命题逻辑的推理理论,证明方法演示课件
(2) P 1 (P2 P 1) (3) (P 1 P2) (P 1 P 1)
L1 MP规L2则
L1 (1)、(2)，MP L1 (3)、(4)，MP
38
例10 证明 ├L AA
[证] (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA))
(2) A((AA)A) (3) (A(AA))(AA) (4) A(AA) (5) AA
• 课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
33
应用实例2 将下列条件作为前提，验证所得结论是 否有效：
(a) 明天或是天晴，或是下雨； (b) 如果是天晴，我去公园； (c) 如果我去公园，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天下雨。
39
3、演绎定理
例11 证明 A ,B (A C )├L (BC)
[证] (1) B (A C)
假设
(2) (B (A C)) ((B A) (B C)) L2
(3) (B A) (B C)
(1)、(2)，MP
(4) A (B A) (5) A (6) (B A) (7) (B C)
30
例8 构造下面推理的证明
前提: (pq)r, rs, s, p ；结论: q
证明：用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p
①⑦析取三段论
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
32
36
3、公理集：
(L1) (A (BA)) (L2) ((A (B C)) ((A B) (A C)) (L3) (((A) (B)) (BA)
4、推理规则：假言推理规则（MP规则）。
37
例9 证明
├L (P 1 P 2) (P 1 P 1)
L2
L1
[证] (1) (P 1 (P2 P 1)) (P (1 P2) (P 1 P 1()1))、L2(2)，MP
34
三、公理系统
1、公理系统的组成
（1）初始符号：它们是不经定义而直接使用的符号； （2）形成规则：确定定义在初始符号上的哪些符号串 是合式公式； （3）公理集：它们是不经证明而直接认为是恒真的命 题； （4）推理规则：规定如何从公理和前面已推导出的合 式公式经过符号变形而推出其它公式。
35
2、公理系统L
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
21
例3 证明 P Q R ,Q P ,S R P S
[证] ① P Q R 前提
②P
附加前提
③Q R
①、②，假言推理
④Q P
前提
⑤Q
②、④，拒取式
11
2.4.2 自然推理系统P
一、自然推理系统P的定义
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表
(1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式
12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
pqr
26
前提: (pq)r, rs, s
结论: pq
证明：
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r
前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
结论有效, 即明天不是星期一和星期三.
27
附加前提证明法举例
欲证明
前提: A1, A2, …, Ak 结论: CB
等价地证明
前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
推理的形式结构一般有以下三种： 形式(1) A1 A2 … Ak B 形式(2) 前提: A1, A2, … , Ak 结论: B 形式(3) A1， A2 ， … ， Ak B
4
判断推理是否正确的方法:
真值表法 等值演算法 主析取范式法 构造证明法 真值表的方法参见P.67例2.23。
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
13
例2 证明 (p q ) (q r ) r p
[证] ① p q ② q r ③ p r ④r ⑤ p
前提 前提 ①、②，假言三段 前提 ③、④，拒取式
14
二、证明方法
用推理的概念说明一些证明方法的正确性。
（1）前件假证明法
为了证明 AB，只需证明 A 永假即可。
（2）后件真证明法
为了证明 AB，只需证明 B 永真即可。
15
（3）直接证明法
为了证明 AB，只需证明若 A 为真，则 B 亦为真。
（4）间接证明法
为了证明 AB，只需证明若 B 为假，则 A 亦为假。
则，称之为不相容的。
19
（7）反证法（归谬法）
为了证明 A 1 A 2 A n B 只需证明 {A 1,A 2, ,A n, B }是不相容的 即证明 A 1 A 2 A n B 是永假式
20
归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
⑨ 是一个永假式，因此，原推理正确。
23
直接证明法举例
例5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
前提: pq,qr, ps,s 结论: r(pq)
证明： ( 1 ) p s 前提
(2 ) s
前提
(3 ) p
(1)、(2)拒取式
( 4 ) p q 前提
(5 )q
(3)、(4)析取三段论
24
(6)q r (7 )r (8)r ( p q )
L1 假设 (4)、(5)，MP (3)、(6)，MP
40
L的演绎定理：若A├L B，则 ├L AB。
推论：设A，B和C是L的任意合式公式，则
A B ,B C ├L AC 。
例12 证明 ├L B (B A)
[证] (1) B(AB)
L1
(2) (AB)(BA) L3
(3) B(BA)
(1)、(2)，HS
2.4 命题逻辑推理理论
• 2.4.1 推理的形式结构
– 推理及其形式结构 – 推理定律
• 2.4.2 自然推理系统P
– 自然推理系统的定义 – 证明方法
1
2.4.1 推理的形式结构
一、什么是推理
定义2.19 设A1，A2 ， … ，Ak ，B都是命题公式，若对于 每组赋值, A1A2 … Ak为假, 或者当A1 A2 … Ak 为真时，B也为真, 则称由前提A1，A2，…, Ak推B的推 理有效或推理正确, 并称B是有效的结论。
43
28
例7 构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, rs 结论: ps
证明： ① p
附加前提引入
② pq
前提引入
③q
①②析取三段论
④ qr
前提引入
⑤r
③④析取三段论
⑥ rs
前提引入
⑦s
⑤⑥假言推理
推理正确, ps是有效结论
29
归谬法(反证法)举例
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
等价地证明
前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
理由: (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
18
不相容的概念：
定义—— 若 A 1A 2A n是可满足式，则称公
式集 A 1,A 2, ,A n是相容的（或一致的），否
公理系统L的定义：
1、初始符号： p1 , p 2 , L , pi , L , ()
2、形成规则：
(1)p （ i 1in)是 合 式 公 式 ; (2)若 A是 合 式 公 式 ,则 (A)是 合 式 公 式 ; (3)若 A和 B是 合 式 公 式 ,则 (A B)是 合 式 公 式 ; (4)只 有 通 过 有 限 次 使 用 (1):(3)得 到 的 符 号 串 才 是 合 式 公 式 。
A, A B B
A B, B A
9
2、常见的推理规则（续）
5）析取三段论 A B, B A
6）假言三段论 AB,BC
AC
7）合取引入
A, B
AB
8）构造性二难 AB,CD,AC
BD
10
• 注意：
（1）推理规则中出现的A、B、C 等是元语言符号； （2）直接引用而不需证明，只要说明所引用规则的名称； （3）24个永真公式每个都可以等效为2个推理规则。
6
例1 (2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号。
解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号
推理的形式结构为 (p q)q p
证明 用主析取范式法 (pq)qp((pq)q)p
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命题逻辑ppt课件
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
9
例 (续)
(4) (p)∧q. 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) r∧s. (6) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是句子的主语成分，因而(5)
命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 二者取一 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
3
例 下列句子中那些是命题？ (1) 2是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
这就产生了矛盾。
5
命题的分类
简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题
复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题
6
简单命题符号化
在本书中用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示简单命题，将 表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题符号化。 用“1”表示真，用“0”表示假 对简单命题而言，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元。
表达。 3：命题公式 层次 成真赋值 成假赋值 真值表的定义 4：构造真值表的具体步骤，重言式 矛盾式 可满足式 定
义
29
上节知识复习
1:定义：命题 真(假)命题 命题常(变)项 2:五个联结词定义及取值情况，对应的
语言表达 3:复合命题符号化的步骤 4:命题公式 命题公式的层次定义及判断 5:成真赋值 成假赋值 重言式 矛盾式
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
11/20/2020
chapter1
4
1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
11/20/2020
chapter1
6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
11/20/2020
chapter1
7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
《命题逻辑教学》课件
添加副标题
命题逻辑教学
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 命题逻辑的基本概 念
03 命题逻辑的推理规 则
04 命题逻辑的推理系 统
05 命题逻辑的应用
06 命题逻辑的局限性 和未来发展
添加章节标题
命题逻辑的基本 概念
命题的定义和表示
命题：陈述句或判断句，表示一个事实或观点 命题的表示：使用符号或公式表示命题，如P、Q、R等 命题的真值：命题的真假，用T（真）或F（假）表示 命题的连接词：与、或、非等，用于连接多个命题，形成复合命题
语义分析：利用 命题逻辑对句子 进行语义分析， 提高自然语言处 理的智能化程度
情感分析：利用 命题逻辑对句子 进行情感分析， 提高自然语言处 理的人性化程度
在形式化方法中的应用
描述系统：使用 命题逻辑描述系 统状态和操作
验证系统：使用命 题逻辑验证系统正 确性和安全性
设计算法：使用 命题逻辑设计算 法和程序
添加标题
包括命题、命题连接词、命题公 式等基本概念
添加标题
添加标题
推理系统的主要方法包括演绎推 理和归纳推理
推理系统的正确性和可靠性
命题逻辑的推理 系统是基于逻辑 规则的，这些规 则是客观存在的， 因此推理系统的 正确性是客观的。
命题逻辑的推理系 统是建立在公理和 定理的基础上的， 这些公理和定理是 普遍适用的，因此 推理系统的可靠性 是普遍的。
命题逻辑的推理 规则
直接推理规则
肯定前件，肯 定后件（P→Q，
P，所以Q）
否定后件，否 定前件（P→Q， ¬Q，所以¬P）
肯定后件，肯 定前件（P→Q，
Q，所以P）
否定前件，否 定后件（P→Q， ¬P，所以¬Q）
命题逻辑教学
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 命题逻辑的基本概 念
03 命题逻辑的推理规 则
04 命题逻辑的推理系 统
05 命题逻辑的应用
06 命题逻辑的局限性 和未来发展
添加章节标题
命题逻辑的基本 概念
命题的定义和表示
命题：陈述句或判断句，表示一个事实或观点 命题的表示：使用符号或公式表示命题，如P、Q、R等 命题的真值：命题的真假，用T（真）或F（假）表示 命题的连接词：与、或、非等，用于连接多个命题，形成复合命题
语义分析：利用 命题逻辑对句子 进行语义分析， 提高自然语言处 理的智能化程度
情感分析：利用 命题逻辑对句子 进行情感分析， 提高自然语言处 理的人性化程度
在形式化方法中的应用
描述系统：使用 命题逻辑描述系 统状态和操作
验证系统：使用命 题逻辑验证系统正 确性和安全性
设计算法：使用 命题逻辑设计算 法和程序
添加标题
包括命题、命题连接词、命题公 式等基本概念
添加标题
添加标题
推理系统的主要方法包括演绎推 理和归纳推理
推理系统的正确性和可靠性
命题逻辑的推理 系统是基于逻辑 规则的，这些规 则是客观存在的， 因此推理系统的 正确性是客观的。
命题逻辑的推理系 统是建立在公理和 定理的基础上的， 这些公理和定理是 普遍适用的，因此 推理系统的可靠性 是普遍的。
命题逻辑的推理 规则
直接推理规则
肯定前件，肯 定后件（P→Q，
P，所以Q）
否定后件，否 定前件（P→Q， ¬Q，所以¬P）
肯定后件，肯 定前件（P→Q，
Q，所以P）
否定前件，否 定后件（P→Q， ¬P，所以¬Q）
离散数学PPT课件19命题逻辑推理(ppt文档)
I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P
I13. (PQ)∧(QR)PR
I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R
I15. AB (A∨C)(B∨C)
I16. AB (A∧C)(B∧C)
重要的等价公式:
对合律 E1 PP
交换律 E2 P∧QQ∧P
• 例题１求证 P→Q，Q→R，P R
• 证明
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1) P
P
(2) PQ P
(3) Q (4) Q→R
T (1)(2) I11 P
(5) R
T (3)(4) I11
• （注公式I11为： P,P→Q Q ）
• 例题２求证
(P∧Q)∧(Q∨R)∧R P
E1
(3) (P∧S)
P
(4) P∨S (5) P (6) P→Q
T (3)
E8
T (2)(4) I10
P
(7) Q (8) (Q∨R)∧R
T (5)(6) I11 P
(9) Q∨R (10) R (11) R (12) R∧R
T (8)
I1
T (8)
I2
9
(1) Q∨R
P
(2) R
P
(3) Q (4) (P∧Q)
T (1)(2) I10 P
(5) P∨Q (6) P
T (4)
E8
T (3)(5) I10
• 注公式I10为： P, P∨Q Q • 公式E8为： (P∧Q)P∨Q
• 例题３用命题逻辑推理方法证明下面推 理的有效性：
• 如果我学习，那么我数学不会不及格。 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。 但是我数学不及格。因此，我热衷于玩 扑克。
命题逻辑的推理理论课件(离散数学)
21
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
一、自然推理系统P
自然推理系统P由三个部分组成：
1.
字母表：命题变项符号；联结词符号；括
号和逗号。
2.
命题公式。
3.
推理规则。
22
二、推理规则
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
30
四、附加前提证明法
例6：用附加前提证明法构造证明下面的推
理： 2是素数或合数。若2是素数，则 2 是 无理数。若 2 是无理数，则4不是素数。所 以，如果4是素数，则2是合数。
31
四、附加前提证明法
解： 设 p：2是素数， q：2是合数，
r： 2 是无理数，s：4是素数 推理形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
40
五、归谬法
解：命题符号化
p：小张守第一垒 q：小李向B队投球
r：A队取胜
s：A队成为联赛第一名
推理的形式结构如下：
( p q ) r , r s , s , p 结论： q
前提：
41
五、归谬法
证一：归谬法（略） 证二：直接法 ① r s 前提引入
② s
③r
前提引入
5
前提是有限个公式的集合，而不是序列 。
二、推理的有效性
A1A2… Ak
0 0
B
0 1
推理的有效性 有效 有效
1
1
0
有效
无效
6
二、推理的有效性
定义：若对于每组赋值，当 A1A2…Ak
命题逻辑04证明方法.ppt
例题解（3）
3.如果4能够整除整数K，那么2也能整除K。 解：设 p：4能够整除整数K。
q： 2也能整除K。 命题符号化为：p → q 此命题为永真命题。即有 p ⇒ q
p
q
p→q
0
0
1
0
1
1
1
1
1
哈尔滨工程大学校级精品课—离散数学
Discrete Mathematics—Harbin Engineering University CST
Discrete Mathematics—Harbin Engineering University CST
基本蕴涵式
(1)化简律：AB=>A, AB => B (2)附加律：A => AB, B => AB (3)假言推理： A ( AB) => B (4)拒取式：(AB)B => A (5)析取三段论：(AB) B => A (6)假言三段论：(AB) (BC) => AC (7)等价三段论： (A↔B) (B ↔ C) => A↔C (8)二难推理： (AC)(AB)(CB) => B (9)构造性二难： (AB)(CD)(AC) => BD
推理的形式结构
• 有 限 命 题 序 列 A1,A2,…Ak,B 称 为 推 理 （ 或 论 证 （ argument ） ） 。 A1,A2,…Ak 称 为 推 理 的 前 提 （premise），B称为推理的结论（conclusion）。
• 当且仅当A1∧A2∧…∧Ak → B为重言式时，称由 前提A1, A2,… Ak推出B的推理是有效的（或正确 的），并称B是该前提的有效结论。
Discrete Mathematics—Harbin Engineering University CST
第二章 命题逻辑的等值和推理演算.ppt
也都与P、Q无关。
2019-11-27
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9
2.1.2 等值定理
定理 对公式A和B, A=B的充分必要条件是 AB是重言式。
A、B不一定都是简单命题, 可能是由简单命 题P1, …, Pn构成的. 对A, B的一个解释, 指的是对P1, …, Pn的一组具体的真值设定.
若AB为重言式, 则在任一解释下A和B都 只能有相同的真值, 这就是定理的意思。
显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是 等值的
2019-11-27
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6
例1: 证明(P∧P)∨Q = Q
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的。
2019-11-27
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7
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看 出它们是等值的, 而且它们都是重言式。
2019-11-27
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10
证明
若A B是重言式, 即在任一解释下, A B 的真值都为T
依A B的定义只有在A、B有相同的值时, 才 有A B = T。于是在任一解释下, A和B都有 相同的真值, 从而有A=B。
反过来，若有A = B, 即在任一解释下A和B都 有相同的真值, 依A B的定义, A B只有为 真, 从而A B是重言式。
还有
PP = P
PP = P
PP = F
2019-11-27
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17
Venn图(理解等式)
将P、Q理解为某总体论域上的子集合，并 规定：
P∧Q为两集合的公共部分(交集合) P∨Q为两集合的全部(并集合) P为总体论域(如矩形域)中P的余集
2019-11-27
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9
2.1.2 等值定理
定理 对公式A和B, A=B的充分必要条件是 AB是重言式。
A、B不一定都是简单命题, 可能是由简单命 题P1, …, Pn构成的. 对A, B的一个解释, 指的是对P1, …, Pn的一组具体的真值设定.
若AB为重言式, 则在任一解释下A和B都 只能有相同的真值, 这就是定理的意思。
显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是 等值的
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例1: 证明(P∧P)∨Q = Q
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的。
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7
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看 出它们是等值的, 而且它们都是重言式。
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10
证明
若A B是重言式, 即在任一解释下, A B 的真值都为T
依A B的定义只有在A、B有相同的值时, 才 有A B = T。于是在任一解释下, A和B都有 相同的真值, 从而有A=B。
反过来，若有A = B, 即在任一解释下A和B都 有相同的真值, 依A B的定义, A B只有为 真, 从而A B是重言式。
还有
PP = P
PP = P
PP = F
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17
Venn图(理解等式)
将P、Q理解为某总体论域上的子集合，并 规定：
P∧Q为两集合的公共部分(交集合) P∨Q为两集合的全部(并集合) P为总体论域(如矩形域)中P的余集
逻辑学课件第三讲 命题的判定与命题逻辑的形式证明
f（3）是 p ， p → p， p ∨ p 等公式表达的真值函 项，表示这一函项的值与变项本身表达的值相反。
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
4-第一章命题逻辑PPT课件
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
大连大学
信息工程学院
9
第20页
1.6 对偶与范式
大连大学
信息工程学院
5
第20页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
大连大学
信息工程学院
11
第21页
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 真值表与等价公式 1.5 重言式与蕴含式 1.7对偶与范式 1.8推理理论
三、主范式 (2)主合取范式 每个合取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定） 主合取范式的化归步骤：见书上38页
例7:试求 (PQ )( PR)的主合取范式。 例8:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主合取范式。
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9
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1.6 对偶与范式
大连大学
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5
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1.6 对偶与范式 （复习）
三、主范式 (1)主析取范式 每个析取项中所有变元都要出现 每个变元只出现一次（命题变元或其否定）
主析取范式的化归步骤：见书上36页
例5:试求 P Q 和 (PQ) 的主析取范式。
例6:试求 P ( ( P Q ) ( Q P ) )主析取范式。
分别都是什
（3）若C不去，则A或B可以去。 么？
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第一章 命题逻辑
Propositional Logic
1.6 对偶与范式（复习）
二、范式 定义1-7.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当 它具有型式：
A 1A 2A n(n1 ) 其中 A1,A2, ,An 都是由命题变元或其否定所组成
的析取式。
合取范式的特点：
第六章命题逻辑
P(附加前提) T(1)
P T(2),(3)
T(4) T(5)
P T(6),(7) CP规则
23
离散数学
CP规则例2 证明： A → (B → C), (C ∧ D) → E, ┓F → (D ∧ ┓E) ⇒A → (B → F) 证明 利用CP规则，即证：
A→(B→C), (C∧D)→E, ┓F→(D∧┓E), A, B ⇒ F
解：令 P：我的论文通过答辩。 Q：我拿到毕业证。 R：我很高兴。
由题意知，前提： (P → Q)， (Q → R)， ┐R 有效结论： ┐P
要证明： ┐R ∧ (P→ Q) ∧ (Q → R) ⇒ ┐P
25
离散数学
例1解
┐R ∧ (P→ Q) ∧ (Q → R) ⇒ ┐P
证明：
(1) ┐R (2) Q → R (3) ┐Q (4) P→ Q (6) ┐P
证明 (A∨B)→C,C→D∨E, E→F, ┓D∧ ┓F ⇒ ┓A
等价于证明: (A∨B)→C,C→D∨E, E→F, ┓D∧ ┓F, A ⇒0
(1) A
P(附加前提)
(2) A∨B
T(1)
(3) (A∨B)→C
P
(4) C
T(2),(3)
(5) C→D∨E
P
(6) D∨E
T(4),(5)
(7) ┓D ∧ ┓ F
T
而“如果天晴，我去看电影”
MS
P
所以“天不晴”
M
T
由于”或者天晴，或者下雨“
MQ
P
所以”天在下雨“
Q
T
17
离散数学
6.5 推理理论
6.5.1 前提与有效结论 6.5.2 证明方法