命题逻辑的推理理论

r：到圆明园玩。
s：颐和园游人太多。
t：到动物园玩。
（2）前提：p(qr), sq, p, s
结论：rt
（3）证明： ① p(qr) ②p ③ qr ④ sq ⑤s ⑥ q ⑦r
论 ⑧ rt
前提引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 前提引入 ④⑤假言推理 ③⑥ 析 取 三 段
⑦附加
小节结束
例子(续1)
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断
推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q 正确 (2) {p,q→p}├ q 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
q
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或
正确的。
命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
判断
对概念的肯 定与否定的 判断
推理
从一个或多 个前提推出 结论的思维 过程
中国地质大学本科生课程
离散数学
第3章 命题逻辑的推理理论
本章说明
本章的主要内容
–推理的形式结构
–自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构
3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。
⑥r
④⑤假言推理
⑦ r∨s
⑥附加
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表
示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。
构造证明：
（1）将简单命题符号化：
设 p：a是实数。
q：a是有理数。
r：a是无理数。 s：a能表示成分
方法三 主析取范式法（自己做）
方法四 P系统中构造证明
证明： （直接证明法）
① pr
（前提引入）
② rp
（①置换）
③ qr
（前提引入）
④ qp
（③② 假 言 三
2、在P系统中构造下面推理的证明：
如果今天是周六，我们就到颐和园或
圆明园玩。 如果颐和园游人太多，就不去
颐和园。 今天是周六，并且颐和园游人太 构（1造多）证。设明p：：所今以天我是周们六去。圆明园q或：动到颐物和园园玩玩。。
（7）拒取式规则 AB B
A
（8） 假言三段论规则 AB BC
AC
（9）析取三段论规则 AB B
A
（10）构造性二自难然推理推规理则系统的定义
AB CD AC BD
（11）破坏性二难推理规则 AB CD BD
AC
（12） 合取引入规则 A B
AB
在自然推理系统P中构造证明
P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用 P中的规则，推出结论。
2. 推理过程中推理规则、基本等值式和逻辑 蕴涵式的引用要适当，逻辑思维要清晰。
3. 弄清楚几种推理方法的区别与联系，对于 命题逻辑推理而言，任何一个问题的推理 ，都可以采取三种推理方法中的任何一种 来证明，针对不同的问题选用不同的推理
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s 结论：p→s
证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
要构造出严谨的证明就必须在形Biblioteka Baidu系统中进行。
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
数。
（2）形式结构：
① p∧┐s ②p ③ ┐s ④ p→(q∨r) ⑤ q∨r
理 ⑥ ┐s→┐q ⑦ ┐q
例题
前提引入 ①化简 ①化简 前提引入
②④假言推
前提引入 ③⑥假言推理
例题
例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证 明。
如果小张和小王去看电影，则小李也去看 电影；小赵不去看电影或小张去看电影； 小王去看电影。所以，当小赵去看电影时 ，小李也去看电影。
结论： q
推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→q
((p∨q)∧┐p)→q
┐((p∨q)∧┐p) ∨ q
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
由定理 3.1可知，
推理正确。
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) 律
(2) (A∧B) A 律
① ┐p∨q
前提引入
② p→q
①置换
③ r∨┐q
前提引入
④ q→r
③置换
⑤ p→r
②④假言三段论
⑥ r→s
前提引入
例题
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理 的证明：
前提：p→（q→r）, p∧q 结论： ┐r→s
① p→（q→r）
前提引入
② p∧q
前提引入
③p
②化简
④q
②化简
⑤ q→r
①③假言推理
赋值，不会出现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为 假的情况，
因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它为重言式。
(2)证明充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为重言式，
则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出 现前件为真后件为假的情况，
推理的形式结构
(1) 设={ A1, A2, …, Ak}，记为┣B。
3、某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方
调查确证，凶手必为王某或陈某，但后又查
证，作案之晚王某在工厂值夜班，没有外出
，根据上述案情可得前提：
1.凶手为王某或陈某。
P∨Q
2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出P→R
3.王某案发之晚并未外出。
┐R
结论：陈某是凶手。
Q
则可描述为：P→R，┐R┐P (否定后件式)
(3) (A→B)∧A B 推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A 式
(5) (A∨B)∧┐B A 三段论
附加 化简 假言 拒取 析取
关于推理定律的几点说明
A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵
式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推
构造形式结构A1A2…Ak B 的推理的书写 方法： 前提： A1,A2,…,Ak 结论： B
证明方法：
直接证明法
附加前提法
归谬法（或称反证法）
命题逻辑推理的难点
1. 弄清楚蕴涵式P→Q的逻辑关系及其真值 ，这里Q是P的必要条件。无论蕴涵关系 如何表述，都要仔细地区分出蕴涵式的前 件和后件。
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值 小节结束
习题
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。
（1） 前提：pq, q
结论：p
（2） 前提：qr, pr
结论：qp
（1）不正确。 验证答案，只需证明(pq)qp不是重
言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值，故(pq)qp不是
理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
小节结束
3.2 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演 算法和主析取范式法。
当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨 的证明。
(2) A1A2…AkB
(3)
前提： 结论：
A1, B
A2,
…
,
Ak
说 当推理正确时， 明 形式（1）记为 ╞ B。
形式（2）记为A1A2…AkB。 表示蕴涵式为重言式。
判断有效结论的常用方法
要求
Г=｛G1, G2, …,Gn｝ Г H
也就是 G1∧G2∧…∧Gn→Ｈ 为永真公式
因而 真值表技术、演绎法和 间接证明方法
结论：┐q
（3）证明：用归谬法
例题
①q
结论的否定引入
② ┐r∨s
前提引入
③ ┐s
前提引入
④ ┐r
②③析取三段论
⑤ (p∧q)→r
前提引人
⑥ ┐(p∧q)
④⑤拒取式
⑦ ┐p∨┐q
⑥置换
⑧p
前提引入
⑨ ┐q
⑦⑧析取三段论
⑩ q∧┐q
①⑨合取
由于最后一步为矛盾式，所以推理正确。
小节结束
本章主要内容
推理的形式结构： 推理的前提 推理的结论 推理正确
关于有效推理的说明
由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否正确与 诸前提的排列次序无关。
由＝{推A1B，的A推2，理…记，为Ak}┣B 若推理是正确的，记为 ╞ B 若推理是不正确的，记为 B
关于有效推理的说明
设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何 一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提 和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。
构造证明：
（1）将简单命题符号化： 设 p:小张去看电影。
例题
（2） 形式结构：
前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
（3）证明：用附加前提证明法
①s
附加前提引入
② ┐s∨p
前提引入
③p 段论
①②析取三
④ (p∧q)→r
前提引入
⑤q
前提引入
⑥ p∧q
③⑤合取
例题
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
方法二 主析取范式法 经过演算后可知
(pq)qp m0m1m3 未含m2, 故(pq)qp不是重言
方式法三。直接观察出10是成假赋值。
方法四 真值表法 (pq)qp的真值表为
p
q
(pq)qp
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
结论（不正确）是对的。
（2）推理正确
方法一 真值表法（自己做）
方法二 等值演算法（自己做）
00
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
10
0
0
1
0
11
1
1
1
1
有效推理的等价定理
定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说 明
该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
定理3.1的证明
(1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组
自然推理系统的定义
（4）假言推理规则 AB A
B
（4）若今天下雪,则将去滑 雪。今天下雪，所以去滑 雪。
（5）附加规则 A
AB
（5）现在气温在冰点以下。 因此，要么现在气温在冰 点以下，要么现在下雨。
（6）化简规则 AB A
（6）现在气温在冰点以下并 且正在下雨。因此，现在 气温在冰点以下。
自然推理系统的定义
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A
队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一
名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。
构造证明：
（1）将简单命题符号化：
设 p:小张守第一垒。 q:小李向B队投球。
r:A队取胜。
s:A队获得联赛第一名。
（2）形式结构： 前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p
判断推理是否正确的方法： 真值表法 等值演算法 主析取范式法
对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证 明:
本章学习要求
理解并记住推理的形式结构的三种等价形式， 即 ①{A1,A2,…,Ak}├B ②A1∧A2∧…∧Ak→B ③前提：A1,A2,…,Ak 结论：B
在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造 证明时用③。
认识世界的渐进过程
有效推理的定义
定义3.1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于 A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值， （1）或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假; （2）或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真; 则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确 的，并称B是有效结论。
判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法
说 明
当命题变项较少时,这三种方法比较方便。
思 考
是否有其他的证明方法？
例题
例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）
（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看
解：电设前影去p提:，游马：芳所泳p下∨以了午q，，。去┐看她p电影，q:马芳下午去游泳。