椭圆点差法完整版本

合集下载

点差法求椭圆中点弦

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

本文用这种方法作一些解题的探索。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。

例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

椭圆点差法

例2一. ：如图：AB为椭圆
x2 a2

y2 b2
1( a b 0 )
的弦，
点P为弦AB的中点，求证： kOP
kAB

b2 a2
.
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆
x2 b2

y2 a2
1(a
b 0)
的弦，
点P为弦AB的中点，则： kOP k AB .
小结：
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.

x12 x22

4 y12 4 y22

16 16
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4 y2 16
(4

x)2

4(2

y)2

16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0
从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）

(完整版)第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--=Θ.22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

椭圆中的点差法

一、以定点为中点的弦所在直线的方程
例 1、
过椭圆
x 2 y 2 1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在
16 4
直线的方程。

2
例 2、已知双曲线 x
2
y
1，经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l ，使 l 与双曲线交于 A 、
2
B ，且点 M 是线段 AB 的中点。

若存在这样的直线 l ，求出它的方程，若不存在，
说明理由。

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例 3、已知椭圆
y 2 x 2 1的一条弦的斜率为 3，它与直线 x 1 的交点恰为这条弦的 75 25
2
中点M ，求点M
的坐标。

2
2 例 4、已知椭圆
y
x
1, 求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。

75 25
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例 5、已知中心在原点，一焦点为
F (0,
50 )
的椭圆被直线 l : y 3x
2
截得的弦的中点
的横坐标为
1 ，求椭圆的方程。

2
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例 6、已知椭圆
x 2
y 2 1 ，试确定的 m 取值范围，使得对于直线 y 4x m ，椭圆上
4
3
总有不同的两点关于该直线对称。

点差法整理版

“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212xy x y x x y y x x y y k MN==++--= .22a b x y k MN -=⋅∴同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.二、典型例题1 、设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.2 、在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.3、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程.4 、已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.（1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.“点差法”巧解双曲线中点弦题型二、重要结论及证明过程在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.二、典型例题1. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹; （2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.2.设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程（略）在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.二、典型例题1、设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论.（Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.（理）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围.2. 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.yO xMBNA。

点差法证明椭圆第三定义

点差法证明椭圆第三定义我们来回顾一下椭圆的定义。

椭圆是一个平面上的几何图形，其特点是到两个定点的总距离等于常数的点的集合。

这两个定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆还有其他定义方式，如以焦点和直线的交点、以焦点和直线的切线等。

而点差法是一种利用椭圆的特点来定义椭圆的方法。

点差法的基本思想是，给定一个定点F和一条直线l，以F为焦点，l为直线的切线的交点为P，考虑P到F的距离与P到直线l的距离之差。

通过对这个距离差的性质进行分析，我们可以得到椭圆的定义。

具体而言，我们假设F为椭圆的焦点，l为椭圆的直线。

我们定义点P到F的距离为r1，点P到直线l的距离为r2。

根据点差法，椭圆的定义可表述为：对于椭圆上的任意一点P，其到焦点F的距离与到直线l的距离之差的绝对值等于常数。

即|PF - Pl| = c，其中c为常数。

现在我们来证明这个定义。

首先，我们可以假设椭圆的焦点F位于原点O，直线l为x轴，离心率为e。

因此，我们可以继续化简上述等式：(sqrt(x^2 + y^2))^2 = (|y|/(e^2 - 1))^2化简后可得：x^2 + y^2 = (|y|/(e^2 - 1))^2由于左边是x和y的平方和，右边是一个常数，所以这个方程描述了一个椭圆。

我们利用点差法成功地证明了椭圆的第三定义，即椭圆上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离之差的绝对值等于常数。

(完整)点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。

椭圆点差法公式推导过程

椭圆点差法公式推导过程结论：过椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 上一点 P（x_{0}，y_{0}）切线方程为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导：法一：利用判别式△=0设直线 l：y-y_{0}=k(x-x_{0})联立直线与椭圆方程，消去y，此时只有斜率k为未知数，利用联立后方程中△=0可以解出k将k代回直线化解即可，但化解过程会有些复杂法二：对椭圆求导用隐函数求导的方法可以求出 \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y} 将P点代入后可列出直线方程：y-y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}} (x-x_{0}) 化解后可得：a^{2}y_{0}y+b^{2}x_{0}x=a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}上式两边同时除以a²b²即可得\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1法三：仿射变化令x^{’}=\frac{x}{a}y^{'}=\frac{y}{b} 此时椭圆化为单位圆 x^{'}+y^{'}=1 P点坐标写为（\frac{x_{0}}{a},\frac{y_{0}}{b}）由圆切线方程易得P点处切线方程为\frac{x_{0}}{a}x^{'}+\frac{y_{0}}{b}y^{'}=1由仿射不变性代回得椭圆上P点处切线方程\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1推导方法还有很多，在此就不一一叙述了结论虽然好用，不过在大题里不可以直接用。

如果要用需要先写出步骤（设方程联立△=0或根据对称性得到某一区域的函数求导），有步骤后再直接写出直线方程。

点差法求椭圆的中点弦

部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
12
+ 2

22
+ 2

=1
=1
两式相减得
(1 +2 )(1 −2 )
(1 +2 )(1 −2 )
−
2
2
=0
2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
(1 +2 )(1 −2 )
=
2
− 2

(1 +2 )(1 −2 )
2
−
(1 −2 )
(1 −2 )
因为
(1 +2 )(1 −2 )
2
=0
(1 +2 )
(1 +2 )
= ，
= =

2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
+
+
12
2
22
2
=1
=1
两式相减得
( + )( − )
整理得 (1 +2 )(1 −2 )
1
2
1
2

所以
=
2
− 2
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )

椭圆点差法中点弦斜率公式

椭圆点差法中点弦斜率公式
椭圆点差法是一种用于确定椭圆的参数的一种数值方法。

椭圆点差法的基本思想是建立一个椭圆和已知点之间的差分方程，通过解决这个方程，求出最优参数，从而拟合出最佳椭圆。

在椭圆点差法中，求得椭圆的参数最重要的是求解点弦斜率公式。

点弦斜率公式是椭圆点差法中用来求椭圆的参数的一种重要的方法，它可以用于计算椭圆上任意点的斜率。

设特定椭圆F为方程：
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，点P(x,y)位于椭圆上，点弦斜率公式可以表示为：$\frac{dy}{dx}=\frac{b^2x}{a^2y}$ 。

椭圆点差法中使用点弦斜率公式可以求解椭圆的参数。

首先，我们需要选择有限个已知点，例如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)、P3(x3,y3)…，计算点弦斜率，求得其总和Σdy/dx。

然后将Σdy/dx代入椭圆的极坐标方程F中，以b2/a2 为未知数，可以求出a2、b2，进而获得椭圆的长轴、短轴长度。

通过点弦斜率公式，我们可以实现椭圆点差法求椭圆参数的目标。

结合实际应用，通过该方法可以获得准确的椭圆参数，为图像处理、3D计算等领域提供有效的方法。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

弦公式：
|A B |1 k 2•（ x 1x 2 ） 2 4 x 1x 2
1k12•（ y1y2） 4y1y2
3、弦中点问题的两种处理方法：（1）韦达定理法：联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
1.
1.
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x2 4y2 16 (4x)2 4(2y)2 16
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
例2一. ：如图：AB为椭圆 ax22by221(ab0) 的弦，点P为弦AB的中点，求证：kOPkABab22 .
点差法
思例考一：若改为：AB为椭圆
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
的弦，
点P为弦AB的中点，则： kOPkAB .
小结：
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：（适用于任何曲线）
y
P P
o
x
P
2.弦长公式：
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程.
解法一：
由
消去 y得:
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
x
2 1
4
y
2 1
16
x
2 2
4
y
2 2
16
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．