离散数学 命题逻辑的推理理论
离散数学16推理理论：直接证法
推理理论----直接证法一、推理理论1.定义1-8.1 设A和C两个命题公式，当且仅当A→C为重言式，即A ⇒ C.称C是A的有效结论，或C可由A 逻辑地推出.称已知的A为前提。
得到的C为前提的有效结论.实际上，推理的过程就是证明蕴含式的过程，即令H 1，H 2，…，H m 是已知的命题公式(前提)，若有H 1∧H 2∧....∧H m C ，则称C 是一组前提H 1，H 2，…H m 的有效结论，简称结论.1、真值表法（1）检查真值表中H1，H2,…Hm全部为“T”的所有行，看结论C是否也均为“T”，若C均为“T”，则结论有效.否则结论无效.（2）看结论C为“F”的所有行，检查每行前提H1，H2,…H m中是否至少有一个为F，若有“F”，则结论有效；若有均为“T”的行，则结论无效.二、推理方法例1 求证⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.证明考察真值表P Q ⌝P P∨Q QF F T F FF T T T TT F F T FT T F T T 由真值表可以看出⌝P ∧ (P∨Q) ⇒Q.2、直接证法由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或者蕴含公式，推演得到有效的结论.•规则P(引入前提规则)：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用.•规则T(引入结论规则)：在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵公式S，则公式S可以引入推导中.重要的重言蕴涵式(如教材第43页所示)I1.P∧Q⇒P I2. P∧Q⇒QI3. P⇒P∨Q I4. Q⇒P∨QI5. ⌝P⇒P→Q I6. Q⇒P→QI7. ⌝(P→Q)⇒P I8. ⌝(P→Q)⇒⌝QI9. P,Q ⇒P∧Q I10. ⌝P∧(P∨Q)⇒Q I11. P∧(P→Q)⇒Q I12. ⌝Q∧(P→Q)⇒⌝P I13. (P→Q)∧(Q→R)⇒P→RI14. (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒RI15. A→B ⇒(A∨C)→(B∨C)I16. A→B ⇒(A∧C)→(B∧C)重要的等价公式:⌝⌝P⇔P对合律 E1P∧Q⇔Q∧P E3 P∨Q⇔Q∨P 交换律 E2结合律 EP∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R4E5 P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨RP∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)分配律 E6E7 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)德-摩根定律 E⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q8E9⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝QP∨P⇔P E11 P∧P⇔P幂等律 E10P∨F⇔P E13 P∧T⇔P同一律 E12零律 EP∨T⇔T E15 P∧F⇔F14E16 P→Q⇔⌝P∨Q E17 ⌝(P→Q)⇔P∧⌝QE18 P→Q⇔⌝Q→⌝P E19 P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R E20 P ∆ Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)E21 P ∆ Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q )E22 ⌝(P ∆ Q)⇔ P↔⌝Q吸收律 P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P互补律 P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔FP ∆ Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q)例2 求证（P→Q）∧（Q→R）∧P ⇒ R.证明序号前提或结论所用规则（从哪几步得到）所用公式(1) P P(2) P→Q P(3) Q T (1)(2) I11(4) Q→R P(5) R T (3)(4) I11 •（注公式I11为： P ∧（P→Q）⇒ Q ）。
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
精选课件ppt
由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
精选课件ppt
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命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学 命题逻辑推理
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
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推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
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形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
14
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② pr
前提引入
③ rs
Hale Waihona Puke 前提引入④ ps②③假言三段论
⑤ p
①④拒取式
⑥ pq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
1.6 命题逻辑的推理理论
▪ 推理的形式结构 ▪ 判断推理是否正确的方法 ▪ 推理定律与推理规则 ▪ 构造证明法
1
推理的形式结构—问题的引入
推理: 从前提出发推出结论的思维过程
前提是指已知的命题公式，结论是推出的命题公式
例 如果天气凉快，小王就不去游泳.天气凉快.所以小王
没有去游泳. p:天气凉快，q:小王去游泳 前提： (pq)p 结论： q
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
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附加前提证明法 (续)
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 2是无理数. 若 2是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明
实例 (续)
(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号.
证明的形式结构为: (pq)qp 证明（用主析取范式法）
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确.
(11) 破坏性二难推理 规则
AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
10
构造证明——直接证明法
例 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课， 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三.
解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课
前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确，则记作：A1A2…AkB.
3
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1A2…AkB” .
当命题变项比较多时，用构造证明法，采用 “前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
6
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD)
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
请用直接证明法证明之
18
问题：如何判断推理的是否正确？
2
推理的形式结构
定义 “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确
当且仅当 A1A2…AkB为重言式. 若对于每组赋值，A1A2… Ak 为假，或 当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由A1,A2,…, Ak 推B的推理正确 , 否则推理不正确（错误）. 推理的形式结构: A1A2…AkB 或
形式结构为 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
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直接证明法 (续)
证明 ① rs ② s ③ r ④ (pq)r ⑤ (pq) ⑥ pq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
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构造证明——附加前提证明法
欲证明
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
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构造证明——归谬法（反证法）
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确. 理由:
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为 重言式
4
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
证明的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法）
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
5
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推理定律 (续)
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
说明： 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
8
推理规则
(1) 前提引入规则
(6) 化简规则
(2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则
AB A \B (5) 附加规则
AB
\A
(7) 拒取式规则 AB B
\A (8) 假言三段论规则
AB
A
BC
\AB
\AC 9
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A
(10)构造性二难推理 规则
AB CD AC \BD
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归谬法 (续)
例 构造下面推理的证明
前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明（用归缪法）
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
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归谬法 (续)
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论