离散数学自然推理系统p
论自然推理系统P的三种证明方法
论自然推理系统P的三种证明方法刘亚婷 兴义民族师范学院数学科学学院摘要：自然推理系统P是逻辑学中很好的一个推理规则，它可以用来解决日常生活、科学领域、社会活动等逻辑推理，它主要有三种证明方法：直接证明法、附加前提证明法和归谬证明法。
用这三种方法推出的结论，都是有效结论，当他的前提条件成立时，结论一定成立。
关键词：自然推理系统；证明；方法 中图分类号：O141 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)030-0389-02在数理逻辑中，最重要的就是用数学的方法研究推理。
所谓推理，就是通过一系列已知的命题公式，应用所给的推理规则推出命题公式的过程。
推理又分为公理推理和自然推理，在我们的日常生活中，经常用自然推理来解决一些实际问题。
自然推理是形式系统中的推理之一，我们常称为自然推理系统P。
现将自然推理系统P 定义如下：1.字母表(1)命题变项的符号: p, q, r, …(2) 联结词的符号: ┐,∧,∨， →, ↔(3)逗号与括号: ，, ( )2.合式公式(1) 单个的命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB),(AB), (AB)也是合式公式(4) 有限次地应用(1) --(3)组成的符号串也是合式公式3. 推理规则(1)前提引入: 在证明的任何步骤上都可引入已知前提;(2) 结论引入: 在证明的任何步骤上所得到的结论都可作为后续证明的前提。
(3) 置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式都可以用与之等值的公式来置换。
(4)假言推理 (5)附加规则 (6)化简规则A→B A A∧B_ _A__ ∴A∨B ∴A∴ B(7)拒绝式 (8)假言三段论A→B A→B┐B B→C∴┐A ∴A→C(9)析取三段论 (10)构造性二难A∨B A→B┐B C→D∴ A A∨C∴B∨D(11)破坏性二难 (12)合取引入规则A→B AC→D B┐B∨┐D ∴A∧B∴┐A∨┐C那么如何在自然推理系统P中进行证明呢？步骤如下：(1)将原子命题符号化(2)将实际问题的前提A1, A2, …, A k写出来(3)将实际问题的结论B写出来(4)根据自然推理系统P中的推理规则进行判断在自然推理系统P中构造证明时，将形式构造成：前提：A1, A2, …, A k结论：B然后利用直接证明法、附加前提证明法和归谬证明法进行证明。
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论主要内容1. 推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2. 判断推理是否正确的方法：①真值表法②等值演算法③主析取范式法3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明4. ①自然推理系统P的定义②自然推理系统P的推理规则：前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法④归谬法学习要求1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,A k}├B②A1∧A2∧…∧A k→B③前提与结论分开写：前提：A1,A2,…,A k结论：B在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。
2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。
3. 牢记P系统中的各条推理规则。
4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5. 会用附加前提证明法和归谬法。
3.1 推理的形式结构定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当(A1∧A2∧…∧A k )→B为重言式。
A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知，推理形式：前提：A1,A2,…,A k结论：B是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是，推理正确{A1,A2,…,A k} B可记为A1∧A2∧…∧A k B其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。
离散数学 命题逻辑推理
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
10
推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
11
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
7
推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
③ p
④ q ⑤ q→r
Hale Waihona Puke ②化简②化简 ①③假言推理
⑥ r
⑦ r∨s ⑧ ┐r→s
④⑤假言推理
⑥附加 ⑦置换
例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表 示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。 所以a是无理数。 构造证明： （1）将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 r：a是无理数。 （2）形式结构： 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r q：a是有理数。 s：a能表示成分数。
若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵 式一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。
2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推 理定律。例如双重否定律A A产生两条推理定 律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了 推理系统中的推理规则。
–推理的形式结构 –自然推理系统P
本章与后续各章的关系
–本章是第五章的特殊情况和先行准备
3.1 推理的形式结构 3.2 自然推理系统P
本章小结
习题
作业
3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
(┐q∨p) ∨ q 1
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) (2) (A∧B) A (3) (A→B)∧A B (4) (A→B)∧┐B ┐A 附加律 化简律 假言推理 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) (7) (AB) ∧ (BC) (A C)
离 散 数 学
第一节等值式例6、求命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：先求主析取范式故主合取范式为例6、求命题公式的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：成真赋值为极小项角码对应的二进制数，即00，10，11。
成假赋值为极大项角码对应的二进制数，即01。
例7、设 (1) 求的真值表。
(2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例7、设 (2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例7、设 (2) 求的主析取范式、主合取范式。
解：例8、判断下列推理是否正确。
解：可用多种方法(如真值表法，等值演算法，主范式法)验证，并非重言式，故推理不正确。
(1) 前提：结论：，例8、判断下列推理是否正确。
(2) 如果今天是星期二，则<a name=baidusnap0></a>明天</B>是星期四。
今天是星期二，所以明天</B>是星期四。
以上推理即假言推理，所以是正确的。
解：：明天</B>是星期四，：今天是星期二，前提：结论：，例9、写出对应下面推理的证明。
有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。
如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白队不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。
因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
证明：设：红队第三，：黄队第二，：蓝队第四，：白队第一。
前提：结论：前提：结论：前提引入附加前提引入①②析取三段论前提引入④①③②⑤③④假言推理前提：结论：③④假言推理前提引入⑤⑥假言推理⑤⑦⑥由附加前提证明法知推理正确。
例10、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： (1) 甲或乙盗窃了录音机； (2) 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前； (3) 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； (4) 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； (5) 午夜时屋里灯光灭了。
问是谁盗窃了录音机。
：乙盗窃了录音机，：作案时间发生在午夜前，：乙的证词正确，：午夜灯光未灭。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
（2）前提：
结论：
证明：用附加前提证明法。
①p附加前提引入
② ①附加
③ 前提引入
④ ②③假言推理
⑤s④化简
⑥ ⑤附加
⑦ 前提引入
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
（1）前提： ， ，
结论：
证明：用归谬法
①p结论的否定引入
（2）反对称性：
（3）传递性：
综合（1）（2）（3）知T满足自反性、反对称性和传递性，故T为 上的偏序关系。
习题九及答案：（P179-180）
8、
（1）
（2） 。
解：（1）
（2）
11、
（3） ；
解：（3）由*运算的定义可知： ，
16、
习题十一及答案：（P218-219）
1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由
则前提： ， ，
结论：
证明：
① 前提引入
② ①化简
③ ①化简
④ 前提引入
⑤ ④UI规则
⑥ ②⑤假言推理
⑦ ③⑥合取引入
⑧ 前提引入
⑨ ⑧UI规则
⑩ ⑦⑨假言推理
习题七及答案：（P132-135）
22、给定 ，A上的关系 ，试
（1）画出R的关系图；
（2）说明R的性质。
解： （1）
● ●
● ●
（2）R的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的；
（1）
解：原式
，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为 ， ， ，所以主合取范式中含有三个极大项 ， ， ，故原式的主合取范式 。
离散数学---推理理论
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
自然推理系统P
西 华 大 学 制 作
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
离散复习题
离散数学1.将下面程序语言进行化简If A then if B then X else Y else if B then X else Y2.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：,,p q r q rs ⌝∨∨⌝→ 结论：p s →.3设一阶逻辑公式((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→试将G 化成与其等价的前束范式。
4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。
如果小王今天家里有事，则他不会来开会。
如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。
小张今天看到小王。
所以小王今天家里没事。
5、构造下面推理的证明前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型。
7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(⌝P ∨(Q ↔R ))的主析取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。
8用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。
因此有些学生很有风度。
9、设A ＝{∅，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。
10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R 的关系图。
(2)写出R 的关系矩阵。
(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。
11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。
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离散数学自然推理系统p
离散数学中的自然推理系统P是一种基于命题逻辑的证明系统。
该系统包含两个部分：公理和规则。
其中，公理是一些已经被证明的命题，而规则则是推导新命题的方法。
自然推理系统P包含以下规则：
1. 假言规则：如果已知命题A蕴含命题B，那么可以通过假定命题A成立，推导命题B成立。
2. 水平规则：如果已知命题A成立，同时已知命题A蕴含命题B，那么可以推导出命题B成立。
3. 消去规则：如果已知命题A蕴含命题B，且已知命题A或者命题非B成立，那么可以推导出命题非A或者命题B成立。
4. 拆分规则：如果已知命题A并且命题B成立，那么可以推导出命题A且命题B成立。
在自然推理系统P中，证明的过程是通过应用这些规则逐步推导出新的命题，直到能够得出所要证明的命题。
要注意的是，在每一步推导过程中都需要遵循推导规则，并保证逻辑上的正确性。
以上是对离散数学中自然推理系统P的简要介绍。
该证明系统在数学、计算机科学等领域有着广泛的应用。