一阶谓词逻辑word版本
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4.1一阶谓词逻辑基本概念
(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。
一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
x的辖域是 y( P( x, y) Q( x, y)) y的辖域是 P( x, y) Q( x, y) x的辖域是 P ( x, y ) x的出现均为约束出现， y的最后一次出现为自由 出现.
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二、个体变项的自由出现与约束出现
换名规则：将量词辖域中某个约束变项的所有出现 及对应的指导变元，改成另一个在辖域中未曾出现 例2：使下面的公式不出现“既是约束出现 过的个体变项符号，公式中其余部分不变，则所得 又是自由出现的个体变项”。 公式与原来的公式等值。
原子命题公式 命题逻辑合式公式的定义：
(1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…是合式公式； (2) 若A , B是合式公式，则 ( A)，(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式 公式； (3) 只有有限次地应用(1)~(2)形成的包含命题变元、联结词和括号的符号串 才是合式公式。
（3） 如果2>3，则3<4。 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4.
符号化为 pq, 这是真命题。
在一阶逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为： F(2,3)G(3,4)
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一、个体词、谓词、量词的概念
例：有的人喜欢喝咖啡。 所有的人都喜欢喝茶。
3.
量词的基本概念
43三公式的解释1??xfgxax??x2xx2??x??yffxay?ffyax??x??yx2y?y2x3??xffxxgxx??x2xx2假命题假命题真命题44三公式的解释5??x??y??zffyzx??x??y??zyzx4??x??y??zffxyz??x??y??zxyz真命题假命题6??xfgxyzxyz不是命题45三公式的解释小结
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二、个体变项的自由出现与约束出现
换名规则：将量词辖域中某个约束变项的所有出现 及对应的指导变元，改成另一个在辖域中未曾出现 例2：使下面的公式不出现“既是约束出现 过的个体变项符号，公式中其余部分不变，则所得 又是自由出现的个体变项”。 公式与原来的公式等值。
原子命题公式 命题逻辑合式公式的定义：
(1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…是合式公式； (2) 若A , B是合式公式，则 ( A)，(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式 公式； (3) 只有有限次地应用(1)~(2)形成的包含命题变元、联结词和括号的符号串 才是合式公式。
（3） 如果2>3，则3<4。 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4.
符号化为 pq, 这是真命题。
在一阶逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为： F(2,3)G(3,4)
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一、个体词、谓词、量词的概念
例：有的人喜欢喝咖啡。 所有的人都喜欢喝茶。
3.
量词的基本概念
43三公式的解释1??xfgxax??x2xx2??x??yffxay?ffyax??x??yx2y?y2x3??xffxxgxx??x2xx2假命题假命题真命题44三公式的解释5??x??y??zffyzx??x??y??zyzx4??x??y??zffxyz??x??y??zxyz真命题假命题6??xfgxyzxyz不是命题45三公式的解释小结
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4.2-一阶谓词逻辑表示
谓词的真值是T和F，函数的值（无真值）是D中的元素
谓词可独立存在，函数只能作为谓词的个体
一阶谓词逻辑表示的逻辑基础
连词：
连词
¬ ： “非”或者“否定”。表示对其后面的命题的否定
∨ ：“析取”。表示所连结的两个命题之间具有“或”的关系
∧：“合取”。 表示所连结的两个命题之间具有“与”的关系。
Dn {( x1, x2 , , xn ) | x1, x2 , , xn D}
则称P是一个n元谓词，记为P(x1,x2,…,xn)，其中，x1,x2,…,xn为个体，可 以是个体常量、变元和函数。
例如：GREATER(x,6)
x大于6
TEACHER(father(Wang Hong)) 王宏的父亲是一位教师
R(x，y)中的x和所有的y都是自由变元
变元的换名：
谓词公式中的变元可以换名。但需注意：
第一：对约束变元，必须把同名的约束变元都统一换成另外一个相同的名
字，且不能与辖域内的自由变元同名。
例，对( xP(x，y))，可把约束变元x换成z，得到公式( z)P(z，y)。 第二：对辖域内的自由变元，不能改成与约束变元相同的名字。
(3) 若A,B是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B，A↔B也都是合式公式；
(4) 若A是合式公式，x是项，则( x)A(x)和( x)A(x)都是合式公式。 例如，¬P(x,y)∨Q(y)，( x)(A(x)→B(x))，都是合式公式。
连词的优先级
¬,∧,∨→,↔
一阶谓词逻辑表示的逻辑基础
谓词逻辑表示的应用(例1）
机器人移盒子问题(3/7)
描述操作的谓词
条件部分：用来说明执行该操作必须具备的先决条件
可用谓词公式来表示
第二章谓词逻辑(1)
(1)原子公式是合式公式. (2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式. (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (A→B)，(AB)也是合式公式. (4)若A是合式公式，则 xA， xA也是合式公式. (5)只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串 才是合式公式. 合式公式也称为谓词公式，简称公式.
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
第五章：一阶逻辑的语法和语义
一阶谓词逻辑部分——一阶语法：1定义字母表的定义一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：1）一组非逻辑符号，其中包含：i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…}ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集；{F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…}iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…}2）一组固定的逻辑符号，其中包含：i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）；ii）量词∀，[∃]；iii）联结词⌝，→，[∧，∨，↔]；iv）等词[≡]；v）括号)，(。
注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。
形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。
这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。
注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号集。
注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。
注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。
我们约定，在元语言中用x, y, z等代表一阶语言的个体变项；c, d, e等代表一阶语言的个体常项；P, Q, R等代表一阶语言的谓词；f, g, h等代表一阶语言的函数符号。
2 项的归纳定义下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。
项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。
第4章一阶逻辑基本概念
8/5/2021
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合式公式
CHAPTER FOUR
定义4.4 一阶语言L 中的合式公式 (也称为谓词公式或公式) 定义如下：
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若A是合式公式，则 (┐A)也是合式公式；
(3) 若A, B 是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合 式公式；
F(x,y)：表示个体变项 x, y具有关系F (同上) 。
一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项x1,x2,…,xn 的n元谓词。 它可看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数关系.
当P取常项,且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命题.
一阶逻辑中命题符号化问题
例4.2-1 在个体域为人类集合将下面两个命题符号化：
CHAPTER FOUR
(1) 凡是人都要呼吸； (2) 有的人用左手写字。
解：令 F(x): x 呼吸; G(x): x 用左手写字。则
(1) x F(x); (2) x G(x)。
例4.2-2 上例中，将个体域改为全总个体域后，两命题的符号化形式如何？
则可符号化为（1） xF(x)，（2） xG(x) 。
8/5/2021
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一阶逻辑中命题符号化问题 CHAPTER
FOUR
例4.4 将下列命题符号化，并讨论其真值。
(1) 所有的人都长着黑头发；(2)有的人登上过月球；
(3) 没有人登上过木星； 解：令 M(x)：x 为人。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
chenchen241一阶谓词逻辑符号化42一阶谓词逻辑公式及解释chapterchapterfourfour在命题逻辑中命题是最基本的单位对简单命题不再进行分解不关心命题中个体与总体的内在联系和数量关系
第4章 一阶逻辑基本概念
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谓词公式的定义
例：H(a,b), C(x)B(x), x(M(x)H(x)), x(M(x)C(x)B(x)), 等均是合式公式。
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约束变元和自由变元
定义：在谓词公式中，形如xA或xA的x或x 那一部分称为是公式x的约束部分，x是指导变元， A(x)为相应量词x或x的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为x在公式A中的约束出现； 约束出现的变元称为约束变元；A中不是约束出 现的其它变元称为该变元的自由出现，自由出现 的变元成为自由变元。
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说明：
(1)当多个量词连续出现，它们之间无括号 分隔时，约定从左到右的次序读出，后面 的量词在前面量词的辖域之中。 例：yx(x<(y-2)), x,y的个体域为实数集。
42
说明：
(2)如果D是有限集,谓词公式中的量词可以 用逻辑联结词来解释。
例D={a,b,c} xP(x)P(a)∧P(b)∧P(c) xP(x)P(a)P(b)P(c)
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例：将下列命题符号化
有些菊花是白的。
Y(x):x是白的，D为菊花集合 xY(x)
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例：将下列命题符号化
(1) 有些人是聪明和美丽的 (2) 有人早饭吃面包。 解: (1)设M(x)：x是人，Q(x)：x是聪明的， R(x)：x是美丽的。 命题符号化为： x(M(x)∧ Q(x)∧ R(x))。 (2)设M(x)：x是人， E(x)：x是早饭时吃面包，命题符号化为： x(M(x) ∧ E(x))
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换名规则
换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词 中的指导变元, 换成一个其他变元, 转换的新变元不能与本辖域内的其他变元同名, 公式中的其他部分不改变。
最新第三章一阶谓词逻辑
3.1 一阶谓词逻辑形式
前面离散数学课程已经讲述过谓词逻辑，在这里简要回顾如下： 1.命题逻辑
定义 具有确定真值的陈述句，称为命题。
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称 这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q， R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题 用合适的符号表示，称为命题符号化。
2、量词：用于刻划谓词与个体之间关系的词，在谓词逻 辑中引入了两个量词，全称量词符号（ x）及存在量 词符号（ x）。 全称量词符号 + 变元 = 全称量词，如（ x）； 存在量词符号 + 变元 = 存在量词，如（ x）； ( x)：它表示对个体域中所有个体x ( x)： 表示在个体域中存在某个个体x
函数符号：是从若干个研究对象到某个研究对象的映射的
符号。 • n元函数 f(x1,x2,…,xn) 规定为一个映射：
f: Dn →D 谓词与函数的区别：
1.谓词的真值是真和假，而函数无真值可言，其值是个体域中的
某个个体。
2.谓词描述的是个体域中的个体之间的关系或性质。而函数实现的 是一个个体的出现依赖于个体中中的其他个体，他是一个个体 在个体域中的映射。
___________________________ _______________________
2、一阶谓词逻辑 谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常才用首字母大写开头的字母字符串 表示。
x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。
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定义2.1.4 ①符号称为全称量词符，用来 表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一 个”、“一切”等词语；x称为全称量词，称x 为指导变元。
②符号称为存在量词符，用来表达“存在 一些”、“至少有一个”、“对于一些”、 “某个”等词语；x称为存在量词，x称为指导 变元。
*③符号!称为存在唯一量词符，用来表达“恰有 一个”、“存在唯一”等词语；!x称为存在唯一量词， 称x为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。 量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词之后，用 逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例 试用量词、谓词表示下列命题： ① 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国， N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有 远大理想，P(x)：x是素数。
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中， 武汉、北京和广州是三个个体，而“…位于…和…之间” 是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设 P：…位于…和…之间，a：武汉，b：北京，c：广州， 则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P) 和n个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表 示成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的 谓词形式或命题的谓词形式。
第二讲 一阶/谓词逻辑
在Ls中，把命题分解到原子命题为止，认 为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子 命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和 推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切 地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论 苏格拉底推理：
退出
所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是， 若用Ls来表示，设P、Q和R分别表示这三个原 子命题，则有
n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个 体或个体常元替代时，才能成为一个命题。但个体变元 在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学 的计算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域 是某中学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某 剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它 观众，则S(x)是真值是不确定的。
定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元 (如x1，x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)， 称它为n元原子谓词或n元命题1时，称一元谓词；当n=2时，称为二 元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。 零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统 一。
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域 综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总 论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供 了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都 从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用 一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围， 并把P(x)称为特性谓词。
３.量词
利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不 能用符号来很准确地表达某些命题，例如S(x) 表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工， 那么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可 表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理 解上的歧义，在Lp中，需要引入用以刻划“所 有的”、“存在一些”等表示不同数量的词， 即量词，其定义如下：
谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性 质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体 之间的关系。表示特定谓词，称为谓词常元，表示不确 定的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母，如P， Q，R，…，或其带上、下标来表示。
例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明” 是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的 性质。设S：是位大学生，c：张明，则“张明是位大学 生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称 为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的 部分，称为谓词。
个体，是指可以独立存在的事物，它可以 是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以a， b，c…或带下标的ai，bi，ci…表示；表示不确 定的个体，称为个体变元，以x，y，z…或xi，yi， zi…表示。
2.1 个体、谓词和量词 2.2 谓词公式与翻译 2.3 约束变元与自由变元 2.4 公式解释与类型 2.5 等价式与蕴涵式 2.6 谓词公式范式 2.7 谓词逻辑的推理理论
2.1 个体、谓词和量词
在Lp中，命题是具有真假意义的陈述句。 从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部 分组成。在Lp中，为揭示命题内部结构及其不 同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命 题进行分析，并且把主语称为个体或客体，把 谓语称为谓词。
应注意的是，命题的谓词形式中的个体出 现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否 则真值会有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。
２.原子谓词公式
原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽 象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元 被替换成个体变元，如x1,x2,···,xn，这样便得了 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原 子谓词。
P，QR
然 而 ， (P∧Q)→R 并 不 是 永 真 式 ， 故 上 述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论，问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中， 各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之 间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间， 即体现在命题结构的更深层次上。对此，Ls是 无能为力的。所以，在研究某些推理时，有必 要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个 体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻 辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓 词逻辑（简称为Lp）的基本内容。