一阶谓词逻辑题目
阶谓词逻辑课件
阶谓词逻辑
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函数和函数符号 函数是一种映射或指派关系。
设A是前面列出的所有城市的集合，B是所有这些城市的现有的城墙的集合。 那么f可以是这样一个函数，它把A中的每一个城市映射到B中该城市的城墙。 于是，f(西安）＝西安的城墙…….
在我们的讨论中，也可以有函数符号，用f, g, h……来表示。函数符号的定 义域和值域都是论域。
• 但实际上(1)和(2)的推理都是有效的。命题逻辑和词 项逻辑有局限性。
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• 命题逻辑和词项逻辑的局限性：
• 1. 都不能处理关系命题及其推理； • 2. 都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
• 需要用另外的逻辑理论——谓词逻辑。
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• 一阶谓词逻辑语言 • 一阶谓词逻辑公式 • 公式赋值/语义 • 普遍有效式 • 逻辑推论 • 形式推演 • 前束范式
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•项
• 项类似于自然语言中的名词或名词词组，包括所有的个 体常项和个体变项，并且包括用函数符号加上适当的常 项或变项序列组成的符号串。
• 例如：fx: x的父亲
•
a: 张山
•
fa: 张三的父亲
• 这里的函数符号可以叠加，例如
• gx: x的母亲
• 张三的祖母？gfa
阶谓词逻辑
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第一节 一阶谓词逻辑语言
第四章 一阶谓词逻辑
阶谓词逻辑
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• 有些推理的有效性不能用命题逻辑和词项逻辑所讲的 方法判定：
(1)白马是马（p） 所以，骑白马是骑马（q）
• pq （不是重言式，在p=1，q=0, 的赋值值为假） (2) 2是小于3的 3是小于4的 所以，2是小于4的
• 没有相同的中项（小于3的；3），前提和结论之间建立不 起任何的关系
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
第三章一阶谓词逻辑汇编
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称 这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q， R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题 用合适的符号表示，称为命题符号化。
2、一阶谓词逻辑 谓词的一般形式是:
P(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常才用首字母大写开头的字母字符串 表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×(x1, x2, … xn) 其中P是谓词，通常首字母用大写字母表示。 x1, x2, x3……… 是个体,通常用小写字母来表示。 在谓词逻辑中，命题被细分为谓词和个体两个部分。 n元谓词： 含有n个个体符号的谓词P(x1,x2, …xn)，表示一个映射： P：Dn →{T，F} 或是 (D1×D2×D3…Dn) →{T，F}
例：设变元x和y的个体域是D={1，2}，谓词P（x，y） 表示x大于等于y，给出公式A=( x )(y)P(x,y)在D上的 解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。
解： 由于在公式A中没有包括个体常量和函数，所以可由谓 词P（x, y）的定义得出谓词的真值指派。设对谓词P（x,y） 在个体域D上的真值指派为：
–(6)吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P
–(7)补余律 P∨﹁PT P∧﹁PF
–(8)联词化归律 P →Q ¬P∨Q 蕴涵式转化
–
P Q (P→Q)∧(P→Q)
第2章一阶逻辑典型习题知识分享
第2章一阶逻辑典型习题第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.K(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→.(4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。
其中，主语是语句中的主动者，称为个体。
谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。
例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ΛΛΛΛ南接”都是谓词。
在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。
个体变量的取值范围是定义域。
例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。
表示个体性质的谓词，一般形如G（x）,是一元谓词或一元命题函数。
表示n个个体之间关系的谓词，一般形如P（x1，x,Λn）,是n元谓词或n元命题Λ函数。
谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。
例如，“x是有理数”是一元谓词，记作G（x），其中G表示谓词Λ”，D：实数集，G（x）：x是有理数，是一元谓词（不是命题，没“是有理数有真值）。
3D∈，G（3）：3是有理数，是命题，真值为1。
4.1一阶谓词逻辑基本概念
(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。
离散-3-2-谓词逻辑(1)
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
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第二章 一阶谓词逻辑
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苏格拉底(Socrates)论证：
所有的人都是要死的，苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配）
(对∨可分配）
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域， E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解： (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1：将下列命题符号化： （1）存在小于 0 的实数；（2）任意实数的平方都不小于 0. 解：设个体域为实数集，L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域，设 R(x): x是实数 (1) x（R(x)∧L(x,0)） 特性谓词
一阶逻辑
第二章一阶逻辑一、选择：1．设A(x)：x是大学生，B(x)：x要考试，C(x)：x爱唱歌，则：（1）所有大学生都要参加考试。
符号化为：（2）有些大学生爱唱歌。
符号化为：选项：①∀x(A(x)→B(x)) ②∀x(A(x)∧B(x))③∃x(A(x)∧B(x)) ④∃x(A(x)→B(x))2．令P(x)：x是实数，Q(x)：x是无理数。
下列命题：（1）并非每个实数是无理数。
符号化为：（2）虽然有些实数是无理数，但未必一切实数都是无理数。
符号化为：选项：①∀x⌝(P(x)∧Q(x))②⌝∀x(P(x)→Q(x))③∃x(P(x)∧Q(x))∧⌝∀x(P(x)→Q(x))④⌝∃x(P(x)∧Q(x))∧∀x(P(x)→Q(x))3．设个体域为自然数集合，P(x,y,z)：x+y=z，Q(x,y,z)：x·y=z，R(x,y)：x<y。
对于下列命题：（1）∀x⌝R(x,0) （2）∀xP(x,0,x)（3）∀x∀yQ(x,y,y) （4）∃x∀yP(x,y,y)（5）∀x∃yP(y,x,x) （6）∀x∀y∀z(P(x,y,z)∨Q(x,y,z)其真值为假的有：①（1）（2）②（1）（3）③（1）（4）④（2）（5）⑤（4）（6）⑥（3）（6）⑦（3）（5）⑧（2）（3）（6）4．对于下列各式：（1）∀x(P(x)∧Q(x))→∃xP(x)（2）∀xP(x)→∃x(P(x)∨Q(x))（3）∃x(P(x)∧Q(x))∨⌝∃xP(x)永真式有：①（1）（2）②（1）（3）③（2）（3）④（1）（2）（3）二、综合练习题：1．证明下列各等价式：（1）∀xP(x)∧⌝∃xQ(x)⇔∀x(P(x)∧⌝Q(x))（2）∃x(P(x)→Q(x))⇔∀xP(x)→∃xQ(x)2．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不吃饭的人。
（2）在北京卖菜的人不全是东北人。
（3）自然数全是整数。
（4）有的人天天锻炼身体。
一阶谓词原理
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
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定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出现，称 这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元为自由变元。
∃x(G(x)∧R(x)), 其中G(x):x是偶数; R(x):x是4的倍数
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D.举例
2.设个体域为D={x|x为人}，将下列命题符号化： (1)人都生活在地球上；
∀xF(x), 其中F(x)：x生活在地球上 (2)有的人长着黑头发；
∃xG(x), 其中G(x)：x长着黑头发 (3)中国人都用筷子吃饭；
P(X1, X2…Xn)称为谓词演算的原子公式。
前面例子中的1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y) 等都是原子公式。
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B.谓词合式公式
谓词合式公式简称谓词公式 定义:
1) 原子公式是谓词合式公式 2)若A， B是谓词合式公式，则
(┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词合式公式
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C.量词
(1)全称量词x x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
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C.量词
(2)存在量词x
x读作‘至少有一x’，‘存在一x’
x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
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●镇江的夏天既炎热又潮湿
解：定义谓词
hot(X,Summer)：X地的夏天很炎热
wet(X,summer)：X地的夏天很潮湿
该知识可以表示为
hot(Zhenjiang,summer)∧wet(Zhenjiang,summer)
●有人每天下午都去打篮球。
解：定义谓词
P(x)：x是人
B(x)：x打篮球
∀
A(y)：y是下午
将知识用谓词表示为：
(∃x)(∀y) (A(y)→B(x)∧P(x))
●新型计算机速度又快，存储容量又大
解：定义谓词
NC(x)：x是新型计算机
F(x)：x速度快
B(x)：x容量大
将知识用谓词表示为：
(∀x) (NC(x)→F(x)∧B(x))
●不是每个信息系的学生都喜欢在计算机上编程序。
解：定义谓词
S(x)：x是信息系学生
L(x, pragramming)：x喜欢编程序
U(x,computer)：x使用计算机
将知识用谓词表示为：
⌝(∀x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))
●所有的消防车都是红色的
解: 定义谓词
Fireengine(x) : x是消防车
Color(x, y) : x的颜色是y
red:表示红色
该知识可以表示为：
(∀x)( Fireengine(x))→Color(x, red)
对于所有的x, 如果x是消防车，那么x的颜色是红色的●所有的自然数，不是奇数就是偶数
解：定义谓词
N(x) : 表示x是自然数
O(x) : 表示x是奇数
E(x) : 表示x是偶数
该知识可表示为：
(∀x)( N(x))→(O(x) ∨E(x))
●305房间有个物体
解：定义谓词
In（x，y）：x在y里面
Room（x）：x是房间
r305：305房间
（∃x）In（x，Room（r305））
●每个车间都有一个人负责
有一个人是所有车间的负责人
解：定义谓词：
Workshop（x）：x是个车间
Head（y,x）: y是x的负责人
以上知识可表示为：
(∀x)(∃y)( Workshop（x）→Head（y,x）) (∃y)(∀x)( Workshop（x）→Head（y,x）)。