4.2 一阶逻辑公式及解释
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一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
x(x>2x>1) 真命题 成假解释
个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=
x(x>1 x>2) 假命题
40
三、公式的解释
例：
F ( f ( x, a ), y ) F ( g( x, y ), z )
由于公式是抽象的符号串，若不对它们给以
具体解释，则公式是没有实在意义的。 对公式中的各个抽象符号给出如下解释： （1）个体域D=N；（2）a=0 （3）f(x,y)=x+y，g(x,y)=xy
（2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。
（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。
（4）不存在跑得同样快的两只兔子。
26
二、一阶逻辑中命题符号化
例5:设A(x):x能被3整除； B(x):x能被6整除. 个体域为：{1,2,6,7,12} 分析如下情况的真值。
(1)xA( x ) 假 ( 2)xA( x )
x( F ( x ) y( F ( y) L( x, y)))
这句话相当于：“任意一个整数，都存在比
x( F ( x ) y( F ( y ) L( y, x ))) 它大的整数”。
25
二、一阶逻辑中命题符号化
例4：（教材例4.5）将下列命题符号化
（1）兔子比乌龟跑得快。
引例
x(F(x,y)G(x,z))
xy( P ( x, y ) Q( x, y )) xP( x, y )
考察上述两个公式中个体变项受约束 的情况。
34
二、个体变项的自由出现与约束出现
定义：在公式xA和xA中，
1.
2.
称x为指导变元；
A为相应量词的辖域；
屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
15
公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章 一阶逻辑基本概念
3．推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上 都可以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
4一阶逻辑基本概念
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
8
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
06 第四章 一阶逻辑基本概念
练习-将命题符号化 练习 将命题符号化: 将命题符号化
所有的人都要死， 所有的人都要死， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以， 所以，苏格拉底是要死的
4.2 一阶逻辑公式及解释
定义（一阶语言） 一阶语言L 的字母表定义如下： (1)个体常项：a, b, c,L, ai , bi , ci ,L (2)个体变项：x, y, z,L, xi , yi , zi ,L （ ）函数符号：f , g, h,L, fi , gi , hi ,L, 3 （ ）谓词符号：F, G, H,L, Fi , Gi , Hi ,L 4 （ ）量词符号： ∀ ∃ 5 （ ）联结词符号：¬，，， ， 6 ∧ ∨ → ↔ （ ）逗号和括号：（）， 7
定义（ 定义（代换实例） 的命题公式， 设 A0是含命题变项p1 , p2 ,L, pn的命题公式， A , A2 ,L, An是n个谓词公式，用Ai 1 ≤ i ≤ n 个谓词公式， （ ） 1 处处代替A0中的pi , 所得的公式A称为A0的 代换实例
定理 重言式的代换实例都是永真式， 矛盾式的代换实例都是矛盾式
判断下列公式的类型： 例 判断下列公式的类型： (1) ∀xF( x) →∃xF( x) (2) ∀x∃yF( x, y) →∃x∀yF( x, y) (3) ∃x(F( x) ∧ G( x)) →∀yG( y)
作业： 作业： 2，5，10(1,3), 11(1, 3, 5) ， ，
定义（ 定义（指导变元） 中， 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称x为指导变元，A为 的辖域中， 相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的 所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现 的其他变项均称为自由出现的 由出现的
指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 例 指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 自由出现以及约束出现的个体变项： 自由出现以及约束出现的个体变项： (1) ∀x(F( x, y) → G( x, z)) (2) ∀x(F( x) → G( y)) →∃y( H( x) ∧ L( x, y, z))
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
一阶逻辑
谓 词
谓词: 刻画个体性质或几个个体关系的模式。谓词常用 大写英文字母表示，叫做谓词标识符。 ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间
F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
一元谓词: 与一个个体相关联的谓词。F(x)是一元谓词； 二元谓词: 与两个个体相关联的谓词。G(x, y)是二元谓词；
【例2.3】 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，真，假。
„
一般的，把与n个个体相关联的谓词 P(x1,x2,…,xn)叫做n元谓词（n元命题函数）。
n元谓词是命题吗？ຫໍສະໝຸດ 0元谓词是命题，命题逻辑中的简单命题都可用 0元谓词来表示。所以说命题可以看成谓词的 一种特例，所以命题逻辑中的联结词在一阶 逻辑中都可以使用。
谓词填式(0元谓词): 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体 常元a具有性质F； 设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表示 个体常元a和b具有关系G；„
x y(R(x,y) L(y,z) )中， x, y都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x与y 都是约束出现的， z为自由出现. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中x 为约 束出现的， y为自由出现. 在此公式中， x 为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出 现的. z为自由出现.
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词公式
简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
10
例4.8 给定解释I： （a）个体域D=N（自然数集合）； （b）a=0； （c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y； （d）F(x, y)：x=y。 在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
而后件xy(x=y)是假的，所以公式为假。 取解释I2为：个体域为自然数集合N， F(x, y):x≤y。 在解释I2下，公式的前件和后件都为真，所以
公式为真。 所以（3）为非永真的可满足式。
22
（4）xF(x)→xF(x) 设I为任意的解释，个体域为D。 按xF(x)是否为真分两种情况进行讨论： 若xF(x)为真，则xF(x)为真，因此公式为
15
定义4.8（一阶公式的分类）
设A为一公式，若A在任何解释下均为真，则称A 是永真式（或称逻辑有效式）。若A在任何解释下均 为假，则称A是矛盾式（或永假式）。若至少存在一 个解释使A为真，则称A是可满足式。
说明：（1）永真式是可满足式，反之不然。 （2）由于公式的复杂性和解释的多样性，到
目前为止，还没有一个可行的算法判断某一公式 是否是可满足的。
真。 若xF(x)为假，则公式为真。 由以上讨论及解释I的任意性，所以（4）为
永真式。
23
11
（1）F(f(x, y), g(x, y)) 公式被解释成：x+y=x*y 在解释I下，该公式不是命题
（2）F(f(x, a), y)→F(g(x, y), z) 公式被解释成：(x+0=y)→(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
（3）xF(g(x, y), z) 公式被解释成：x(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下，公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是无理数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（2）为非永真的可满足式。
21
（3）xyF(x, y)→xyF(x, y) 取解释I1为：个体域为自然数集合N， F(x, y) : x=y。 在解释I1下，公式的前件xy(x=y)是真的，
（7）xyz F(f(x, y), z) 公式被解释成：xyz(x*y=z)， 在解释I下公式为真命题
13
例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
2
定义4.2（项）
项的递归定义如下： （1）个体常项和个体变项是项。 （2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任
意的n个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。 （3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。
定义4.3（原子公式）
设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是任意的n 个项，则称R（t1,t2,…,tn）为原子公式。
4.2 一阶逻辑公式及解释
上节学了
一阶逻辑的基本概念：个体词、谓词、量词 一阶逻辑符号化的有关概念和方法
本节学习
一阶逻辑公式的概念：字母表、项、原子公式、公式、 指导变元、辖域、闭式等 一阶逻辑公式的解释及公式类型的判断。
1
定义4.1（字母表）
以下是字母表的成员： (1)个体常项:a，b，c，…，ai，bi，ci，…，i≥1 (2)个体变项:x，y，z，…，xi，yi，zi，…，i≥1 (3)函数符号:f，g，h，…，fi，gi，hi，…，i≥1 (4)谓词符号:F，G，H，…, Fi，Gi，Hi，…，i≥1 (5)量词符号: ， (6)联结词符号: ┐，∧，∨，→， (7)括号和逗号:（） ，
判断方法：如果公式不是命题逻辑永真式或矛盾式的代 换实例，则只能通过构造解释的方法来进行判断。
（1）对于非永真的可满足式，需要分别具体构造一个成 真解释和一个成假解释来说明。
（2）对于永真式（矛盾式），则必须证明该公式在任意 的解释下都是真（假）的。
19
（1）x(F(x)→G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下， 公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是有
理数，G(x): x是整数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（1）式为非永真的可满足式。
20
（2）x(F(x)∧G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
不是命题 不是命题 不是命题 真命题 假命题 真命题 真命题
14
说明： (1)有的公式在具体的解释中真值确定，
即为命题；有的公式在具体的解释中真值不 确定，即不是命题。
(2)闭式在任意的解释下都变成可命题 (定理4.1)，但在不同的解释下，可能有不 同的真值。
(3)非闭式的公式就不一定具有这种性 质，它可能在有的解释中是命题，有的解释 中不是命题。
前件：x是指导变元，量词的辖域为 F(x)→G(y)，其中x是约束出现的，y是自由出现的
后件：y是指导变元，量词的辖域为 H(x)∧L(x,y,z)，其中y是约束出现的，x和z是自由 出现的。
在整个公式中，x约束出现1次，自由出现2次 y约束出现1次，自由出现1次 z自由出现1次。
8
定义2.6（闭式） 设A为任意的公式，若A中无自由出现的个体
都是p→q的代换实例 问x(F(x)→G(x))是p→q的代换实例么？ 定理4.2 永真式的代换实例都是永真式，
矛盾式的代换实例都是矛盾式。
17
例 判断下列公式的类型。 （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y)
解： （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x))
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（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) 公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y) 由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题
（5）xF(g(x, a), x) 公式被解释成：x(x*0=x) 在解释I下公式为假命题
（6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) 公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x)) 在解释I下公式为真命题
公式是p→(q→p)的代换实例， 而p→(q→p)是永真式，所以公式（1）是永真式 （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y) 公式是┐（p→q）∧q的代换实例， 而┐（p→q）∧q是矛盾式，所以公式（2）是矛盾式
说明：对于这些类型的公式完全可以采用等值演算的 方法加以判断。
18
例 判断下列公式的类型？ （1）x(F(x)→G(x)) （2）x(F(x)∧G(x)) （3）xyF(x, y)→xyF(x, y) （4）xF(x)→xF(x)
（1）x（ F（x，y）→G（x，z）） （2） x（ F（x）→G（y））→
y（ H（x）∧L（x，y，z））
简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
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定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
说明：在使用一个解释I解释一个公式A时， 将A中的个体常项、函数和谓词分别用I中指定的 个体常项、函数和谓词代替。
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例4.8 给定解释I： （a）个体域D=N（自然数集合）； （b）a=0； （c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y； （d）F(x, y)：x=y。 在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
而后件xy(x=y)是假的，所以公式为假。 取解释I2为：个体域为自然数集合N， F(x, y):x≤y。 在解释I2下，公式的前件和后件都为真，所以
公式为真。 所以（3）为非永真的可满足式。
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（4）xF(x)→xF(x) 设I为任意的解释，个体域为D。 按xF(x)是否为真分两种情况进行讨论： 若xF(x)为真，则xF(x)为真，因此公式为
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定义4.8（一阶公式的分类）
设A为一公式，若A在任何解释下均为真，则称A 是永真式（或称逻辑有效式）。若A在任何解释下均 为假，则称A是矛盾式（或永假式）。若至少存在一 个解释使A为真，则称A是可满足式。
说明：（1）永真式是可满足式，反之不然。 （2）由于公式的复杂性和解释的多样性，到
目前为止，还没有一个可行的算法判断某一公式 是否是可满足的。
真。 若xF(x)为假，则公式为真。 由以上讨论及解释I的任意性，所以（4）为
永真式。
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（1）F(f(x, y), g(x, y)) 公式被解释成：x+y=x*y 在解释I下，该公式不是命题
（2）F(f(x, a), y)→F(g(x, y), z) 公式被解释成：(x+0=y)→(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
（3）xF(g(x, y), z) 公式被解释成：x(x*y=z) 在解释I下，该公式不是命题
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下，公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是无理数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（2）为非永真的可满足式。
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（3）xyF(x, y)→xyF(x, y) 取解释I1为：个体域为自然数集合N， F(x, y) : x=y。 在解释I1下，公式的前件xy(x=y)是真的，
（7）xyz F(f(x, y), z) 公式被解释成：xyz(x*y=z)， 在解释I下公式为真命题
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例4.8 给定解释I：
（a）个体域D=N（自然数集合）；
（b）a=0；
（c）f(x, y)=x+y、 g(x, y)=x*y；
（d）F(x, y)：x=y。
在I下，判断下列公式的真值？ （1）F(f(x, y), g(x, y)) （2）F(f(x, a), y) →F(g(x, y), z) （3）xF(g(x, y), z) （4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) （5）xF(g(x, a), x) （6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) （7）xyzF(f(x, y), z)
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定义4.2（项）
项的递归定义如下： （1）个体常项和个体变项是项。 （2）如果(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任
意的n个项，则(t1,t2,…,tn)仍然是项。 （3）只有有限次使用(1)，(2)生成的符号串才是项。
定义4.3（原子公式）
设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是任意的n 个项，则称R（t1,t2,…,tn）为原子公式。
4.2 一阶逻辑公式及解释
上节学了
一阶逻辑的基本概念：个体词、谓词、量词 一阶逻辑符号化的有关概念和方法
本节学习
一阶逻辑公式的概念：字母表、项、原子公式、公式、 指导变元、辖域、闭式等 一阶逻辑公式的解释及公式类型的判断。
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定义4.1（字母表）
以下是字母表的成员： (1)个体常项:a，b，c，…，ai，bi，ci，…，i≥1 (2)个体变项:x，y，z，…，xi，yi，zi，…，i≥1 (3)函数符号:f，g，h，…，fi，gi，hi，…，i≥1 (4)谓词符号:F，G，H，…, Fi，Gi，Hi，…，i≥1 (5)量词符号: ， (6)联结词符号: ┐，∧，∨，→， (7)括号和逗号:（） ，
判断方法：如果公式不是命题逻辑永真式或矛盾式的代 换实例，则只能通过构造解释的方法来进行判断。
（1）对于非永真的可满足式，需要分别具体构造一个成 真解释和一个成假解释来说明。
（2）对于永真式（矛盾式），则必须证明该公式在任意 的解释下都是真（假）的。
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（1）x(F(x)→G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
数，G(x):x是有理数。 在解释I1下， 公式为真，所以不是矛盾式。 取解释I2：个体域为实数集合R，F(x):x是有
理数，G(x): x是整数。 在解释I2下，公式为假，所以不是永真式。 所以（1）式为非永真的可满足式。
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（2）x(F(x)∧G(x)) 取解释I1：个体域为实数集合R，F(x):x是整
不是命题 不是命题 不是命题 真命题 假命题 真命题 真命题
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说明： (1)有的公式在具体的解释中真值确定，
即为命题；有的公式在具体的解释中真值不 确定，即不是命题。
(2)闭式在任意的解释下都变成可命题 (定理4.1)，但在不同的解释下，可能有不 同的真值。
(3)非闭式的公式就不一定具有这种性 质，它可能在有的解释中是命题，有的解释 中不是命题。
前件：x是指导变元，量词的辖域为 F(x)→G(y)，其中x是约束出现的，y是自由出现的
后件：y是指导变元，量词的辖域为 H(x)∧L(x,y,z)，其中y是约束出现的，x和z是自由 出现的。
在整个公式中，x约束出现1次，自由出现2次 y约束出现1次，自由出现1次 z自由出现1次。
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定义2.6（闭式） 设A为任意的公式，若A中无自由出现的个体
都是p→q的代换实例 问x(F(x)→G(x))是p→q的代换实例么？ 定理4.2 永真式的代换实例都是永真式，
矛盾式的代换实例都是矛盾式。
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例 判断下列公式的类型。 （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y)
解： （1）xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x))
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（4）xF(g(x, a), x)→F(x, y) 公式被解释成：x(x*0=x)→(x=y) 由于蕴涵式的前件为假，所以在解释I下公式为真命题
（5）xF(g(x, a), x) 公式被解释成：x(x*0=x) 在解释I下公式为假命题
（6）xy(F(f(x, a), y)→F(f(y, a), x)) 公式被解释成：xy((x+0=y)→(y+0=x)) 在解释I下公式为真命题
公式是p→(q→p)的代换实例， 而p→(q→p)是永真式，所以公式（1）是永真式 （2）┐( x F(x)→yG(y))∧yG(y) 公式是┐（p→q）∧q的代换实例， 而┐（p→q）∧q是矛盾式，所以公式（2）是矛盾式
说明：对于这些类型的公式完全可以采用等值演算的 方法加以判断。
18
例 判断下列公式的类型？ （1）x(F(x)→G(x)) （2）x(F(x)∧G(x)) （3）xyF(x, y)→xyF(x, y) （4）xF(x)→xF(x)
（1）x（ F（x，y）→G（x，z）） （2） x（ F（x）→G（y））→
y（ H（x）∧L（x，y，z））