有关正方体的截面问题

正方体的平面切割和截面特征

正方体的平面切割和截面特征正方体是一种六个面都相等且每个面都是直角四边形的立体图形。

平面切割是指将正方体沿着平面进行切割，从而得到不同的截面。

每个截面都有其特征和属性。

本文将探讨正方体平面切割和截面的特征。

首先，我们来了解一下正方体的基本属性。

正方体的六个面都是正方形，相邻面之间的边长相等。

通常，我们用字母a来表示正方体的边长。

此外，正方体的体积可以通过边长的三次方来计算，即V = a³；表面积可以通过边长的平方乘以六来计算，即S = 6a²。

接下来，我们讨论正方体的平面切割。

平面切割正方体时，切割面可以与正方体的面平行，也可以与正方体的面垂直。

对于平行切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形。

这些平行四边形的边长和对应边的长度比例与正方体底面相同。

当切割面与正方体的面垂直时，我们将得到线段、正方形、三角形或其他多边形的截面形状。

在平行切割的情况下，截面的特征与正方体的底面相似。

例如，如果我们将正方体平行地切割成一系列平行四边形，这些四边形的形状和相似性将与底面相同。

然而，它们的大小可能会有所不同，但比例关系将保持不变。

当切割面与正方体的面垂直时，截面的形状将根据切割的位置和角度而有所不同。

根据切割的位置，截面可以是线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形。

在这些截面中，正方形和长方形出现的频率最高，因为它们是与正方体面相关联的形状。

此外，截面的边长可能与正方体的边长有关，但不一定相等。

当切割面与正方体的对角线平行时，我们将得到等腰直角三角形的截面。

这是因为对角线与正方体的边相切，并且正方体的边是直角的。

所以，切割面与对角线所包围出的截面将是等腰直角三角形。

在切割正方体时，我们还可以观察到一些有趣的截面特征。

例如，当切割面与相对的两条棱平行时，我们将得到矩形形状的截面。

这是因为切割面与这两条棱所包围出的空间将是一个矩形。

总结一下，正方体的平面切割和截面特征是多样化的。

通过平行或垂直切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形，以及线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形的截面形状。

正方体的截面问题教学设计(海南华侨中学靳福青)

空间几何体的截面问题——（1）正方体的截面问题研讨学教法教学设计一、教材分析本节内容是高中数学必修2，第八章立体几何初步中的一个探究性课题，安排学习完本章内容之后讲授，通过对几何体的切截活动，交流等过程，提升学生的空间观念，积累数学知识.二、学情分析从认知特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到的充分的展示和表现，因此，在学习充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自已观察、大胆动手操作、进行小组间的交流讨论和PK，利用网络画板信息技术自主探索等方式，让学生主动地学习.高一学生对电脑操作熟练，掌握网络学习系统、学工资源与学习工具的功能和用法，可以简单演练网络画板后进行自主学习、协同工作、知识分享与创新创造，具有良好的信息素养。

三、教学目标分析教学目标分析：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化.过程与方法目标分析：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验.核心素养目标分析：培养学生逻辑推理能力，通过微专题培养数学建模习惯与思维方法，通过网络画板能清晰表示截面图形来培养直观想象力。

情感目标分析：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱.四、教学重难点重点：探索截面形状的过程.难点：从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截.五、信息技术应用环境本节课需要一台支持播放视频、演示文稿和使用网络画板的电脑设备和交互式电子白板供教师使用、需要每位学生一台可以使用网络画板的电脑。

在信息技术教学应用中，学校为设计信息技术教学的教师提供了丰富的技术和硬件支持，保证教学的顺利进行。

正方体三个中点构成的截面

正方体三个中点构成的截面
正方体的三个中点构成的截面是一个正三角形。

在正方体的每个面上选择一个中点，然后将这些中点连接起来，就会得到一个正三角形。

这是因为正方体的每个面都是正方形，所以连接三个中点会形成一个等边三角形。

这个等边三角形是正方体的一个截面，它具有三条边长度相等的性质。

从几何角度来看，正三角形是一个有趣的形状，它具有许多特性和性质。

例如，正三角形的内角是60度，而且它的三条边长度相等。

这意味着正方体的三个中点构成的截面也具有这些性质。

此外，正三角形也是一种稳定的结构，它的每条边都受到均匀的力的作用，使得整个形状保持稳定。

因此，正方体的三个中点构成的截面在几何和结构上都具有稳定性。

总的来说，正方体的三个中点构成的截面是一个具有稳定性和特殊性质的正三角形，这个形状在几何学和结构设计中都具有重要的意义。

正方体的截面问题研究资料讲解

正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。

【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。

再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。

【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。

正方体截面总结

结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。

若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。

三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

例如，正方体的六个对角面都是矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

正方体截面问题题型汇总

正方体截面问题题型汇总开高张文伟2019.11.28答案：B分析：12题除了直观解题法之外，还有另一种解法:（1）正方体的十二条棱长度相等，与平面的夹角相等，必有在平面上投影的长度相等。

（2）一个封闭的平面图形中有十二条相等的线段，必然想到正六边形的顶点与其中心的连线。

（3）所以说，投影是一个正六边形。

分析：面D1B1C与各个棱所处角相等，面A1DB与各个棱所处角相等，所以两个面与已知的平面α平行。

根据正方体的特性，体对角线AC1与两个面垂直，交点分别是M、N，且M、N是体对角线的三等分点，所以，棱与面所成角的正弦值为：三分之根号三。

向平面做投影，本质是几何体的顶点向射影面做垂线。

所以，点C1D1B1C向平面α做垂线，得到的是△D1B1C，点AA1DB向平面α做垂线，得到的是△A1DB，两个三角形重叠到一个平面，得到的就是右图，再连接端点直线，就得到一个正六边形。

由题意可得B1D1的长为根号二，所以高B1E就是二分之根号六，所以半径就是三分之根号六，即正六变形的边长是三分之根号六。

总结：1. 三条面对角线构成等边三角形所在的平面与正方体的每一个棱所成角都相等，2.正方体在体对角线垂直于投影面上的投影是一个正六面形；3.体对角线垂直于投影面，三条面对角线构成等边三角形，投影面积是这个等边三角形面积的两倍。

12.【2018全国一卷12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D【答案】A【分析】最大是正六边形首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，，所以其面积为26S ，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为A B ． C D ．分析：【解析】是正六边形 11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（）A. 5B.。

正方体的截面问题

正方体的截面问题
正方体的截面问题
夏老师伴你学
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面. 所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形. 其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
二、截面是四边形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得的截面的形状为正方形、长方形、梯形.
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形。

拓展研究：
1.最大面积的截面三角形
2.最大面积的截面四边形：由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形
3.最大面积的截面形状：
正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。

其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。

梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。

首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。

因此可以得到：最大面积一定是四边形。

所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。

初步推断为如图所示的矩形：
4.截面五边形、六边形性质：
截面五边形：有两组边互相平行.
截面六边形：三组对边平行的六边形.用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以不可能截出7边形。

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