八年级上册全品作业本北师大
八年级上册北师大版数学2023全品作业本
八年级上册北师大版数学2023全品作业本全文共3篇示例，供读者参考八年级上册北师大版数学全品作业本1一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2计算（1）；（2）.师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.2．探究性质2问题4你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的'依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3计算（1）；（2）.师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.3．归纳代数式的概念问题7回顾我们学过的式子，如，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.五、目标检测设计1．【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）a. b. c. d.【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算:．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．八年级上册北师大版数学全品作业本2教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
新北师大版数学八年级上册同步培优练习全册全集
第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2 一定是直角三角形吗知识点一 勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)． 因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形． 知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值． 解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)． 知识点三 开平方精练版P11定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3 (1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果． 解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.P111.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方． 例4 求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)． 解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分． 解：(1)(7)2＝7.(2)（－7）2＝|－7|＝7.(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．易错点 不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3 立方根知识点一 立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：34注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4 比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．(1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点 在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：□（7＋1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6 实 数知识点一 实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2.实数的分类⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )A ．8B ．8C ．64D ．3解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。
第1章 勾股定理 北师大版数学八年级上册综合素质评价(含答案)
第一章 综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，则AB 的平方为( )(第1题)A .9B .16C .25D .412.下列各组数中，是勾股数的是( )A .0.3，0.4，0.5B .35，45，1C .4，5，6D .7，24，253.在△ABC 中，∠B ＝35°，BC 2－AC 2＝AB 2，则∠C 的大小为( )A .35°B .55°C .65°D .90°4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD 的长度是( )(第4题)A .2B .3C .4D .55.[情境题 生活应用]如图，在A 村与B 村之间有一座大山，原来从A 村到B 村，需沿道路A →C →B (∠C ＝90°)绕过村庄间的大山，打通A ，B 间的隧道后，就可直接从A 村到B 村.已知AC ＝9 km ，BC ＝12 km ，那么打通隧道后从A 村到B 村比原来减少的路程为( )(第5题)A.7kmB.6kmC.5kmD.2km6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC 和正方形BCFG的面积和为( )(第6题)A.225B.200C.150D.无法计算7.[情境题生活应用母题教材P6习题T1]如图母题①，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，如图②，则滑轮到地面的距离为( )(第7题)A.9米B.12米C.15米D.24米8.[2024岳阳月考]如图，长为6cm的橡皮筋AB固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )(第8题)A .2 cmB .3 cmC .4 cmD .5 cm9.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上任意一点，则CE 2－BE 2＝( )(第9题)A .1B .2C .4D .510.[新考向 数学文化]意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为S 1，图③中空白部分的面积为S 2，则下列等式成立的是( )(第10题)A . S 1＝a 2＋b 2＋2abB . S 1＝a 2＋b 2＋abC . S 2＝c 2D . S 2＝c 2＋12ab 二、填空题(每题3分，共15分)11.[2024天津西青区期中]如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm 2.(第11题)12.已知三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高等于 .13.如图，一座桥横跨一河，桥AB的长为40m，一艘小船自桥北头(A处)出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸(C处)后，发现已偏离桥南头(B处)9m，则小船实际行驶的路程为 m.(第13题)14.[母题教材P17复习题T5]如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12n mile和16n mile，1h后两轮船分别位于点A，B处，且相距20n mile.如果知道甲轮船沿北偏西40°方向航行，则乙轮船沿 方向航行.15.[2024青岛期末]如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3m的半圆，其边缘AB＝CD＝16m，点E在CD上，CE＝4m.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 m.(π取3)三、解答题(16题10分，17～19题每题12分，20题14分，21题15分，共75分)16.如图，∠B＝90°，求x的值.17.如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13.试说明△ACD是直角三角形.18.[2024赣州期末]图①是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm.如图②，转动BC，CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离.19.观察下列勾股数：①3，4，5，且32＝4＋5；②5，12，13，且52＝12＋13；③7，24，25，且72＝24＋25；④9，b，c，且92＝b＋c；…(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b＝ ，c＝ ；(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确.20.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝.(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ；A B C D(2)求该长度最短的金属丝的长；(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度为m，则m2的值为 .21.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，验证勾股定理，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.(1)如图①，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板.①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图①验证a2＋b2＝c2；②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少.(2)如图②，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓(实线)的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积.答案详解详析一、1. D 2. D 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C9. D【点拨】在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2－AD2，CD2＝AC2－AD2，所以在Rt△BDE和Rt△CDE中，BE2＝BD2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2，EC2＝CD2＋ED2＝AC2－AD2＋ED2，所以EC2－EB2＝（AC2－AD2＋ED2）－（AB2－AD2＋ED2）＝AC2－AB2＝32－22＝5.10. B 13.41二、11.64 12.601314.北偏东50°（或东偏北40°）【点拨】因为AP＝1×12＝12（nmile），PB＝1×16＝16（n mile），AB＝20n mile，所以AP2＋BP2＝400＝AB2，所以∠APB＝90°.因为∠APN＝40°，所以∠BPN＝50°.因为∠EPN＝90°，所以∠BPE＝40°.所以乙轮船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行.15.15【点拨】如图是U型池的内侧面展开图，则AD≈3×3＝9（m），CD＝16m，CE＝4m.所以DE＝CD－CE ＝16－4＝12（m）.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2≈92＋122＝152，所以AE≈15 m.故他滑行的最短路程约为15m.三、16.【解】由勾股定理，得62＋x2＝（x＋4）2，解得x＝2.5.故x的值为2.5.17.【解】因为AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，所以AC 2＝152－92＝144.因为52＋144＝132，所以AD 2＋AC 2＝CD 2，所以∠DAC ＝90°，所以△ACD 是直角三角形.18.【解】由题意，得BD ＝BC ＋CD ＝50 cm .如图，过点B 作BE ⊥DH 于点E ，易得EH ＝AB ＝5 cm ，BE ＝AH ，所以DE ＝DH －EH ＝40 cm ，所以BE 2＝BD 2－DE 2＝302.所以BE ＝30 cm ，所以AH ＝30 cm .19.【解】（1）40；41（2）猜想第n 组勾股数为2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1.因为（2n ＋1）2＋（2n 2＋2n ）2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，（2n 2＋2n ＋1）2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，所以（2n ＋1）2＋（2n 2＋2n ）2＝（2n 2＋2n ＋1）2.因为n 是正整数，所以2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1是一组勾股数.20.【解】（1）A（2）由（1）可知该长度最短的金属丝的长为2AC .因为圆柱底面的周长为12，所以BC ＝12×12＝6.因为圆柱的高AB ＝8，所以AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10，所以该长度最短的金属丝的长为2AC＝2×10＝20.（3）2368【点拨】若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则m2＝42×1222＝2368.21.【解】（1）①设题图①中大、小两个正方形的面积分别为S1和S2，则S2＝（b－a）2＝a2＋b2－2ab，S1＝S2＋4×12ab＝a2＋b2.又因为S1＝c2，所以a2＋b2＝c2.②因为AB＝13，EF＝7，所以大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，所以四个直角三角形的面积和为169－49＝120，设AE为x，DE为y，则4×12xy＝2xy＝120，易知x2＋y2＝132＝169，所以（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝169＋120＝289，所以x＋y＝17，所以直角三角形两直角边之和为17.（2）由题意，得AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6.设AH＝BC＝x，则AB＝12－x，OA＝6＋x，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，即62＋（6＋x）2＝（12－x）2，解得x＝2，所以OA＝OH＋AH＝6＋2＝8，所以该图形的面积为4×12OB·OA＝2OB·OA＝2×6×8＝96.。
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第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2 一定是直角三角形吗知识点一 勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)． 因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形． 知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值． 解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)． 知识点三 开平方精练版P11定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3 (1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果． 解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.P111.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方． 例4 求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)． 解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分． 解：(1)(7)2＝7.(2)（－7）2＝|－7|＝7.(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．易错点 不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3 立方根知识点一 立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：34注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4 比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．(1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点 在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：□（7＋1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6 实 数知识点一 实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2.实数的分类⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )A ．8B ．8C ．64D ．3解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明综合素质评价试题(含答案)
八年级上册数学第七章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列选项中，是命题的是()A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗C．延长线段AO到点C，使OC＝OAD．两直线平行，内错角相等2．【2022•广东佛山南海区模拟】如图，a∥b，∠1＝120°，则∠2等于() A．30°B．90°C．60°D．50°(第2题) (第3题)3．如图，下列条件中，能判定AD∥BC的有()①∠1＝∠4；②∠2＝∠3；③∠1＋∠2＝∠3＋∠4；④∠A＋∠C＝180°；⑤∠A＋∠ABC＝180°；⑥∠A＋∠ADC＝180°.A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题中，是假命题的是()A．能够完全重合的两个图形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形的两底角相等D．三个角都相等的三角形是等边三角形5．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是()A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°6．已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是() A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥cB．如果b∥a，c∥a，那么b∥cC．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥cD．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c7．下列说法正确的是()A．命题一定是定理，但定理不一定是命题B．公理和定理都是真命题C．定理和命题一样，有真有假D．“取线段AB的中点C”是一个真命题8．如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G.若∠ACG＝36°，则∠DFE的度数是()A．117°B．108°C．144°D．148°(第8题) (第9题)9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A．10°B．15°C．20°D．30°10．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是()A．45°B．50°C．55°D．80°(第10题) (第11题)11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C ＝73°，则∠DAE的度数是()A．14°B．24°C．19°D．9°12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是DC上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点H.点F是AB上一点，且∠FBE＝∠FEB，∠FEH的平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为()A．30°B．40°C．50°D．60°(第12题) (第14题)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．将命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式为__________________________________________________________________．14．三角板是我们学习数学的好工具，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，点B在DE上，AB∥CF，∠EFD＝∠A＝90°，∠E ＝30°，∠ABC＝45°，则∠CBD＝__________°.15．要说明命题“若a＜b，c＜d，则a－c＜b－d”是假命题，可以举反例：a＝4，b＝5，c＝________，d＝________．16．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝66°，则∠DAC的度数是________．(第16题) (第17题) (第18题)17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝________°.18．如图，将一张三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部的点A′处，且点A′与点C在直线AB的异侧，已知∠C＝90°，∠A＝30°.若△A′DE 的一边与BC平行，则∠ADE的度数是____________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．如图，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC∥EF，求∠BMD的度数．20．如图，已知AB∥CD，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝32°.(1)求∠ACE的度数；(2)若∠2＝58°，求证：CF∥AG.四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处．(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；(2)若∠B＋∠C＝130°，求∠1＋∠2的度数．22．如图，在四边形ABCD中，CE⊥AD于点E.若()，()，则()．(1)从①CB＝CD，②∠D＋∠ABC＝180°，③AC平分∠DAB中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由，条件：________，________，结论：________．(2)在(1)的条件下，若AD＝8，DE＝2，CE＝3，求△ABC的面积．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．已知直线a∥b，直线c和直线a，b分别相交于A，B两点，直线d和直线a，b分别相交于C，D两点．(1)如图①，当点P在线段AB上(点P不与点A，B重合)运动时，猜测∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1，∠2，∠3之间的数量关系为________；(3)如图③，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1，∠2，∠3之间的数量关系为________．24．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一盏探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a－3b|＋(a＋b－4)2＝0.假设钱塘江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°.(1)求a，b的值；(2)若灯B射出的光束先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，灯A射出的光束转动几秒，两灯射出的光束互相平行？(3)两灯射出的光束同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若与灯B射出的光束交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则两灯射出的光束在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．答案一、1．D2．C3．B4．B5．D6．C7．B8．A点拨：因为CG⊥AB，∠ACG＝36°，所以∠A＝90°－∠ACG＝54°.所以∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝126°.因为CD 和BE 是△ABC 的角平分线，所以∠BCD ＝12∠ACB ，∠CBE ＝12∠ABC ，所以∠BCD ＋∠CBE ＝12(∠ACB ＋∠ABC )＝63°.所以∠BFC ＝180°－(∠BCD ＋∠CBE )＝117°.又因为∠DFE ＝∠BFC ，所以∠DFE ＝117°.9．B 点拨：因为BD ，CD 分别为∠ABC ，∠ACE 的平分线， 所以∠DBC ＝∠ABD ，∠DCE ＝∠ACD .因为∠ACE ＝∠A ＋∠ABC ，所以∠DCE ＋∠ACD ＝∠DBC ＋∠ABD ＋∠A .所以2∠DCE ＝2∠DBC ＋∠A .因为∠DCE ＝∠DBC ＋∠D ，所以2∠DBC ＋2∠D ＝2∠DBC ＋∠A .所以∠D ＝12∠A ＝12×30°＝15°. 10．B 点拨：如图，连接AC 并延长，交EF 于点M .因为AB ∥CF ，所以∠3＝∠1.因为AD ∥CE ，所以∠2＝∠4. 所以∠BAD ＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE .因为∠FCE ＝180°－∠E －∠F ＝180°－80°－50°＝50°.所以∠BAD ＝50°.故选B .11．A点拨：因为∠B＝45°，∠C＝73°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝62°.因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝12∠BAC＝31°.因为AD是BC边上的高，所以∠ADC＝90°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝17°，所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝31°－17°＝14°.12．B点拨：设∠FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝∠FBE＋∠FEB＝2α.因为EG平分∠FEH，所以∠GEH＝∠GEF.设∠GEH＝∠GEF＝β，则∠AEF＝180°－∠GEF－∠GEH＝180°－2β.因为AD∥BC，所以∠ABC＋∠BAD＝180°.又因为∠D＝∠ABC，所以∠D＋∠BAD＝180°，所以AB∥CD，所以∠CEH＝∠F AE.因为∠DEH＝100°，所以∠CEH＝180°－∠DEH＝80°.所以∠F AE＝80°.因为∠F AE＋∠AFE＋∠AEF＝180°，所以80°＋2α＋180°－2β＝180°，所以β－α＝40°，所以∠BEG＝∠GEF－∠FEB＝β－α＝40°.二、13．如果两个角相等，那么它们的余角相等14．1515．2；3(答案不唯一)16．28°17．25点拨：因为EF∥BC，所以∠EGB＝∠CBG.因为BD平分∠ABC，所以∠EBG＝∠CBG，所以∠EBG＝∠EGB.因为∠BEG＝130°，所以∠EGB＝180°－130°2＝25°，所以∠DGF＝∠EGB＝25°.18．45°或30°点拨：当A′D∥BC时，∠A′DA＝∠C＝90°.由折叠的性质得∠ADE＝∠A′DE，所以∠ADE＝12∠A′DA＝45°；当A′E∥BC时，∠A′EF＝∠ABC.因为∠C＝90°，∠A＝30°，所以∠A′EF＝∠ABC＝180°－∠C－∠A＝60°. 所以∠A′EA＝180°－∠A′EF＝120°.由折叠的性质得∠A′ED＝∠AED，所以∠AED＝12(360°－∠A′EA)＝120°.所以∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝30°.综上所述，∠ADE的度数为45°或30°.三、19．解：因为∠BAC＝90°，∠C＝30°，所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝60°.因为∠EDF＝90°，∠E＝45°，所以∠F＝180°－∠EDF－∠E＝45°.因为BC∥EF，所以∠MDB＝∠F＝45°，所以∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝75°. 20．(1)解：因为AB∥CD，所以∠DCE＝∠1＝32°.因为CE平分∠ACD，所以∠ACE＝∠DCE＝32°.(2)证明：因为CF⊥CE，所以∠FCE＝90°.又因为∠ACE＝32°，所以∠FCH＝∠FCE－∠ACE＝58°.因为∠2＝58°，所以∠FCH＝∠2，所以CF∥AG.四、21.解：(1)∠1＝∠2，理由如下：因为∠D是由∠A翻折得到的，所以∠D＝∠A.因为DE∥AC，所以∠1＝∠A，∠2＝∠D，所以∠1＝∠2.(2)因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，所以∠AEF＋∠AFE＝∠B＋∠C＝130°.因为△DEF是由△AEF翻折得到的，所以∠AEF＝∠DEF，∠AFE＝∠DFE，所以∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，所以∠AED＋∠AFD＝2(∠AEF＋∠AFE)＝260°.因为∠1＋∠AED＋∠2＋∠AFD＝360°，所以∠1＋∠2＝100°.22．解：(1)②；③；①理由：如图，在AD上取一点T，使得AT＝AB，连接TC.因为AC平分∠DAB，所以∠TAC＝∠CAB.在△TAC 和△BAC 中，⎩⎨⎧AT ＝AB ，∠CAT ＝∠CAB ，AC ＝AC ，所以△TAC ≌△BAC ，所以CB ＝CT ，∠ABC ＝∠ATC .因为∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ATC ＋∠CTD ＝180°，所以∠D ＝∠CTD ，易得CT ＝CD ，所以CB ＝CD .(答案不唯一)(2)由(1)可知，CT ＝CD ，因为CE ⊥DT ，所以DE ＝TE .因为△TAC ≌△BAC ，所以AB ＝AT ＝AD －2DE ＝8－4＝4，所以S △ABC ＝S △ACT ＝12AT •CE ＝12×4×3＝6.五、23．解：(1)∠3＝∠1＋∠2，理由如下：过点P 作PE ∥a 交CD 于点E ，如图．因为PE ∥a ，a ∥b ，所以PE ∥a ∥b ，所以∠1＝∠CPE，∠2＝∠DPE.因为∠3＝∠CPE＋∠DPE，所以∠3＝∠1＋∠2.(2)∠1＝∠2＋∠3(3)∠3＝∠2－∠124．解：(1)因为|a－3b|＋(a＋b－4)2＝0，|a－3b|≥0，(a＋b－4)2≥0，所以a＝3b，a＋b＝4，所以a＝3，b＝1.(2)设灯A射出的光束转动t秒，两灯射出的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝(30＋t)×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，3t－3×60＋(30＋t)×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t－180×2＝(30＋t)×1，解得t＝195(不合题意，舍去)．综上所述，灯A射出的光束转动15秒或82.5秒，两灯射出的光束互相平行．(3)不发生变化．设灯A射出的光束转动时间为x秒，因为∠CAN＝180°－3°•x，所以∠BAC＝45°－(180°－3°•x)＝3°•x－135°.又因为PQ∥MN，所以易得∠BCA＝∠CBD＋∠CAN＝1°•x＋180°－3°•x＝180°－2°•x.因为∠ACD＝90°，所以∠BCD＝90°－∠BCA＝90°－(180°－2°•x)＝2°•x－90°，2所以∠BCD＝3∠BAC.。
一次函数单元复习北师大版八年级数学上册作业本精品课件PPT
（ D）
A. y=3+x
B. y=5+0.01x
C. y=3x
D. y=29-0.5x
第四章第9课 一次函数单元复习-2020秋北师大版八 年级数 学上册 作业本 课件
第四章第9课 一次函数单元复习-2020秋北师大版八 年级数 学上册 作业本 课件
5. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如 图所示，当y>0时，x的取值范围是（ D ） A. x>0 B. x<0 C. x>2 D. x<2
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第四章第9课 一次函数单元复习-2020秋北师大版八 年级数 学上册 作业本 课件
6. 函数
的自变量取值范围
是 x≥0且x≠2 .
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第四章第9课 一次函数单元复习-2020秋北师大版八 年级数 学上册 作业本 课件
解:（1）将点A（-2，0）代人y=2x+a，得-4+a=0， 解得a=4. 将点A（-2，0）代入y=-x+b，得2+b=0，解得b=-2.
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第四章第9课 一次函数单元复习-2020秋北师大版八 年级数 学上册 作业本 课件
（2）因为两个函数分别为y=2x+4和y=-x-2， 所以直线y=2x+4与y轴的交点B的坐标为（0，4），直 线y=-x-2与y轴的交点C的坐标为（0，-2）， 函数图象如图：
北师大版八年级上册数学配套练习册答案
北师大版八年级上册数学配套练习册答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“（）”里面；“⊙”，表示“森哥马”，§，¤，♀，∮，≒，均表示本章节内的类似符号。
§1．l探究勾股定理随堂练习1．A所代表的正方形的面积是625；B所代表的正方形的面积是144。
2．我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，由于荧屏被边框遮盖了一局部，所以实际测量存在误差．1．1学问技能1．(1)x=l0；(2)x=12．2．面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm)．问题解决12cm。
21．2学问技能1．8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长)．数学理解2．提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3．可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形．随堂练习12cm、16cm．习题1．3问题解决1．能通过。
．2．要能理解多边形ABCDEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的．然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位置上．学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。
即(B’C’)=AB+CD：也就是BC=a+b。
，222222这样就验证了勾股定理§l．2 能得到直角三角形吗随堂练习l．(1) (2)可以作为直角三角形的三边长．2．有4个直角三角影．(依据勾股定理推断)数学理解2．(1)仍旧是直角三角形；(2)略；(3)略问题解决4．能．§1．3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数方法设未知数列方程是解此题的技巧所在习题 1．5学问技能1．5lcm．问题解决2．能．3．最短行程是20cm。
4．如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
新版北师大版八年级上册数学全册同步练习+全册教案
新版北师大版八年级上册数学全册同步练习+全册教案新版北师大版八年级上册数学全册同步练习(呕心整理绝对全面)目录第一章勾股定理................................. A3-A9 1.1 探索勾股定理........................................ A3-A4 1.2 一定是直角三角形吗.................................. A5-A6 1.3 勾股定理的应用...................................... A7-A9 第二章实数................................... A10-A20 2.1 认识无理数........................................ A10-A11 2.2 平方根............................................ A12-A13 2.3 立方根............................................ A14-A15 2.4 估算2.5 用计算器开方.......................................... A16 2.6 实数.................................................. A17 2.7 二次根式.......................................... A18-A20 第三章位置与坐标............................ A21-A243.1 确定位置.............................................. A21 3.2 平面直角坐标系3.3 轴对称与坐标变化.................................. A22-A24 第四章一次函数............................... A25-A334.1 函数.................................................. A25 4.2 一次函数与正比例函数.............................. A26-A27 4.3 一次函数的图象.................................... A28-A29 4.4 确定一次函数的表达式.............................. A30-A314.5 一次函数的应用.................................... A32-A33第五章二元一次方程组......................... A34-A395.1 认识二元一次方程组.................................... A34 5.2 解二元一次方程组...................................... A35 5.3 应用二元一次方程组--鸡兔同笼.............................................. A36 5.4 应用二元一次方程组--增收节支.............................................. A37 5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数.......................................... A38 5.6 二元一次方程组与一次函数.............................. A39 第六章数据的分析............................ A40-A45 6.1 平均数................................................ A40 6.2 中位数与众数...................................... A41-A42 6.3 从统计图分析数据的集中趋势............................ A43 6.4 数据的离散程度.................................... A44-A45第七章平行线的证明.......................... A46-A51 7.1 为什么要证明.......................................... A46 7.2 定义与命题............................................ A47 7.3 平行线的判定7.4 平行线的性质...................................... A48-A49 7.5 三角形内角和定理.................................. A50-A51第一章勾股定理1.1 探索勾股定理※课时达标1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =_______．2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°．3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为__________．4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．5.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．6.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．7.若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________．8.在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据，求出隧道BC的长(精确到0.1 km)．※课后作业★基础巩固1.△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．2.△ABC中∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则中线BD=__________．3.如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC=6，AB=10，则DB=__________．4.△ABC中，三边长分别为a=6 cm，b=33cm， c=3 cm，则△ABC中最小的角为______度．5.如图，AB⊥BC，且AB=3，BC=2，CD=5，AD=42，则∠ACD=__________，图形ABCD 的面积为__________．6.等腰三角形的两边长为 2 和5，则它的面积为__________．7.有一根7 cm木棒，要放在长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱中，__________(填“能”或“不能”)放进去．8.直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．9.如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2， DC=1，则AC等于( ).A.6B.6C.5D.4☆能力提升10.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ).A.4 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm11.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分 线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于 ( ).A.3B.4C.5D.13 12.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BD ⊥AC 于D ， CD=2，则BC 等于( ).A.210B.6C.8D.513.ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边长为2， 斜边上的高为( ). A.1 B.3 C.23 D.43 14.直角三角形的一条直角边是另一条直角边的31，斜边长为10,它的面积为( ).A.10B.15C.20D.30●中考在线15.在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝3∶4，则直角三角形的面积是＝ ． 16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的 三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。