: (Q R)((PQ)(PR))
B: (PP)P
C: Q(PQ)
及分离规则和代入规则 试证明 PP 为定理
27/66
例1的证明
(1) (Q R)((PQ)(PR)) 公理A
33/66
假言三段论（传递三段论）
PQ QR 前提 前提
PR
结论
推理的有效性由公理3所保证。
34/66
化简
P∧Q 前提
P
结论
推理的有效性由公理8所保证。
35/66
合取
P Q 前提 前提
P ∧Q
结论
推理的有效性由公理10所保证。
36/66
拒取
PQ Q 大前提 小前提
P
结 论
推理的有效性由定理3所保证。
9/70 9/66
关于推理理论的学习
公理化 演绎推理 归结推理
离散 数学
北京大学 耿素云
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 8条推理定律
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 9条推理定律,24个等值式 9条推理规则
离散 数学 及其 应用 离散 数学 离散 数学
北京大学 屈婉玲
解放军通信 工程学院 方世昌 朱怀宏， 南京大学出 版社
从前提出发，通过推导即“演绎”，得出 结论的过程。前提和结论之间有可推导性 关系：前提的真蕴涵结论的真。
•归纳推理（科学家使用） 从真的前提出发，得到的结论只能够要求 它与前提是协调的，但不一定是真的。
• 溯因推理（侦探使用） 生成假设来解释观察或结论。
离散数学命题逻辑推理理论
扩展命题逻辑
通过引入新的逻辑元素、运算符和规则，扩展 命题逻辑的表达能力和应用范围。
模糊命题逻辑
研究模糊命题的逻辑结构和推理规则，以处理 不确定性和模糊性。
模态命题逻辑
引入模态算子，研究模态命题的逻辑结构和推理，以处理必然性和可能性。
未来命题逻辑的研究热点
自然语言处理中的逻辑推理
结合自然语言处理技术，研究自然语言中复杂逻辑 关系的表达和推理。
人工智能中的逻辑推理
探索在人工智能领域中应用命题逻辑的方法和技术 ，提高人工智能系统的推理能力。
多模态逻辑推理
研究多模态信息（如文本、图像、音频等）的逻辑 结构和推理规则，以实现多模态信息的融合和理解 。
THANK YOU
感谢聆听
离散数学命题逻辑推理理论
目
CONTENCT
录
• 命题逻辑基础 • 推理规则 • 逻辑推理题目解析 • 命题逻辑的应用 • 命题逻辑的局限性与发展
01
命题逻辑基础
命题与逻辑联结词
命题
命题是具有真假意义的陈述句，可以 判断为真或假。
逻辑联结词
逻辑联结词用于连接命题，形成复合 命题，常见的逻辑联结词包括与(&&) 、或(||)、非(~)等。
命题形式与真值表
命题形式
命题可以表示为不同的形式，如P、Q、R等，表示简单命题，也 可以表示为P(&&)Q、P(||)Q等，表示复合命题。
真值表
真值表是用来表示命题逻辑运算结果的表格，根据不同的逻辑联 结词和命题的真假值，可以计算出复合命题的真假值。
命题的等价与蕴含
命题等价
如果两个命题在逻辑上具有相同的真 假值，则它们是等价的。
80%
归结推理
通过引入新的逻辑元素、运算符和规则，扩展 命题逻辑的表达能力和应用范围。
模糊命题逻辑
研究模糊命题的逻辑结构和推理规则，以处理 不确定性和模糊性。
模态命题逻辑
引入模态算子，研究模态命题的逻辑结构和推理，以处理必然性和可能性。
未来命题逻辑的研究热点
自然语言处理中的逻辑推理
结合自然语言处理技术，研究自然语言中复杂逻辑 关系的表达和推理。
人工智能中的逻辑推理
探索在人工智能领域中应用命题逻辑的方法和技术 ，提高人工智能系统的推理能力。
多模态逻辑推理
研究多模态信息（如文本、图像、音频等）的逻辑 结构和推理规则，以实现多模态信息的融合和理解 。
THANK YOU
感谢聆听
离散数学命题逻辑推理理论
目
CONTENCT
录
• 命题逻辑基础 • 推理规则 • 逻辑推理题目解析 • 命题逻辑的应用 • 命题逻辑的局限性与发展
01
命题逻辑基础
命题与逻辑联结词
命题
命题是具有真假意义的陈述句，可以 判断为真或假。
逻辑联结词
逻辑联结词用于连接命题，形成复合 命题，常见的逻辑联结词包括与(&&) 、或(||)、非(~)等。
命题形式与真值表
命题形式
命题可以表示为不同的形式，如P、Q、R等，表示简单命题，也 可以表示为P(&&)Q、P(||)Q等，表示复合命题。
真值表
真值表是用来表示命题逻辑运算结果的表格，根据不同的逻辑联 结词和命题的真假值，可以计算出复合命题的真假值。
命题的等价与蕴含
命题等价
如果两个命题在逻辑上具有相同的真 假值，则它们是等价的。
80%
归结推理
《离散数学》命题逻辑
由原子命题组合而成的命题称为复合 命题（compound proposition）。
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） （2） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬ R； （2）（¬ ∧¬ P Q）→R； （3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取 是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复 合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。
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重言式——推理规则
6/66
三段论
已知的一般原理
P Q P
大前提 小前提
所研究的特殊情况
Q
结 论
对特殊情况作 出判断
三段论推理的有效性由永真公式： ((PQ)P)Q 所保证。
7/66
前提和结论间具有可推导性的形式关系
大前提：如果 1+1=3，则雪是黑的。
小前提：1+1=3。
结 论 ：雪是黑的。
3条公理模式 分离规则 15条公理 代入规则, 分 离规则
离散数学
11/70 11/66
2.1 命题演算的公理系统
给出若干条永真公式(称为公理)，
再给出若干条由永真公式推出永真公式 的推理规则， 由它们出发推出一切永真公式。
要求：了解公理系统的构成规则和推理形式。
12/66
公理系统的组成部分
A1，A2, A3, …，An=B，
把待证明的公式结论变成永真蕴涵式的后件 ，再证明前件永真，最后利用分离规则得到 结论。
20/66
定理1(p20) ├
从前提出发，通过推导即“演绎”，得出 结论的过程。前提和结论之间有可推导性 关系：前提的真蕴涵结论的真。
•归纳推理（科学家使用） 从真的前提出发，得到的结论只能够要求 它与前提是协调的，但不一定是真的。
• 溯因推理（侦探使用） 生成假设来解释观察或结论。
2/66
第二章 命题演算的推理理论
例 判断下面两个推理是否正确: (1) 如果今天是星期二, 今天有数学课。 今天是星期二， 所以今天有数学课。
一、语法部分 ㈠ 基本符号
公理系统所允许出现的全体符号的集合
㈡ 公理
㈢ 规则
二、语义部分
13/66
㈠基本符号
命题变元 联结词 括号 合式公式 推出符 ┣ P，Q，R，…… , , , , (， )
14/66
㈡ 公理
公理1 PP 公理2 (P(QR))(Q(PR)) 调头
该推理过程正确, 但不意味着前提 与结论正确
8/66
莫绍揆教授（1917.8-2011.4）
数理逻辑教育和研究的开拓 者之一。编著有： 《数理逻辑导论》 《递归数论》 《递归论》 《算法论》 • 1939年毕业于中央大学教学系 • 1948年，瑞士苏黎世高级工业大学留学，师从 希尔伯特的继承人贝尔奈斯 • 1950年4月回国，任职南京大学，创建数理逻 辑专业
((PQ)P)Q
4/66
从真值表看推理是否正确：
P T T F F Q T F T F ((PQ)P)Q T T T T ((PQ)P)Q T T F T
永真公式 三段论
非永真
5/66
有效推理
若有重言式
(A1 A2 … An) B
则称由前提A1，…， An 推出结论B的 推理有效， 并称B是 A1，A2， …， An 的逻辑结论，记为： A1，A2， …， An ┣ B 或 A1，A2， …， An B
公理3 (PQ)((QR)(PR))
公理4 (P(PQ))(PQ)
传递
凝缩 与有关
公理5 (PQ)(PQ)
公理6 (PQ)(QP)
公理7 (PQ)((QP)(PQ))
1P
公理9 (PQ)Q
与∧有关
公理10 P(Q(PQ))
(2) 如果今天是星期二, 今天有数学课。
今天不是星期二， 所以今天没有数学课。
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推理是否正确？
记： P表示今天是星期二， Q表示今天有数学课。 (1) 如果今天是星期二, 今天有数学课。
今天是星期二，所以今天有数学课。
((PQ)P)Q
(2) 如果今天是星期二, 今天有数学课。 今天不是星期二，所以今天没有数学课。
前提引入规则（P规则） 结论引入规则（T规则） 置换规则, 11个重言式,22个等价公式
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关于推理理论的学习
公理化 离散数学导论 离散数学 基础教程 离散数学及其 在计算机中的 应用 离散数学导论 南京大学 徐洁磐 南京大学 徐洁磐 南京大学 徐洁磐 解放军理 工大学 王元元 南京理工 大学 朱保平 ✔ ✔ 演绎推理 应用公理系统 ✔ 等式推理 蕴涵推理 推理定理 ✔ 自然推理系统 ✔ ✔ 消解原理 ✔ ✔ 归结推理 自动定理证明 ✔
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关于推理理论的学习
公理化 演绎推理 归结推理
离散 数学
北京大学 耿素云
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 8条推理定律
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 9条推理定律,24个等值式 9条推理规则
离散 数学 及其 应用 离散 数学 离散 数学
北京大学 屈婉玲
解放军通信 工程学院 方世昌 朱怀宏， 南京大学出 版社
上堂课的内容、重点与难点
联结词的完备集合 合取式、析取式 合取范式、析取范式 极小项、极大项 主合取范式、主析取范式 • 合(析)取式与成真(假)解释 • 求解范式、主范式 等价公式的熟练运用 等价变换法、解释法、真值表法的灵活运用
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逻辑推理
•演绎推理（数学家使用）
MP规则
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二、语义部分
(1) 公理是永真公式。
(2) 规则规定如何从永真公式推出永真公式。
分离规则指明: 如果AB永真且A永真，则B也为 永真公式。 (3) 代入规则指明如果为永真公式，则某一个公式 正确代入公式后所得的公式也为永真公式。 (4) 定理为永真公式。
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公理系统的推理过程 ├B
定义 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们满足下列性质： (1) 诸Ai或为公理/定理之一(可以使用代入规则)； (2) 或由前面的Ag、Ah利用分离规则而得；
(3) An=B。
称序列A1，A2, …，An为B的永真证明过程。
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公理推理证明的方法
├B
构造合式公式序列
公理11 P(PQ)
公理12 Q(PQ)
公理13 (PR)((QR)((PQ)R))
与∨有关
公理14 (PQ)(QP)
公理15 PP
与有关
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㈢ 规则
(1)代入规则：将公式中出现的某一符号 B 每处均代以某一公式C， 所到的公式D 称为C 对 的 代入。 (2)分离规则：如果AB，且A，则B。