Chapter 1 谓词逻辑推理理论 5
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谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
5谓词逻辑基本概念
这是命题，作为谓词逻辑的对象， 张明” 个体， 这是命题，作为谓词逻辑的对象，“张明”是个体，“是位大 学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。 学生” 谓词，它刻划了“张明”的性质。 设 P：是位大学生 a：张明 则“张明是位大学生”可表示为P(a)， 张明是位大学生”可表示为P(a)， P(a) 或者写成P(a)：张明是位大学生。 或者写成P(a)：张明是位大学生。 P(a)
10
一、谓词的概念及表示法
将下列命题用0元谓词符号化，并讨论它们的真值。 将下列命题用 元谓词符号化，并讨论它们的真值。 元谓词符号化 (1) 2是素数且是偶数 是素数且是偶数 (2) 如果 大于 ，则2大于 如果2大于 大于3， 大于4 大于 解：(1)设一元谓词F(x)：x是素数；一元谓词G(x)：x (1) F(x) x G(x) x 是偶数；a：2。 则(1)中命题符号化为0元谓词的合取式： F(a) ∧G(a)。 (2) 设二元谓词L(x, y)：x大于y；a：2；b：3；c：4. 命题符号化为L(a,b) → L(a,c)
一阶逻辑(谓词逻辑）
1
内容要点： 谓词和个体 CH4 量词 CH4
一阶逻辑公式 CH4 一阶逻辑等值式 CH5 置换规则 CH5 一阶逻辑前束范式CH5
推理理论
CH5
2
引 言
整除， 例：凡偶数都能被2整除， 凡偶数都能被 整除 6是偶数。 是偶数。 是偶数 所以， 能被 能被2整除 所以，6能被 整除 将它们命题符号化： 将它们命题符号化： p：凡偶数都能被2整除 ：凡偶数都能被 整除 q： 6是偶数 ： 是偶数 r： 6能被 整除 ： 能被 能被2整除 则推理的形式结构符号化为： 则推理的形式结构符号化为： (p∧ q) → r ∧
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一、谓词的概念及表示法
将下列命题用0元谓词符号化，并讨论它们的真值。 将下列命题用 元谓词符号化，并讨论它们的真值。 元谓词符号化 (1) 2是素数且是偶数 是素数且是偶数 (2) 如果 大于 ，则2大于 如果2大于 大于3， 大于4 大于 解：(1)设一元谓词F(x)：x是素数；一元谓词G(x)：x (1) F(x) x G(x) x 是偶数；a：2。 则(1)中命题符号化为0元谓词的合取式： F(a) ∧G(a)。 (2) 设二元谓词L(x, y)：x大于y；a：2；b：3；c：4. 命题符号化为L(a,b) → L(a,c)
一阶逻辑(谓词逻辑）
1
内容要点： 谓词和个体 CH4 量词 CH4
一阶逻辑公式 CH4 一阶逻辑等值式 CH5 置换规则 CH5 一阶逻辑前束范式CH5
推理理论
CH5
2
引 言
整除， 例：凡偶数都能被2整除， 凡偶数都能被 整除 6是偶数。 是偶数。 是偶数 所以， 能被 能被2整除 所以，6能被 整除 将它们命题符号化： 将它们命题符号化： p：凡偶数都能被2整除 ：凡偶数都能被 整除 q： 6是偶数 ： 是偶数 r： 6能被 整除 ： 能被 能被2整除 则推理的形式结构符号化为： 则推理的形式结构符号化为： (p∧ q) → r ∧
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
第5章 基于一阶谓词的机器推理
定理 5-1 设G, H是两个谓词公式，GH的充分必要 条件是G H且H G。
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
(第5讲)谓词逻辑
W
质，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
U
0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。
3) 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的
S
个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就
T
成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体
域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值
有很大的影响。
XDC
C
S
其他定义
T
由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生
个体词 a1:张红 a2:王南 a3:李华
例： 张红是一个西南科技大学的学生； P(a1)
XDC
C
S
例
|
设有如下命题：
P：上海是一个现代化的城市；
S
Q：甲是乙的父亲；
W
R：3介于2和5之间。
T：李兰与高翔是同班同学。
U
S
解：设有如下谓词：
则上述命题可表示为：
S
也可以理解为“说‘存在一个x，x是自然数且对
T
一切自然数y，x均大于y’是不对的”。
符号化为：x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。
XDC
C
S
|
注意：不可以用最大来直接定义谓词。
S
设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。
W
以上命题可以表示为：x(N(x) ∧B(x))
S
而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称
为全总个体域。
T
4) 设D为非空的个体域，定义在Dn(表示n个个体都在个
体域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函数，称为n
元 谓 词 , 记 为 P(x1,x2,…,xn) 。 此 时 ， 个 体 变 量 x1,x2,…,xn的定义域都为D，P(x1,x2,…,xn)的值域为 {0，1｝。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
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【例1】 证明推理"所有的自然数均是实数，3是自 然数，因此，3是实数。"正确。
解 设N（x）：x是自然数，R（x）：x是实数，则 推理形式化为：
x（N（x）→R（x））, N（3） R（3）
下面进行证明。
（1） x（N（x）→R（x）） 前提引入
（2）N（3）→R（3）
（1）UI
（3）N（3）
前提引入
（4）R（3）
（2）（3）假言推理
【例2】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→（G（x）∧H（x）））， x（F（x）∧P（x）） 结论 x（P（x）∧H（x））
解 （1） x（F（x）→（G（x）∧H（x））） 前提引入
（2） x（F（x）∧P（x））
前提引入
（3）F（c）∧P（c）
x( M(x) ∨F(x) ∨ G(x) ) Demorgen定律
x( M(x) ∨ G(x) ∨F(x) ) 交换律
x( （M(x) ∧ G(x)） ∨F(x) ) Demorgen定律
x(（M(x) ∧ G(x))→ F(x) )
(M(t) ∧ G(t))→ F(t) UI规则（t自由变量）
过教育的人。因此有些受过教育的人是守信用的。 设：M(x)：x是人，F(x)：x守信用，G(x)：x可信赖，
H(x)：x受过教育。 前提： x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) )， x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 结论：x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
证明：x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) ) 前提
【例3】 设前提为 x yF（x，y），下面 推理是否正确？
（1） x yF（x，y） 前提引入
（2） yF（t，y）
（1）UI
（3）F（t，c）
（2）EI
（4） xF（x，c）
（3）UG
（5） yxF（x，y） （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由 x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为 “存在着最小实数”，是假命题，知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是第（3）步违反了 EI规则成立的条件（2）， 因为这里的t与c是 有关的。
全称量词消去规则（简称UI规则） Universal Instantiation (UI)
xA( x) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。 （2）A（t）中其它约束变元个数与A（x）
中x以外的约束变元个数相同。
全称量词引入规则（简称UG规则）
Universal Generalization (UG)
（5）G（t）
（3）（4）假言推理
（6） xG（x）
（5）UG
（7）xF（x）→ xG（x）
例5 指出下面推理的错误.
证明
（1） xP(x) xQ(x)
前提
（2）
（3） （4） 错！ （5） （6） （7）
xP(x)
xQ(x) P(c) Q(c) P(c) Q(c) x(P(x) Q(x))
因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以 xD(x,5)为假.
分析有下面的推理过程：
(1) xD(x,5)
前提
(2) D(z,5)
(1);ES
错！ (3) xD(x,5)
(2);UG
因此， xD(x,5) xD(x,5).
【例7】在谓词逻辑推理系统中构造下面推理的证明： 没有不守信用的人是可以信赖的。有些可以信赖的人是受
存在量词消去规则（简称EI规则）
Existential Instantiation (EI)
xA( x) 规则成立的条件： A(c)
（1）c是使A（c）为真的某个特定的个体常元。 （2） xA（x）是闭式，且c不在A（x）中出现。
特别需要注意的是，使用这些规则的条件非 常重要，如在使用过程中违反了这些条件就可能导 致错误的结论。
x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 前提
M(c) ∧ G(c) ∧H(c)
EI
M(c) ∧ G(c)
H(c)
(M(c) ∧ G(c))→ F(c) F(c) M(c) ∧ H(c) ∧F(c) x(M(x) ∧ H(x) ∧F(x) )
（1）；I1
（1）；I2 （2）；ES （3）；ES （4）（5）；I9 （6）；EG
因此 xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x))
例6 指出下面推理的错误.
设D(x,y)表示“x可被y 整除” ,个体域 为 { 5,7 ,10 ,11 }.
因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以 xD(x,5)为真.
A(t) xA( x)
规则成立的条件：
（1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋值下均 为真。此处t是自由变量
（2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则（简称EG规则）
Existential Generalization(EG)
A(c) xA( x)
规则成立的条件： （1）c只需是某个特定的个体常量。 （2）x不在A（c）中出现。
(2)EI
（4）F（c）→（G（c）∧H（c））
(1)UI
（5）F（c）
(3)化简
（6）G（c）∧H（c）
(4)(5)假言推理
（7）P（c）
(3)化简
（8）H（c）
(6)化简
（9）P（c）∧H（c）
(7)(8)合取引入
（10） x（P（x）∧H（x））
(9)EG
问题：将这里的 （3）和（4）顺序调换，有什么不一样吗？
【例4】 构造下面推理的证明： 前提 x（F（x）→G（x）） 结论 xF（x）→ xG（x前提证明法。
证明
（1） x（F（x）→G（x）） 前提引入
（2） xF（x）
附加前提引入
（3）F（t）
（2）UI
（4）F（t）→G（t）
（1）UI
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论
在谓词逻辑中，由前提A1，A2，…，An推出结 论B的形式结构仍然是A1∧A2∧…∧An→B。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者
A1，A2，…，An B，否则称推理不正确。
由于谓词演算是在命题演算的基础上，进 一步加入了谓词与量词的功能，因此容易想到， 命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于 谓词演算，即在命题逻辑中的各项推理规则在 谓词逻辑推理中仍然适用，当然也有些只适用 于谓词演算的概念与规则。