离散数学---推理理论
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
例如
推理证明的方法
西 华 大 学 制 作
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
推理证明
归纳证明
间接证明法 归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
附加前提证法 (CP)
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A→B
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B
理由 E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp .. ..
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
西 华 大 学 制 作
构造下列的推理的证明： 前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M 结论：Q。 证： ① M P
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
S→M S S→R R P→ R P P∨Q Q
归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A A
( 前提： A1，A2，…，An ，A A) 结论： 0 （F）
例： 前提：R→Q，R∨S ，S→Q，P→Q 结论： P
西 华 大 学 制 作 证明： ① ( P) ② P ③ P→Q ④ Q ⑤ R→Q ⑥ R ⑦ R∨S ⑧ S ⑨ S→Q ⑩ Q ⑾ F 否定结论引入（CP规则） ①E P ②③I P ④⑤I P ⑥⑦I P ⑧⑨I ④ ⑩的合取
化简式 附加式 假言推理 拒取式 析取三段式 假言三段式 等价三段式 二难推论
(A→B) ∧ B A的证明 西 华 大 学 制 作
A 0
B 0
(A → B)
∧
B → A
1
1
1 1
1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
0 0
0 1
1 1 0 1
1
0 0
(A→B) B的证明
法一、真值表法： 西 华 大 学 制 作
?第三种方法?
法二、利用等值演算法证明： 证： (A →B)→ B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
(A →B)→ B
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0
( A∨B) → B ( A∨B) ∨ B ( A∨B) ∨ B A∨(B∨ B) A∨T T 所以,(A→B) B
学 制 作 则前提为:
解：将已知事实符号化： 设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
① M (1) P∨Q, ② S→M (2)P→ R, ③ S (3)S→M, ④ S→R (4)S→R, ⑤ R (5) M。 ⑥ P→ R 结论未定。 ⑦ P ⑧ P∨Q P ⑨ Q 所以，可以得出是李四盗了录像机。
P P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式
⑦ ⑧ I析取三段式
前提：p ((r∧s)q)，p，s 结论：q。 西 证明： 华 大 学 ⑪ p p规则 制 ⑫ 作 p ((r∧s)q) p规则 ⑬ (r∧s)q ⑪⑫I ⑭ s p规则 ⑮ s ∨ r ⑭I ⑯ (r∧s) ⑮E ⑰ q ⑬⑯I
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式 P ⑦ ⑧ I析取三段式
一公安人员审查一件案件。一致的事实如下： (1).张三或李四盗窃了录像机； (2).如果张三盗窃了录像机，则作案时间不能在午 夜前； 西 (3).如果李四证词正确，则午夜时屋内灯光未灭； 华 (4).如果李四证词不正确，则作案时间在午夜前； 大 (5).午夜时屋内灯灭了。
例： 前提：P,P →(Q → R ∧ S) 结论：Q → S
西 华 大 学 制 作
证明： (1) P cp规则 (2) P →(Q → R ∧ S) cp规则 (3) Q → R ∧ S (1)(2)I (4) Q cp规则 (5) R ∧ S (3)(4)I (6) S (5)I 课堂作业： 前提：P∧Q→R，S ∨P，Q 结论： S→R
基本蕴涵式证明的另一种方法
西 华 大 学 制 作
(A→B) B的证明 (A→B) B的证明 证明： (A→B) ( A∨B) A∧ B A∧ B B (简化式）
推理过程的证明形式
西 华 大 学 制 作
规范化的形式： 序号 公式 ① B1 ② B2 ③ B3 ……
自然推理系统P
西 华 大 的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
Q 0 1 0 1
(P∨ P →Q) ∧Q →P ∧ P
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
所以，结论A是有效结论；该推理是正确的。而前提是不一 致的。
基本蕴涵式
名称
西 华 大 学 制 作
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A AA∨B AA→B (A→B) ∧AB (A→B) ∧ B A (A∨B) ∧ AB (A→B) ∧(B→C) A→C (AB) ∧(BC) AC (A→B) ∧(C→D) ∧(A∨C) B∨D A∧BB (A→B) B BA∨B BA→B
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
例如
推理证明的方法
西 华 大 学 制 作
前提的合取→结论 是永真式
演绎证明 直接证明法 附加前提证法 (CP)
推理证明
归纳证明
间接证明法 归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
附加前提证法 (CP)
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A→B
前提： A1，A2，…，An ，A 结论： B
理由 E 或 I 或 P 或 …的合取 或 cp .. ..
注意：1)并非B1B2B3 2)Bi的获取：前提、中间结论
西 华 大 学 制 作
构造下列的推理的证明： 前提：P∨Q,P→ R,S→M,S→R, M 结论：Q。 证： ① M P
② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
S→M S S→R R P→ R P P∨Q Q
归谬法(反证法)
西 华 大 学 制 作
针对这种情况： 前提： A1，A2，…，An 结论： A A
( 前提： A1，A2，…，An ，A A) 结论： 0 （F）
例： 前提：R→Q，R∨S ，S→Q，P→Q 结论： P
西 华 大 学 制 作 证明： ① ( P) ② P ③ P→Q ④ Q ⑤ R→Q ⑥ R ⑦ R∨S ⑧ S ⑨ S→Q ⑩ Q ⑾ F 否定结论引入（CP规则） ①E P ②③I P ④⑤I P ⑥⑦I P ⑧⑨I ④ ⑩的合取
化简式 附加式 假言推理 拒取式 析取三段式 假言三段式 等价三段式 二难推论
(A→B) ∧ B A的证明 西 华 大 学 制 作
A 0
B 0
(A → B)
∧
B → A
1
1
1 1
1
0
1 1
1
0 1
1
0 1
0
0 0
0 1
1 1 0 1
1
0 0
(A→B) B的证明
法一、真值表法： 西 华 大 学 制 作
?第三种方法?
法二、利用等值演算法证明： 证： (A →B)→ B
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
(A →B)→ B
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0
( A∨B) → B ( A∨B) ∨ B ( A∨B) ∨ B A∨(B∨ B) A∨T T 所以,(A→B) B
学 制 作 则前提为:
解：将已知事实符号化： 设 P:张三盗窃录像机； Q:李四盗窃录像机; R:作案时间发生在午夜前； S:李四证词正确； M:午夜时灯光未灭。
① M (1) P∨Q, ② S→M (2)P→ R, ③ S (3)S→M, ④ S→R (4)S→R, ⑤ R (5) M。 ⑥ P→ R 结论未定。 ⑦ P ⑧ P∨Q P ⑨ Q 所以，可以得出是李四盗了录像机。
P P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式
⑦ ⑧ I析取三段式
前提：p ((r∧s)q)，p，s 结论：q。 西 证明： 华 大 学 ⑪ p p规则 制 ⑫ 作 p ((r∧s)q) p规则 ⑬ (r∧s)q ⑪⑫I ⑭ s p规则 ⑮ s ∨ r ⑭I ⑯ (r∧s) ⑮E ⑰ q ⑬⑯I
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
P ①② I拒取式 P ③ ④ I假言推理 P ⑤ ⑥I拒取式 P ⑦ ⑧ I析取三段式
一公安人员审查一件案件。一致的事实如下： (1).张三或李四盗窃了录像机； (2).如果张三盗窃了录像机，则作案时间不能在午 夜前； 西 (3).如果李四证词正确，则午夜时屋内灯光未灭； 华 (4).如果李四证词不正确，则作案时间在午夜前； 大 (5).午夜时屋内灯灭了。
例： 前提：P,P →(Q → R ∧ S) 结论：Q → S
西 华 大 学 制 作
证明： (1) P cp规则 (2) P →(Q → R ∧ S) cp规则 (3) Q → R ∧ S (1)(2)I (4) Q cp规则 (5) R ∧ S (3)(4)I (6) S (5)I 课堂作业： 前提：P∧Q→R，S ∨P，Q 结论： S→R
基本蕴涵式证明的另一种方法
西 华 大 学 制 作
(A→B) B的证明 (A→B) B的证明 证明： (A→B) ( A∨B) A∧ B A∧ B B (简化式）
推理过程的证明形式
西 华 大 学 制 作
规范化的形式： 序号 公式 ① B1 ② B2 ③ B3 ……
自然推理系统P
西 华 大 的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
Q 0 1 0 1
(P∨ P →Q) ∧Q →P ∧ P
1 1 1 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
所以，结论A是有效结论；该推理是正确的。而前提是不一 致的。
基本蕴涵式
名称
西 华 大 学 制 作
蕴涵关系式
A∧BA (A→B) A AA∨B AA→B (A→B) ∧AB (A→B) ∧ B A (A∨B) ∧ AB (A→B) ∧(B→C) A→C (AB) ∧(BC) AC (A→B) ∧(C→D) ∧(A∨C) B∨D A∧BB (A→B) B BA∨B BA→B
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
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离散数学16推理理论：直接证法
推理理论----直接证法一、推理理论1.定义1-8.1 设A和C两个命题公式，当且仅当A→C为重言式，即A ⇒ C.称C是A的有效结论，或C可由A 逻辑地推出.称已知的A为前提。
得到的C为前提的有效结论.实际上，推理的过程就是证明蕴含式的过程，即令H 1，H 2，…，H m 是已知的命题公式(前提)，若有H 1∧H 2∧....∧H m C ，则称C 是一组前提H 1，H 2，…H m 的有效结论，简称结论.1、真值表法（1）检查真值表中H1，H2,…Hm全部为“T”的所有行，看结论C是否也均为“T”，若C均为“T”，则结论有效.否则结论无效.（2）看结论C为“F”的所有行，检查每行前提H1，H2,…H m中是否至少有一个为F，若有“F”，则结论有效；若有均为“T”的行，则结论无效.二、推理方法例1 求证⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.证明考察真值表P Q ⌝P P∨Q QF F T F FF T T T TT F F T FT T F T T 由真值表可以看出⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.2、直接证法由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或者蕴含公式，推演得到有效的结论.•规则P(引入前提规则)：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用.•规则T(引入结论规则)：在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵公式S，则公式S可以引入推导中.重要的重言蕴涵式(如教材第43页所示)I1.P∧Q⇒P I2. P∧Q⇒QI3. P⇒P∨Q I4. Q⇒P∨QI5. ⌝P⇒P→Q I6. Q⇒P→QI7. ⌝(P→Q)⇒P I8. ⌝(P→Q)⇒⌝QI9. P,Q ⇒P∧Q I10. ⌝P∧(P∨Q)⇒Q I11. P∧(P→Q)⇒Q I12. ⌝Q∧(P→Q)⇒⌝P I13. (P→Q)∧(Q→R)⇒P→RI14. (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒RI15. A→B ⇒(A∨C)→(B∨C)I16. A→B ⇒(A∧C)→(B∧C)重要的等价公式:⌝⌝P⇔P对合律 E1P∧Q⇔Q∧P E3 P∨Q⇔Q∨P 交换律 E2结合律 EP∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R4E5 P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨RP∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)分配律 E6E7 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)德-摩根定律 E⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q8E9⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝QP∨P⇔P E11 P∧P⇔P幂等律 E10P∨F⇔P E13 P∧T⇔P同一律 E12零律 EP∨T⇔T E15 P∧F⇔F14E16 P→Q⇔⌝P∨Q E17 ⌝(P→Q)⇔P∧⌝QE18 P→Q⇔⌝Q→⌝P E19 P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R E20 P ∆ Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)E21 P ∆ Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q )E22 ⌝(P ∆ Q)⇔ P↔⌝Q吸收律 P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P互补律 P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔FP ∆ Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q)例2 求证（P→Q）∧（Q→R）∧P ⇒ R.证明序号前提或结论所用规则（从哪几步得到）所用公式(1) P P(2) P→Q P(3) Q T (1)(2) I11(4) Q→R P(5) R T (3)(4) I11 •（注公式I11为： P ∧（P→Q）⇒ Q ）。
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学 命题逻辑推理
1
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
10
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
11
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
10
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
11
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)
离散数学---推理理论
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
自然推理系统P
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自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
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第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
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第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
1.7推理理论(离散数学)PPT
例2. 构造下列推理的证明
前提：p∨q, p→ r, s→t, s→r, t
结论：qБайду номын сангаас
①s→t
前提引入
② t
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s→r
前提引入
⑤r
③④假言推理
⑥p→ r
前提引入
⑦ p
⑤⑥拒取式
⑧p∨q
前提引入
⑨q
⑦⑧析取三段论
例3. 构造下列推理的论证
前提：p→q, r→ q, r∨s, s→ q
称(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为由前提A1,A2,…,Ak推结论 B 的推理的形式结构.
说明：
同用“A B”表示“AB”是重言式类似,用 “AB”表示“AB”是重言式.因而,若由前提 A1,A2,···,Ak推结论B的推理正确,也记
(A1∧A2∧…∧Ak)B.
于是,判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵 式的方法.比如真值表法,等值演算法,主析取范式 法等.
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D). 构造性二难
推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为
后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都
可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又 一个公式。
①p∨ s
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④p→ (q→r)
前提引入
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
四、归谬法
若A1∧A2∧…∧An 是可满足式，则称A1 ,A2,…,An 是相 容的，
离散数学27谓词演算的推理理论
14
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
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六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
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四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
离散数学 第3章 命题逻辑的推理理论
例 构造下面推理的证明 2 是素数或合数. 若 2 是素数，则 2 是无理数. 若 2 是无理数，则 4 不是素数. 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数. 用附加前提证明法构造证明 （1）设 p：2 是素数，q：2 是合数， r： 2 是无理数，s：4 是素数 （2）形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
结论（不正确）是对的 方法四 直接观察出 10 是成假赋值
解（2）答案：推理正确 方法一 方法二 方法三 方法四 真值表法（自己做） 等值演算法（自己做） 主析取范式法（自己做） P 系统中构造证明 ① pr ② rp ③ qr ④ qp （前提引入） （①置换） （前提引入） （③②假言三段论）
（8） 假言三段论规则： AB BC AC （9） 析取三段论规则： AB B A （10） 构造性二难推理规则： AB CD AC BD
(11) 破坏性二难推理规则： AB CD BD AC （12）合取引入规则： A B AB
三、P 中的证明 例 在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明： (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s 结论：r∧(p∨q) (2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s 解 (1)证明： ① p→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ p∨q 前提引入 ⑤ q ③④析取三段论 ⑥ q→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理 ⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取 此证明的序列长为 8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q) 是有效结论。
例
判断下面推理是否正确：
(1)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 4 整除。所以 a 能被 2 整除。 (2)若 a 能被 4 整除，则 a 能被 2 整除；a 能被 2 整除。所以 a 能被 4 整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳 了。 (4)若下午气温超过 30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不 去看电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了 30℃。
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
3
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
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练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取