Chapter 1 谓词逻辑推理理论 5
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谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑(1)
贾宝玉爱林黛玉传统主谓式分析贾宝玉是爱着林黛玉的弗雷格的分析对象概念对象武汉位于上海与重庆之间谓词是位于之间三元谓词表示三个个体之间的关系
谓词逻辑Ⅰ：基本概念
1.1个体词与谓词
1.2量词
1.3量词的辖域 1.4
全称量词不表示存在，存在量词表 示存在 1.5多个量词
问题的提出
命题逻辑特点：研究复合命题之间的推理时，只将 复合命题分析到简单命题，不再对简单命题内部成 分进行细分。
例9 有的新闻报道不是真实的。 论域为全域 X(x)：x是新闻报道 Z(x)：x是真实的
此命题表达了
存在一对象，它是新闻报道，但它不是真实的。
(x) ( X(x)∧ Z(x))
传统命题A、E、I、O四类命题的量化形式 A命题：“所有S是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))； E命题：“所有S不是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))；
在一个公式前面加上量词，称为量化式,如(
x)F(x)和( x)F(x)，就分别称为全称量化式和 存在量化式。 ( x)F(x)表示“对于所有x而言，x是F,即一切 事物都是F”； ( x)F(x)表示“至少有一个x,x是F,即有一（有 些）事物是F”。
（1）所有事物都是变化的
例子：贾宝玉爱林黛玉
传统主谓式分析
弗雷格的分析
贾宝玉是爱着林黛玉的
对象 贾宝玉
概念 爱
对象 林黛玉
7
T(a,b,c) 谓词是“位于之间”（三元谓词），表示三个个体之间的关系； 个体词“武汉” 、 “上海” 、 “重庆”分别表示确定的个体， 是个体常项。
例 5 武汉位于上海与重庆之间
谓词逻辑Ⅰ：基本概念
1.1个体词与谓词
1.2量词
1.3量词的辖域 1.4
全称量词不表示存在，存在量词表 示存在 1.5多个量词
问题的提出
命题逻辑特点：研究复合命题之间的推理时，只将 复合命题分析到简单命题，不再对简单命题内部成 分进行细分。
例9 有的新闻报道不是真实的。 论域为全域 X(x)：x是新闻报道 Z(x)：x是真实的
此命题表达了
存在一对象，它是新闻报道，但它不是真实的。
(x) ( X(x)∧ Z(x))
传统命题A、E、I、O四类命题的量化形式 A命题：“所有S是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))； E命题：“所有S不是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))；
在一个公式前面加上量词，称为量化式,如(
x)F(x)和( x)F(x)，就分别称为全称量化式和 存在量化式。 ( x)F(x)表示“对于所有x而言，x是F,即一切 事物都是F”； ( x)F(x)表示“至少有一个x,x是F,即有一（有 些）事物是F”。
（1）所有事物都是变化的
例子：贾宝玉爱林黛玉
传统主谓式分析
弗雷格的分析
贾宝玉是爱着林黛玉的
对象 贾宝玉
概念 爱
对象 林黛玉
7
T(a,b,c) 谓词是“位于之间”（三元谓词），表示三个个体之间的关系； 个体词“武汉” 、 “上海” 、 “重庆”分别表示确定的个体， 是个体常项。
例 5 武汉位于上海与重庆之间
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
S(c)：张明是位大学生。
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
第1章-谓词逻辑
（1）∀x ∀y(H(x)∧W(y)→K(x,y))
或∀x (H(x) →∀y(W(y)→K(x,y)))
（2）∃x (H(x)∧∀y(W(y)→K(x,y)))
（3）∃x ∃y( H(x)∧W(y)∧ ﹃ K(x,y))
或﹃ ∀x ∀y(H(x)∧W(y)→K(x,y)) （4） ﹃ ∃x ∃y( H(x)∧H(y)∧L(x,y)) 或∀x ∀y(H(x)∧H(y)→ ﹃ L(x,y))
2.2 量词
说明：
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分别符号 化为一元和n(n ≥2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用∀或∃。 （3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序 不能随意调换。如： 在实数域上用L(x,y)表示x+y=10 命题：对于任意的x,都存在y使得x+y=10。 可符号化为：∀x∃yL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后符号化为：∃y∀xL(x,y) 真值为0.
2.3 谓词公式
1. 原子公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(x1,x2,…xn）。 2. 合式公式： （１）原子公式是合式公式； （２）若Ａ、Ｂ是合式公式，则 Ａ∧Ｂ、Ａ∨Ｂ、┐Ａ 、Ａ→ B、A↔B、 ┐B、 xＡ、xＡ是谓词公式
（3）只有有限次使用 （1 ）和（ 2 ）构成的公式才是合
2.5 谓词演算的等值演算
二、谓词演算的基本永真公式
5）量词分配等值式：
x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
个体常项：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示。
或∀x (H(x) →∀y(W(y)→K(x,y)))
（2）∃x (H(x)∧∀y(W(y)→K(x,y)))
（3）∃x ∃y( H(x)∧W(y)∧ ﹃ K(x,y))
或﹃ ∀x ∀y(H(x)∧W(y)→K(x,y)) （4） ﹃ ∃x ∃y( H(x)∧H(y)∧L(x,y)) 或∀x ∀y(H(x)∧H(y)→ ﹃ L(x,y))
2.2 量词
说明：
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分别符号 化为一元和n(n ≥2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用∀或∃。 （3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序 不能随意调换。如： 在实数域上用L(x,y)表示x+y=10 命题：对于任意的x,都存在y使得x+y=10。 可符号化为：∀x∃yL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后符号化为：∃y∀xL(x,y) 真值为0.
2.3 谓词公式
1. 原子公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(x1,x2,…xn）。 2. 合式公式： （１）原子公式是合式公式； （２）若Ａ、Ｂ是合式公式，则 Ａ∧Ｂ、Ａ∨Ｂ、┐Ａ 、Ａ→ B、A↔B、 ┐B、 xＡ、xＡ是谓词公式
（3）只有有限次使用 （1 ）和（ 2 ）构成的公式才是合
2.5 谓词演算的等值演算
二、谓词演算的基本永真公式
5）量词分配等值式：
x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
个体常项：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示。
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
第5章 基于一阶谓词的机器推理
定理 5-1 设G, H是两个谓词公式，GH的充分必要 条件是G H且H G。
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
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解 设N（x）：x是自然数，R（x）：x是实数，则
推理形式化为：
x（N（x）→R（x））, N（3） R（3）
下面进行证明。
（1） x（N（x）→R（x））
（2）N（3）→R（3）
前提引入
（1）UI
（3）N（3）
（4）R（3）
前提引入
（2）（3）假言推理
【例2】 构造下面推理的证明：
前提 x（F（x）→（G（x）∧H（x））），
更多例题习题
补充：存在唯一量词！很多的命题源自存在唯一的表述，或者是说有且仅有一个。
量词表示： ！
例如：存在唯一的偶素数. P(x):x是素数，E(x):x是偶数 表示： ！x(P(x)E(x)) 不用！的表示方法： 举例： ！xA(x) 也可以表示为 x ( A(x) y(yx) A(y) )
xA( x ) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。 （ 2 ） A （ t ）中其它约束变元个数与 A （ x ） 中x以外的约束变元个数相同。
全称量词引入规则（简称UG规则）
Universal Generalization (UG)
A(t ) xA( x )
规则成立的条件： （1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋值下均 为真。此处t是自由变量
是普通乘法。
（1）xy（x·y=0） （2）xy （x·y=1） （3） y x（x·y=1） （4） y x （x·y=x）
4 ．给定谓词如下，试将下列命题译成自然
语言。P（x）：x是素数。 （1） E（2）∧P（2） E（x）：x是偶数。
O（x）：x是奇数。D（x，y）：x整除y。 （2）x（D（2，x）→E（x））
（7）P（c）
（8）H（c） （9）P（c）∧H（c） （10） x（P（x）∧H（x））
(3)化简
(6)化简 (7)(8)合取引入 (9)EG
问题：将这里的 （3）和（4）顺序调换，有什么不一样吗？
【例3】 设前提为 x yF（x，y），下面 推理是否正确？
（1） x yF（x，y）
（4）F（t）∨G（t）
（2）UI
（3）UI
（5） x（F（x）∨G（x））
（4）UG
补充课外习题 1．在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）天下乌鸦一般黑。 （2）没有不散的筵席。 （3）闪光的未必是金子。 （4）有不是奇数的素数。 （5）有且仅有一个偶素数。 （6）猫是动物，但并非所有的动物都是猫。
（3） x y（F（x，y）→G（y））
y(F(a,y)→G(y))∧ y(F(b,y)→G(y))
∧ y(F(c,y)→G(y))
((F(a,a)→G(a))∨(F(a,b)→G(b))∨(F(a,c)→G(c)))∧
((F(b,a)→G(a))∨(F(b,b)→G(b))∨(F(b,c)→G(c)))∧
Existential Instantiation (EI)
（1）c是使A（c）为真的某个特定的个体常元。 （2） xA（x）是闭式，且c不在A（x）中出现。 特别需要注意的是，使用这些规则的条件非 常重要，如在使用过程中违反了这些条件就可能导 致错误的结论。
【例1】 证明推理"所有的自然数均是实数，3是自 然数，因此，3是实数。"正确。
（7）骆驼都比马大。 （8）有的骆驼比所有的马都大。 （9）所有的骆驼都比某些马大。 （10）有的骆驼比某些马大。
2．取个体域为实数集R， 函数f在点a处连续的定 义是：f在a点连续，当且仅当对每一个小正数ε，都存 在正数δ，使得对所有的x，若|x-a|＜δ，则 |f（x）-f（a） |＜ε。把上述定义用符号的形式表示。 3 ．在整数集中，确定下列命题的真值，运算 "·"
xP ( x)
前提 （1）；I1
（3） （4 ） 错！ （5） （6 ） （7 ）
xQ( x)
P (c ) Q (c ) P(c) Q(c) x( P( x) Q( x))
（1）；I2 （2）；ES （3）；ES （4）（5）；I9 （6）；EG
因此 xP( x) xQ( x) x( P( x) Q( x))
（2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则（简称EG规则）
Existential Generalization(EG)
A(c ) xA( x )
规则成立的条件： （1）c只需是某个特定的个体常量。 （2）x不在A（c）中出现。
存在量词消去规则（简称EI规则）
xA( x ) 规则成立的条件： A( c )
（3） x（E（x）∧D（x，6））
（4） x（E（x）→D（2，x））
（5） x（E（x）→ y（D（x，y）→E（y））） （6） x（O（x）→ y（P（y）→D（x，y））） （7）x（P（x）→ y（E（y）∧D（x，y））） （8） x（E（x）∧P（x）∧ y（E（y）∧P（y） ∧x≠y））
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论 在谓词逻辑中，由前提 A1 ， A2 ， … ， An 推出结 论 B 的形式结构仍然是 A1∧A2∧…∧An→B 。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者 A1，A2，…，An B，否则称推理不正确。
（3） x y（F（x，y）→G（y））
解 （1） xF（x）∧ yG（y）
（F(a)∧F(b)∧F(c)）∧（F(a) ∨F(b)∨F（c））
（2） x y（F（x）∧G（y））
y(F(a)∧G(y))∧ y(F(c)∧G(y)) y(F(b)∧G(y))∧
((F(a)∧G(a))∨(F(a)∧G(b))∨(F(a)∧G(c)))∧ ((F(b)∧G(a))∨(F(b)∧G(b))∨(F(b)∧G(c)))∧ ((F(c)∧G(a))∨(F(c)∧G(b))∨(F(c)∧G(c)))
（2）没有一个数使0为它的后继数。
（ 3 ）每个不等于 0 的数都有唯一的一个数是它的
直接先行者。
分析 在符号化命题的过程中，设定谓词尽可能
少是一个原则。注意到"x是y的后继数"与"y是x的直接
先行者"含义相同，所以可用一个谓词表示。
解 设N（x）：x是自然数，F（x，y）：x
是y的后继数，G（x，y）：x=y，则
((F(b,a)→G(a))∨(F(b,b)→G(b))∨(F(b,c)→G(c)))
【例11】 构造下面推理的证明：
前提 xF（x）∨ xG（x）
结论 x（F（x）∨G（x））
证明
（1） xF（x）∨ xG（x）
（2） x y（F（x）∨G（y））
前提引入
（1）置换
（3） y（F（t）∨G（y））
（2） yF（t，y）
前提引入
（1）UI
（3）F（t，c）
（4） xF（x，c） （5） yxF（x，y）
（2）EI
（3）UG （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由
x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为
由于谓词演算是在命题演算的基础上，进 一步加入了谓词与量词的功能，因此容易想到， 命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于 谓词演算，即在命题逻辑中的各项推理规则在
谓词逻辑推理中仍然适用，当然也有些只适用
于谓词演算的概念与规则。
全称量词消去规则（简称UI规则） Universal Instantiation (UI)
or
x ( A(x) y( D(x,y) A(y) ),其中D(x,y)表示yx.
Or x（A（x）∧y（A（y）→x=y））
课堂练习： 符号化下面语句，并用构造证明法证明其推理的正确性。 所有的旅客或者坐头等舱或者坐经济舱，每个旅客当且仅 当他富裕时坐头等舱，有些旅客富裕但并非所有的旅客均 富裕。因此，有些旅客坐经济舱。 设F(x):x是旅客，G(x):x坐头等舱，H(x):x坐经济舱，S(x):x 是富裕的。 前提： x( F ( x) (G ( x) H ( x)))
证明
（1） x（F（x）→G（x）） 前提引入
（2） xF（x）
（3）F（t）
附加前提引入
（2）UI
（4）F（t）→G（t）
（5）G（t） （6） xG（x） （7）xF（x）→ xG（x）
（1）UI
（3）（4）假言推理 （5）UG
例5
指出下面推理的错误.
证明
（1） xP( x) xQ( x) （2 ）
例6
指出下面推理的错误.
设D(x,y)表示“x可被y 整除” ,个体域 为 { 5,7 ,10 ,11 }. 因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以 xD(x,5)为真. 因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以 xD(x,5)为假. 分析有下面的推理过程：
(1) xD(x,5)
(2) D(z,5) 错！ (3) xD(x,5)
证明：x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) )
前提
x( M(x) ∨F(x) ∨ G(x) ) Demorgen定律 x( M(x) ∨ G(x) ∨F(x) ) 交换律 x( （M(x) ∧ G(x)） ∨F(x) ) Demorgen定律 x(（M(x) ∧ G(x))→ F(x) )
(M(t) ∧ G(t))→ F(t) UI规则（t自由变量）
x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 前提
M(c) ∧ G(c) ∧H(c)
M(c) ∧ G(c) H(c)
EI
(M(c) ∧ G(c))→ F(c) F(c)